清泉州陽光實驗學校高三數(shù)學構造函數(shù)模型,求三角形的最值問題學法指導

1、清泉州陽光實驗學校構造函數(shù)模型，求三角形的最值問題劉顯偉構造法是一種重要的數(shù)學思想方法，利用構造法解題往往能起到很好的效果，下面舉例說明如何構造 函數(shù)模型求有關三角形的最值問題。1.構造函數(shù)模型，解三角形中有關涉及角的最值問題1 sin 2 B例1在厶ABC中，三邊a、b、c滿足b2 ac，求y的取值范圍。sin B cosB錯解：因為y1 si n2BsinB cosBsinB cosBsin B cosBsinB cosB . 2 s in B ，所以435錯誤剖析：假設y 2 ， sin B1，那么B，所以B，這超出了4424三角形中內角的取值范圍。事實上，條件b2 ac還沒有利用，因此

2、應重新求 B的取值范圍。2正解：由bac和正弦定理，可得222 cos B cos AC2cosB 2 cos BcosB1 1cos A C 0 o-2cosB 1cosB 10又B0,，cosB 10，所以2 cos B 10，得-cosB1o27十2所以0B -，B，可知-sinB -1 o34412 24因為 y 2 sin B ，所以 y (1,2。4說明：此題假設能從函數(shù)的觀點來觀察、分析問題，上述的錯解就可能不會發(fā)生，事實上，此題求的是函數(shù)y f B的值域，而值域固然受對應法那么f的制約，但它也依賴于函數(shù) f B的定義域，在這里為了求得自變量B的取值范圍，應先求 cosB的取值范

3、圍，為此建立關于 cosB的不等式，至此，也就能理解為什么把 2 2 cos2 B cos A C cosB變形為2 cos2 B cosB 11 cos A C的理由了2.構造函數(shù)模型，解三角形中有關涉及邊的最值問題例2在厶ABC中，c . 6. 2，C 30，求a b的最大值。分析：可利用正弦定理，將 a b化為與c和A或者者B相關的等式，由此構造 a b與A或者者B的函數(shù)關系，通過求函數(shù)的最值來獲解。a解：由正弦定理sin A sinB sin C，得sin A sin BsinC.A csi n, c si nA sin B-a bsin CB A B cos 2 2 ."C

4、Csin cos 2 2因為_ C，所以sin2 2 2A B C cos 。2 2最大值8A Bccosbsin2.2 cosA B2sin 45304 3 cos24,3 cos AA 150 ,4.3。7575A 7575，所以當750 即A 75丨時，ab獲得說明：此題是通過建立函數(shù)模型求解的，其關鍵是選擇角a為自變量，并把a b視作整體,利用正弦定理和比例性質，將 a b轉化為與c和A相關的等式，構造a b與A的函數(shù)關系a b fA ，然后利用余弦函數(shù)的有關性質，求出f A的最大值。3. 構造函數(shù)模型，解三角形中有關涉及面積的最值問題例3三角形的兩邊之和為 6,這兩邊的夾角為120，

5、求這個三角形面積 S的最大值。錯解：設厶ABC的三邊長分別為a、b、c，不妨設a b 6，C 120 ，由余弦定理得2 2 2 2 2 2 cab abcos120 a b ab a b ab 36 ab。由S absin120 丄36 c2- c2 9 3 9.3，所以S的最大值為9 32 2 2 2錯誤剖析：當S取最大值9 3時，c 0，此時不能構成三角形，更談不上三角形面積的最大值了， 因此應重新確定c的取值范圍。正解1：由上可知ab 36 c2。由2. 2.2 a b 3,2O-,由 c a b ab a ba b 27，24從而 ab 36 c23627 9，19J39J3所以Sab

6、sin120'，可知S的最大值為244正解2：由 a b 6，可得b6 a 0 a6 o1329.3所以Sabsi n120a6 aa 3244J4當a0, 6，即 ab 3時,S獲得最大值.9 3，o4說明：求線段或者者圖形面積的最大或者者最小值時，通?？山⒑瘮?shù)模型求解，在建立目的函數(shù)的過程中，一定要正確把握自變量的取值范圍，上述錯解就是想當然地取c 0,無視了 c的實際意義, 即無視了 c的取值范圍，在正解 2中，也應檢驗自變量 c的值是否在定義域0, 6內4. 構造函數(shù)模型，證明不等式解題中，公求得例4在厶ABC中，a、b、c為三內角 A B、C所對的邊，且 C=2A求證-3式sin 33sin4sin3 可選用分析：欲證不等式，只須證1 乞工3 b1 c a，為此，可嘗試將看成某一角的三角函數(shù),2 b的值域即可。因此，此題可將不等式的證明轉化為求三角函數(shù)的值域問題證明：由正弦定理得abc由C=2A得B3A osi nA si nBsin C 'c abb可得sin 2A sin Asin3Asi n3A2cosA 111 4 cos2 A012 cosA3A1，所以cos A 1，可得 2 1 2 c