生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例教案01

1、§生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例(2課時(shí))教學(xué)目標(biāo)：1. 使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用2. 提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題. 教學(xué)過(guò)程： 一創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具這一節(jié)，我們利 用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題.二新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物

2、理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。解決優(yōu)化問(wèn)題的方法： 首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系， 建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān) 系，并確定函數(shù)的定義域， 通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境， 即核心問(wèn)題是建立適當(dāng) 的函數(shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中， 導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：三.典例分析例1 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dmf,上、下兩邊各空 2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使

3、四周空心面積最?。?28解：設(shè)版心的高為 xdm,則版心的寬為 dm,此時(shí)四周空白面積為x128512S(x) (x 4)(2) 128 2x8, x 0。xx求導(dǎo)數(shù)，得'512S (x)2 令。xA '512令S (x) 2 廠 0,解得x 16(x16舍去)。x于是寬為1281288。x 16當(dāng) x (0,16)時(shí)，S'(x)<0；當(dāng) x (16,)時(shí)，S'(x)>0.因此，x 16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。例2

4、飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響(1) 你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？(2) 是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？背景知識(shí)】：某制造商制造并出 售球型瓶 裝的某種飲料瓶子的 制造成本是0.8 r2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問(wèn)題：(1)瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大?(2)瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？ 解：由于瓶子的半徑為 r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是y f r0.2 433 r0.8 r230.8 r23,0 r 6令f r0.8 (r22r)0解得r 2 (r0

5、舍去)當(dāng)r 0,2時(shí)，fr0 ;:當(dāng)r2,6 時(shí)，fr 0.當(dāng)半徑r2時(shí)，fr0匕表示f:r單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高;當(dāng)半徑r 2時(shí),r 0它表示f r單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低.(1) 半徑為2 cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí) f 2 0，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值.(2) 半徑為6 cm時(shí)，利潤(rùn)最大.換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)r 3時(shí)，f 3 0,即瓶子的半徑為 3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)r 3時(shí)，利潤(rùn)才為正值.當(dāng)r 0, 2時(shí)，f r 0 , f r為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半

6、徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小.例3 .磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱(chēng)為比特(bit )。為了保障磁盤(pán)的分辨率，小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，問(wèn)題：(1)(2)磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。R的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域.磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大？現(xiàn)

7、有一張半徑為 是不是r越小， r為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量(最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息)？解：由題意知：存儲(chǔ)量 =磁道數(shù)x每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于 r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存m儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿(mǎn)，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)乙丄。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量nR r 2 r 2 f(r)xr(R r)m n mn(1)它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大.f (r)2rmn(2)為求f (r)的最大值，計(jì)算f (r)0 .R令f (r)0,解得

8、r -2f (r)0 ;當(dāng)rf (r) 0.2 R2mn 4R因此r -時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為例4 .汽油的使用效率何時(shí)最高我們知道，汽油的消耗量 w (單位：L)與汽車(chē)的速度v (單位：km/h)之間有一定 的關(guān)系，汽油的消耗量 w是汽車(chē)速度v的函數(shù).根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題：(1) 是不是汽車(chē)的速度越快，汽車(chē)的消耗量越大？(2) “汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率(單位：L/m )就是研究秋游消耗量與汽車(chē)行駛路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G，其中，w表示汽油消耗量(單位：L),ss表示汽油行駛的路程 (單位：km).

9、這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的問(wèn)題.通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車(chē)在行駛過(guò)程中，汽油平均消耗率g (即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h)與汽車(chē)行駛的平均速度 V (單位:km/h)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系g f v .因此，我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問(wèn)題.平均消耗率g （即每小時(shí)的汽油消耗量， 單位：L/h ）與汽車(chē)行駛的平均速度 v （單位：km/h） 之間關(guān)系的問(wèn)題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題.w解：因?yàn)?G w i gs S Vt這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求g的最小值從圖象上

10、看，g表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜VV率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90 km/h 因此，當(dāng)汽車(chē)行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車(chē)速約為 90 km/h 從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即f 90 ,約為L(zhǎng) 例5 在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)， 箱底的容積最大？最大容積是多 少？2容積V(x)x2h60x223x(0 x 60) V (x)60x3x2(0 x 60)2令 V (x)60x=0，解得2x=0（

11、舍去），x=40,并求得 V（40）=16 000由題意可知，當(dāng)x過(guò)小（接近0）或過(guò)大（接近 是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是 解法二：設(shè)箱高為xcm,則箱底長(zhǎng)為（60-2 x）cm,60）時(shí)，箱子容積很小，因此， 16 00016 000cm360-2xxI” 60-2x解法一：設(shè)箱底邊 長(zhǎng)為xcm,則箱高 h 60- cm,得箱子2則得箱子容積V(x) (602x) x(0 x 30).(后面同解法一，略)由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處.事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) V (x) x2h2360 xx2、V(x)(602x)2x在各自的定義域中都

12、只有一個(gè)極值點(diǎn)， 從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例6.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為 h,底半徑為R,則表面積S=2 n Rh+2n R由V=n R?h,得h 匕，貝UR2V7 2V 7S(R)= 2 n R一- + 2 n FT=+2 n FTRR即 h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值使所用材料最?。縎時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能提示：S=2 Rh + 2 R2S 2 R

13、2h= 2S 2 R2R2 = -(S22R2)R1 -SR2R3V'(R)=0 S 6R26 R22 Rh2 R222例6.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn) 品的收益稱(chēng)為收益函數(shù)，記為x單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)R(x) , R(x) C(x)稱(chēng)為利潤(rùn)函數(shù)，記為P(x)。(1)、如果C(x) = 10 6x30.003x2 5x 1000，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際C (x)最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量)(2)、如果C(x)=50x + 10000，產(chǎn)品的單價(jià)P= 100 ,那么怎樣定價(jià)，可使利潤(rùn)最大?變式：已知某商品生產(chǎn)成本 C與產(chǎn)量q的函數(shù)

14、關(guān)系式為 C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的1函數(shù)關(guān)系式為 p 25-q 求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn) L最大？8分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).1 1 2解：收入 R q p q 25 q 25q q ,881 2 1 2利潤(rùn) L R C 25q q (100 4q) q 21q 100 (0 q 100)8 81L q 2141令L 0，即 一q 210,求得唯一的極值點(diǎn)q 844答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大例7 一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面ABCD的面積為定值 S時(shí)，使得濕周

15、匸AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí) 的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)b.1 /3解：由梯形面積公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC, DE=h,BC=b AD=h+b,3/ CD=cos302 3 S=(-h 2b)h (止 h b)h2 3322h ,AB=CD. I=h X 2+b3 、3由得b= Shh,代入，亠h3S 丄4.3,當(dāng)bp時(shí),l' <叫3時(shí),I' >0.Sh=4.3 時(shí),I取最小值，此時(shí)例8 已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于 x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線 y = 4 x2在x軸上方 的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng).【解

16、】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(x, y),且x > 0, y > 0,則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為(一x, y),在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(一x, 0)、(x, 0),其中0v x v2.設(shè)矩形的面積為 S,貝U S = 2 x (4 x2), 0 v x v 2.由 S'(x)= 8 6 x2= 0，得 x =，易知34x = 是S在(0, 2)上的極值點(diǎn)，3即是最大值點(diǎn)，所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為2.3和8.3 3【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用題求解，要正確寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件.應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值.練習(xí)：1 :

17、一書(shū)店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷(xiāo)售某種書(shū)15萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊(cè)書(shū)存放一年要耗庫(kù)費(fèi) 40元，并假設(shè)該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書(shū)店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？【解】假設(shè)每次進(jìn)書(shū) x千冊(cè)，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y元，由于該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即y = 150 X 30 + - X40, y' x2令 y' = 0,得 x = 15,且 yf!4500"+ 20,x9000,f (15)> 0,x所以當(dāng)x = 15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一，150故 當(dāng)x = 15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)

18、為150 = 10 (次).15即該書(shū)店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊(cè)書(shū)，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少.2:有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千 米500元和700元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最?。俊窘狻吭O(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足 B點(diǎn)之間的距離為x千米，總費(fèi)用為y元，則 CD = - x2402 .y = 500 (50 x) + 700 x21600=25000 500 x + 700 Jx2 1600 ,11 一 y' = 500+ 700 一 (x2+ 1600) 2 2 x2_700x_ x2160050 J 6令y '= 0,解得x =曲6答：水廠距甲距離為 50- 50 6千米時(shí)，總費(fèi)用最省.3【