數(shù)學(xué)七年級(jí)北師大版 5.2 探索軸對(duì)稱的性質(zhì)將軍飲馬模型

1、.將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說】早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題將軍每天參軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬的問題便流傳至今【問題原型】將軍飲馬 造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，垂線段最短； 三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對(duì)稱 ；平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的間隔 和最小例1：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P

2、，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的間隔 之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，P為直線l上任意一點(diǎn)，在PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PBAB當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取例2：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的間隔 之和最小，即PA+PB的和最小.關(guān)鍵：找對(duì)稱點(diǎn)作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短證

3、明：連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q，P為直線l上任意一點(diǎn)，在PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PCAC當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取2.兩動(dòng)一定型例3：在MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得BAC周長最短作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A ，連接A A，與OM交于點(diǎn)B，與ON交于點(diǎn)C，連接AB，AC，ABC即為所求原理：兩點(diǎn)之間，線段最短例4：在MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B，在OM上找一點(diǎn)C，在ON上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD周長最短作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B ，連接A B，與OM交于點(diǎn)C，與ON交于點(diǎn)D，連

4、接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求原理：兩點(diǎn)之間，線段最短3. 兩定兩動(dòng)型最值例5：A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，且MN長度等于定長d動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)，使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動(dòng)點(diǎn)問題一定要考慮平移作法一：將點(diǎn)A向右平移長度d得到點(diǎn)A， 作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交直線l于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移長度d，得到點(diǎn)M。作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1，將點(diǎn)A1向右平移長度d得到點(diǎn)A2，連接A2 B，交直線l于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q向左平移長度d，得到點(diǎn)Q。原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，最小值為AB+MN例6：造橋選址將軍每日需騎馬參軍營出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)

5、的瞭望臺(tái)觀察敵情，河流的寬度為30米，請(qǐng)問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？例6：直線l1l2，在直線l1上找一個(gè)點(diǎn)C，直線l2上找一個(gè)點(diǎn)D，使得CDl2, 且ACBDCD最短作法：將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長度d至點(diǎn)A，連接AB，交l2于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DCl2于點(diǎn)C，連接AC那么橋CD即為所求此時(shí)最小值為AB+CD原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，4. 垂線段最短型例7：在MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得ABBC最短原理：垂線段最短點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM，ON是定線，點(diǎn)B、點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A，過點(diǎn)A作ACON，交OM于點(diǎn)

6、B，B、C即為所求。例8：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的間隔 之差最小，即PA-PB最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P此時(shí)|PA-PB |=0原理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的間隔 相等例9：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的間隔 之差最大，即|PA-PB |最大作法：延長BA交l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求，即點(diǎn)B、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，最大值為AB的長度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊例10：在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的間隔 之差最大，即|PA-PB|最大作法：作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交交l于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊典型例題 三角形1如圖，在等邊ABC中，AB = 6，ADBC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE = 2，求EM+EC的最小值解：點(diǎn)C關(guān)