三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、§9三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能用三角函數(shù)研究簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，尤其是周期性問(wèn)題(重點(diǎn))2.將實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知三角函數(shù)模型的應(yīng)用(1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的圖像求出函數(shù)解析式將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型利用收集的數(shù)據(jù)，進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型(2)解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟思考：在函數(shù)yAsin(x)b(A>0，>0)中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系？提示：A，b與函數(shù)的最大值ymax，最小值ymin關(guān)系如下：(1)ymaxAb，yminAb；(2)A，b.基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“

2、”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)ysin x在內(nèi)是增函數(shù)()(2)函數(shù)y3sin x1的最大值為3.()(3)直線x是函數(shù)ysin x的一條對(duì)稱軸()(4)函數(shù)ysin (x1)的周期為2.()答案(1)(2)×(3)×(4)2求下列函數(shù)的周期：(1)yAsin(x)(0)的周期是T_；(2)yAcos(x)(0)的周期是T_；(3)yAtan(x)(0)的周期是T_；答案(1)(2)(3)3某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為_解析T，f80.答案80合 作 探 究·攻 重 難

3、已知解析式求周期、最值交流電的電壓E(單位：V)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用E220·sin來(lái)表示，求：(1)開始時(shí)電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時(shí)間思路探究交流電壓與時(shí)間的關(guān)系呈現(xiàn)周期性變化，t0時(shí)即為初始電壓，求周期和最值可直接運(yùn)用性質(zhì)解(1)當(dāng)t0時(shí)，E110(V)即開始時(shí)的電壓為110V.(2)T(s)，即時(shí)間間隔為0.02 s.(3)電壓的最大值為220 V.當(dāng)100t，即t s時(shí)第一次取得最大值規(guī)律方法由于物理學(xué)中的單擺、光學(xué)、機(jī)械波、電學(xué)等知識(shí)都具有周期性，且均符合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，因此明確三角函數(shù)中的每個(gè)量對(duì)應(yīng)的物

4、理中的量是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為s6sin.(1)作出它的圖像；(2)單擺開始擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置多少厘米？(3)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開平衡位置多少厘米？(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012071】解(1)單擺的周期T1，若令2t0，即t，這時(shí)s0.找出曲線上的五個(gè)特殊點(diǎn)，列表如下：ts6sin06060用光滑的曲線連接這些點(diǎn)，得函數(shù)s6sin的圖像(如圖)(2)當(dāng)t0時(shí)，s6sin 6×3，即單擺開始擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置3 cm.(3)s6sin的振幅為6，所以單擺擺動(dòng)到最

5、右邊時(shí)，離開平衡位置6 cm.(4)s6sin的周期為1，所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要的時(shí)間是1 s.已知模型求解析式如圖1­9­1所示，表示電流I(A)與時(shí)間t(s)的關(guān)系式：IAsin(t)(A>0，>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像圖1­9­1根據(jù)圖像寫出IAsin(t)的解析式思路探究由圖像確定A、.解由圖像可知A300，又T2，100.又t時(shí)，t0，100·0，即，I300sin.規(guī)律方法求解析式的難點(diǎn)在于求，可根據(jù)圖像找出與正弦曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)求得.跟蹤訓(xùn)練2如圖1­9­2所示，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿

6、足函數(shù)yAsin(x)b(A>0，>0，|<)圖1­9­2(1)求這段時(shí)間的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式解(1)由題圖知，這段時(shí)間的最大溫差是301020 ()(2)題圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖像是函數(shù)yAsin(x)b的半個(gè)周期的圖像所以×146，解得，由圖像知，A(3010)10，b×(3010)20，所以y10sin20.因?yàn)閤6時(shí)，y10，所以1010sin 20，所以sin1，可令，所以.綜上所述，所求解析式為y10sin20，x6,14三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用探究問(wèn)題1建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的思路是什么？提示：(1)

7、先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切函數(shù)模型(2)其次是搜集數(shù)據(jù)，建立三角函數(shù)解析式并解題(3)最后將所得結(jié)果翻譯成實(shí)際答案2如何建立擬合函數(shù)模型？提示：(1)利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”(2)觀察“散點(diǎn)圖”，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，獲得具體的函數(shù)模型(3)利用這個(gè)函數(shù)模型解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)掣劭诘乃顈(單位：m)是時(shí)間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出曲線，如圖1­9­3所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看做函數(shù)yA

8、sin tb的圖像圖1­9­3(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5 m時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7 m，那么該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能待多久？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012072】思路探究(1)根據(jù)題意確定A，b，.(2)根據(jù)題意水深y11.5可求解解(1)從擬合曲線可知，函數(shù)yAsin tb在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需936(h)，此為半個(gè)周期，函數(shù)的最小正周期為12 h，因此12，得.當(dāng)t0時(shí)，y10，b10.ymax13，A13103.所求函數(shù)的解析式為y3sint10(0t24)(2)由于

9、船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)不小于74.511.5(m)當(dāng)y11.5時(shí)就可以進(jìn)港令y3sint1011.5，得sint，2kt2k(kZ)，112kt512k(kZ)取k0，則1t5；取k1，則13t17；取k2，則25t29(不合題意)因此，該船可以在凌晨1點(diǎn)進(jìn)港，5點(diǎn)出港或在13點(diǎn)進(jìn)港，17點(diǎn)出港，每次可以在港口停留4小時(shí)母題探究若將例3中“某港口的水深y是時(shí)間t(0t24，單位h)的函數(shù)”變?yōu)椤昂＠烁叨葃(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)(0t24)且浪高數(shù)據(jù)如下：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.99

10、1.5若該函數(shù)圖像可近似地看成函數(shù)yAcos tb的圖像試求：(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？解(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T12，所以.又t0時(shí)，y1.5，所以Ab1.5；t3時(shí)，y1.0，得b1.0，所以振幅為，函數(shù)解析式為ycost1(0t24)(2)因?yàn)閥>1時(shí)，才對(duì)沖浪愛(ài)好者開放，所以ycost1>1，cost>0，2k<t<2k，即12k3<t<12k3(kZ)又0t24，所以0t&

11、lt;3或9<t<15或21<t24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行活動(dòng)，即9<t<15.規(guī)律方法根據(jù)給出的函數(shù)模型，利用表中的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)與三角函數(shù)的知識(shí)，求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問(wèn)題得以解決.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1如圖1­9­4所示為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖像，則下列判斷正確的是()圖1­9­4A該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7 sB該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cmC該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)振動(dòng)速度最大D該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0

12、.7 s時(shí)的加速度為零B由圖像可知，該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期是2×(0.70.3)0.8，故A不正確；振幅為5 cm，故選B.2商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)， 五一某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)504sin (t0)，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的()A0,5B5,10C10,15 D15,20C由2k2k，kZ，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為4k，4k，kZ.當(dāng)k1時(shí)，t3，5，而10,153，5，故選C.3如圖1­9­5所示，是一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖像，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振子的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012073】圖1

13、­9­5解析設(shè)函數(shù)解析式為yAsin(t)，則由題意得A2，T2×(0.50.1)0.8，.又×0.1，解析式為y2sin.答案y2sin4某同學(xué)利用描點(diǎn)法畫函數(shù)yAsin(x)的圖像，列出的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x01234y10112經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，請(qǐng)你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)yAsin(x)的解析式應(yīng)是_解析在平面直角坐標(biāo)系中描出這五個(gè)點(diǎn)，如圖所示根據(jù)函數(shù)圖像的大致走勢(shì)，可知點(diǎn)(1,0)不符合題意；又0<A2，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(4，2)，A2，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，2sin 1.又<<，由(0,1)，(2,1)關(guān)于直線x1對(duì)稱，知x1時(shí)函數(shù)取得最大值2，函數(shù)的最小正周期為6.答案y2sin5如圖1&