不定積分解法總結(jié)

1、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，已知函數(shù)求它的導(dǎo)數(shù)或微分是需要解決的基本問題。而在實(shí)際應(yīng)用中，很多情況需要使用微分法的逆運(yùn)算一一積分。不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。希望本文能起到拋磚引玉的作用，為讀者在學(xué)習(xí)不定積分時提供思路。文中如有錯誤之處，望讀者批評指正。1 1 換元積分法換元積分

2、法分為第一換元法（湊微分法）、第二換元法兩種基本方法。而在解題過程中我們更加關(guān)注的是如何換元，一種好的換元方法會讓題目的解答變得簡便。1 1.當(dāng)出現(xiàn)Va2x2,Jx2-a2形式時，一般使用x=asint,x=asect,x=atant三種代換形式。dxxa2x2dxa2x2=atantfsect=Insect+tant+C=Inx+，a2+x2+C2 2.當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。sinxdt=:;x2tsintdt=-2tcoSt-coStdt)三3cost2sintC=2xcos,x2sin.xC但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次哥時可能保留根號,dx1.x二-tx、-x12-1t1比

3、121t6t11-tdt12-r.1-t一dt126.1-tdt12-1arcsinx上c63 3.當(dāng)被積函數(shù)只有形式簡單的三角函數(shù)時考慮使用萬能代換法。x使用萬目匕代換t-tan,x/2tan12,3對于萬能代換法有些同學(xué)可能覺得形式和計算麻煩而排斥使用，但是萬能代換可以把三角函數(shù)直接轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣砗瘮?shù)形式，其后可以直接參照有理函數(shù)的積分法。這不失為解題的一種好方法。2 2 不定積分中三角函數(shù)的處理不定積分的計算中三角函數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，然而有些形式類似的題目的解法卻大相徑庭。在這里我們有必要對含有三角函數(shù)的不定積分的解法進(jìn)行總結(jié)。除了之前提到的萬能代換的方法，我們可以對被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?/p>

4、轉(zhuǎn)換。因此，我們對被積函數(shù)中的三角函數(shù)的變形和轉(zhuǎn)換與三角函數(shù)的降次進(jìn)行歸納和總結(jié)。1 1.分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。12sinxdxdt221t21t12dt23/4t1/2dt2arctan3三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當(dāng)?shù)氖褂帽环e函數(shù)一sin122xcos一dx上下同乘sinx變形為x1sinxcosxdxcosxdcosx=_IT27TI1-cosx1cosx令u=cosx,則為udu/111一(二(一1-u1u21u41u41-u111cosxInc21cosx41-cosxln2,2x12tan一一-sec24、222 2.只有

5、三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意sinx+cosx=1的使用。sinxcosx,dxsinxcosx1：-sinx-cosx(sinx+cosxf-1sinxcosxdxsinx-cosx-dx而sin(x+n/4)_212lntanxn-0,設(shè)方程ax2+bx+c=0兩個實(shí)根為a,P,令Max2+bx+c=t(x-c),可使上述積分有理化。2如果A0,則萬程ax+bx+c=0沒有實(shí)根，令Max2+bx+c=Jaxt,可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè)Vax2+bx+c=xtJc,至于采用哪種替換，具體問題具體分析。注意到：16t2et2t3etyiV2V3t_2t3ett-2t3ett-2t3et1-2t2ett1-2t2ett1-2