202X版高考數(shù)學一輪復習第五章平面向量5.2平面向量的數(shù)量積及其應用課件

1、5.2平面向量的數(shù)量積及其應用高考數(shù)學高考數(shù)學 (江蘇省專用)五年高考A A組組 自主命題自主命題江蘇卷江蘇卷題組題組1.(2019江蘇,12,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.若=6,則的值是.ABACAOECABAC答案答案3解析解析本題考查平面向量基本定理、向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積等有關知識,考查學生的抽象概括能力和運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學運算.過D作DFEC,交AB于F.D為BC的中點,F為BE的中點,又BE=2EA,EF=EA,又DFEO,AO=AD,=(+).12AO12AD1212ABAC=(+)=.=6,=

2、-+,=3,|=|,=.AOEC14ABAC13ACAB14222133ACAB ACABABACAOECABAC322AC122ABABAC2AB2ACAB3 ACABAC3一題多解一題多解由于題目中對BAC沒有限制,所以不妨設BAC=90,AB=c,AC=b,建立如圖所示的平面直角坐標系.則E,D,易得lAD:y=x,lEC:+=1,聯(lián)立得解得則O.由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.0,3c,2 2b ccbxb3yc,1,3cyxbxycb,4,4bxcy,4 4b cABACAOEC,4 4b c,3cb3ABAC32.(2016江蘇,13,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中

3、點,E,F是AD上的兩個三等分點,=4,=-1,則的值是.BACABFCFBECE答案答案78解析解析解法一:=(+)(-)=-,同理,=-,=-,因為E,F是AD上的兩個三等分點,所以=9,=4,由-可得8=5,即=.由可得=+3=-1+=.解法二:由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)BACAABACADDBADDB2AD2DBBECE2ED2DBBFCF2FD2DB2AD2FD2ED2FD2FD2FD58BECEBFCF2FD15878BEBDDE12BC23DA12BC23AD12ACAB13ABAC16AC56ABCECDDE12CB23DA12CB

4、23AD12ABAC13ABAC=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因為=4,所以=4,則=-=-+=-(+)16AB56ACBFBDDF12BC13DA12ACAB16ABAC13AC23ABCFCDDF12CB13DA12ABAC16ABAC13AB23ACBACAABACBFCF13AC23AB1233ABAC19ABAC292AB292AC49ABAC59ABAC292AB2AC=4-(+)=-1,所以+=,從而=-=-+=-(+)+=-+4=.59292AB2AC2AB2AC292BECE16AC56AB1566ABAC5362AB5362AC2636A

5、BAC5362AB2AC2636ABAC5362922636637278解后反思解后反思求解平面向量的有關問題,通常有兩種處理方法:一是通過建立直角坐標系,轉化為向量的坐標運算來加以解決,二是選擇兩個不共線的向量作為基底,通過將所求的向量轉化為用基底表示的形式來加以解決.一般情況下,運用向量的坐標運算時可操作性強,而運用向量的基底時對思維的要求較高.方法總結方法總結應用基底來處理相關的向量問題時,要注意合理選擇向量的基底.一般地,我們在選擇基底時,要注意充分利用圖形的“對稱性”進行選擇.3.(2015江蘇,14,5分)設向量ak=(k=0,1,2,12),則(akak+1)的值為.cos,si

6、ncos666kkk110k答案答案93解析解析akak+1=cos,sin+cos=coscos+=coscos+sinsin+sincos+cossin+coscos=cos+sin+coscos=+sin+cos2-cossin=+sin+-sin=+sin+cos.因為y=sin,y=cos的周期皆為6,一個周期內的函數(shù)值和皆為零,因此(akak+1)=12=9.cos,sincos666kkk(1)6k(1)6k(1)6k6k(1)6ksincos66kk(1)(1)sincos66kk6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k6k(1)6k626k6k(1)6k322

7、6k326k126k6k3226k341 cos3k143k3 34(21)6k12(21)6k(21)6k12(21)6k110k3 343B B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點一平面向量的數(shù)量積考點一平面向量的數(shù)量積1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=.答案答案8解析解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標運算,考查了方程的思想方法.ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.易錯警示易錯警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.2.(2019課標全國理改編,3,5分)已知=(2,3)

8、,=(3,t),|=1,則=.ABACBCABBC答案答案2解析解析本題考查了平面向量的坐標表示以及數(shù)量積和模的求解;通過模的運算,考查了方程的思想方法.考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學運算.=-=(1,t-3),|=1,t=3,=(2,3)(1,0)=2.BCACABBC221(3)tABBC思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用數(shù)量積的坐標運算求出數(shù)量積.BC3.(2019課標全國理改編,7,5分)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為.答案答案3解析解析本題考查向量的運算及向量的夾角;考查學生的運算求解能力;考查了數(shù)形結合思想;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學建模和數(shù)學

9、運算.解法一:因為(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因為|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=.解法二:如圖,令=a,=b,則=-=a-b,因為(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=,即=.123OAOBBAOAOB33思路分析思路分析本題可由兩向量垂直的充要條件建立方程求解;也可以將兩向量放在直角三角形中,由題設直接得到兩向量的夾角.4.(2019課標全國理,13,5分)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-b,則cos=.5答案答案23解析解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積、模長及平面向量夾角的計

10、算;通過向量的數(shù)量積、夾角的求解考查學生運算求解的能力,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,|c|=|2a-b|=3.cos=.5552(25 )ab224a5b4 5a b|a ca c23小題巧解小題巧解不妨設a=(1,0),b=(0,1),則c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.5521 323方法總結方法總結利用數(shù)量積求解向量模的處理方法:a2=aa=|a|2或|a|=;|ab|=.a a2()ab5.(2018課標全國理改編,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=.答案答案37解

11、析解析因為|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.6.(2017課標全國理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.答案答案23解析解析本題考查平面向量的模與數(shù)量積的計算,考查學生的運算求解能力.解法一(公式法):由題意知ab=|a|b|cos60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.解法二(坐標法):根據(jù)已知條件建立恰當?shù)淖鴺讼?由題意,不妨取a=(2,0),b=,則a+2b=(3,),所以|a+2b|=2.12313,22322

12、3( 3)37.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|ae|+|be|,則ab的最大值是.6答案答案12解析解析對任意單位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,當且僅當a+b與e共線時,等號成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值為.661212考點二數(shù)量積的綜合應用考點二數(shù)量積的綜合應用1.(2019課標全國文改編,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=.答案答案2解析解析本題主要考查平面向量的坐標運算以及向量模的計算;考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

13、.a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=.22( 1)12一題多解一題多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,則|a-b|=.222aa bb 132 1213 22.(2019天津理,14,5分)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則=.3BDAE答案答案-1解析解析本題主要考查平面幾何知識的應用、解三角形、向量的坐標運算及數(shù)量積的求解;考查學生數(shù)形結合思想的應用以及運算求解能力;通過向量的不同表現(xiàn)形式更全面地考查了學生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).解

14、法一:BAD=30,ADBC,ABE=30,又EA=EB,EAB=30,在EAB中,AB=2,EA=EB=2.以A為坐標原點,AD所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),=(2,-),=(1,),333BD3AE3=(2,-)(1,)=-1.解法二:同解法一,得AB=2,以,為一組基底,則=-,=+=-,=(-)=-+-=-=52-12-25=-1.BDAE333ABADBDADABAEABBEAB25ADBDAEADAB25ABADADAB2AB25ABAD252AD75ABAD2AB252AD75332253.(2018北京理改編,

15、6,5分)設a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的.(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”或“既不充分又不必要條件”)答案答案充分必要條件解析解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應用以及充分、必要條件的判斷.|a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0ab.方法總結方法總結1.平面向量模的問題的處理方法:通常是進行平方,轉化成平面向量的數(shù)量積問題解決.2.充分條件與必要條件的判斷方法:(1)直接法:分別判斷命題“若p,則q”和“若q,則p”的真

16、假.(2)集合法:設p、q對應的集合分別為P,Q,利用集合間的包含關系進行判斷.(3)利用原命題與其逆否命題同真假來判斷.4.(2018天津文改編,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2,則的值為.BMMACNNABCOM答案答案-6解析本題考查向量的運算.解法一:連接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),=3(-)=3(-|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC中,不妨設A=90,取特殊情況ONAC,以A為坐標原點,AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,因為MON=120,ON=2

17、,OM=1,所以O,C,M,B.故=-=-6.BCACABANAMONOAOMOAONOMBCOMONOMOMONOMOM32,23 30,25,0215,02BCOM15 3 3,2213,22154945.(2018天津理改編,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點,則的最小值為.AEBE答案答案2116解析解析本題主要考查數(shù)量積的綜合應用.解法一:如圖,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,當

18、t=-=時,取得最小值,()min=-+=.解法二:令=(01),由已知可得DC=,=+,=+=+,=(+)(+)=+|2+2|233,2233AEBE33,22t32323322 134AEBEAEBE3163234322116DEDC3AEADDCBEBAAEBAADDCAEBEADDCBAADDCADBAADDCBADC=32-+.當=-=時,取得最小值.3232322 314AEBE2116方法總結方法總結向量的最值問題常用數(shù)形結合的方法和函數(shù)的思想方法求解,建立函數(shù)關系時,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐標運算.6.(2018浙江改編,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單

19、位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是.3答案答案-13解析解析本題考查平面向量的數(shù)量積、坐標運算、向量模的最值和點到直線的距離.設=a,=b,=e,以O為原點,的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,則E(1,0).不妨設A點在第一象限,a與e的夾角為,點A在從原點出發(fā),傾斜角為,且在第一象限內的射線上.設B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.而=a-b,|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=x(x0)的距離減

20、去圓的半徑,所以|a-b|min=-1.OAOBOEOE33BA33一題多解一題多解將b2-4eb+3=0轉化為b2-4eb+3e2=0,即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e).設=e,=a,=b,=3e,=2e,則,點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖.|a-b|=|,|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.|=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.OEOAOBONOMEBNBBAOM3337.(2017課標全國理改編,12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則(+)的最小值是.

21、PAPBPC答案答案-32設BC的中點為D,AD的中點為E,則有+=2,則(+)=2=2(+)(-)=2(-).PBPCPDPAPBPCPAPDPEEAPEEA2PE2EA解析解析而=,當P與E重合時,有最小值0,故此時(+)取最小值,最小值為-2=-2=-.2AE232342PEPAPBPC2EA3432方法總結方法總結在求向量數(shù)量積的最值時,常用取中點的方法,如本題中利用=-可快速求出最值.PAPD2PE2EA一題多解一題多解以AB所在直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標系,如圖,則A(-1,0),B(1,0),C(0,),設P(x,y),取BC的中點D,則D.(+)=2=2(-1

22、-x,-y)=2=2.因此,當x=-,y=時,(+)取得最小值,為2=-.313,22PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC34328.(2015福建改編,9,5分)已知,|=,|=t.若點P是ABC所在平面內的一點,且=+,則的最大值等于.ABACAB1tACAP|ABAB4|ACACPBPC答案答案13解析解析以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則B(t0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故的最大值為13.1,0tPBPC11, 4t14tt1,“ ”2t當

23、且僅當時 取PBPC9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動點E和F分別在線段BC和DC上,且=,=,則的最小值為.BEBCDF19DCAEAF答案答案2918解析解析如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標系,則B(2,0),C,D.由=得E,由=得F.33,2213,22BEBC32,22DF19DC113,292從而=+2=當且僅當=時,取等號.AEAF32,22113,2921718292171813291823C C組教師專用題組組教師專用題組考點一平面向量的數(shù)量積考點一平面向量的數(shù)量積1.(2014課標全國改編

24、,3,5分)設向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則ab=.106答案答案1解析解析由|a+b|=得a2+b2+2ab=10,由|a-b|=得a2+b2-2ab=6,-得4ab=4,ab=1.106思路分析思路分析分別對|a+b|=和|a-b|=兩邊平方,然后作差即可求得ab.106一題多解一題多解設m=a+b,n=a-b,則|m|=,|n|=,且a=(m+n),b=(m-n).則ab=(m+n)(m-n)=(m2-n2)=1.106121214142.(2013課標全國,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,則t=.答案答案2解析解析解法一

25、:bc=0,bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0,又|a|=|b|=1,=60,t+1-t=0,t=2.12解法二:由題意作=a,=b,=60,|=|=1,設=c,則由c=ta+(1-t)b及bc=0,知A、B、C三點共線且BOC=90,如圖,可知C在BA的延長線上,所以A為BC的中點,即a=b+c,所以c=2a-b,所以t=2.OAOBOAOBOAOBOC1212思路分析思路分析可以利用向量的數(shù)量積運算列方程求得t值;也可以將題中滿足條件的向量用共起點的有向線段表示,從而畫出符合條件的幾何圖形,通過分析圖形中向量終點間的位置關系求得t的值.3.(2013課標全國,14,5分)

26、已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則=.AEBD答案答案2解析解析解法一:=(-)=-+0=22-22=2.解法二:以A為原點建立平面直角坐標系(如圖).則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).=(1,2),=(-2,2).從而=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.AEBD12ADABADAB2AD122AB12AEBDAEBD評析評析本題考查了向量的基本運算.向量的運算可以利用運算法則也可以利用坐標運算.4.(2012江蘇,9,5分)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若=,則的值是.2ABAF2A

27、EBF答案答案2解析解析以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,設F(x,2),=(x,2),=(,0),=x=,F(1,2),=.AFAB2ABAF22AEBF25.(2012課標,13,5分)已知向量a,b的夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=.10答案答案32解析解析|2a-b|=,(2a-b)2=10,4+|b|2-4|a|b|cos45=10,|b|=3.1026.(2011課標全國文改編,3,5分)設向量a,b滿足|a|=|b|=1,ab=-,則|a+2b|=.12答案答案3解析解析因為|a|=|b|=1,ab=-,所以|a+2b|=.

28、122244aa bb 1423考點二數(shù)量積的綜合應用考點二數(shù)量積的綜合應用1.(2015湖南,8,5分)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且ABBC.若點P的坐標為(2,0),則|+|的最大值為.PAPBPC答案答案7解析解析解法一:由圓周角定理及ABBC,知AC為圓的直徑.故+=2=(-4,0)(O為坐標原點).設B(cos,sin),=(cos-2,sin),+=(cos-6,sin),|+|=7,當且僅當cos=-1時取等號,此時B(-1,0),故|+|的最大值為7.解法二:同解法一得+=2(O為坐標原點),又=+,|+|=|3+|3|+|=32+1=7,當且僅當與同向時取等號

29、,此時B點坐標為(-1,0),故|+|max=7.PAPCPOPBPAPBPCPAPBPC22(cos6)sin3712cos3712PAPBPCPAPCPOPBPOOBPAPBPCPOOBPOOBPOOBPAPBPC評析評析本題考查向量的坐標運算,向量的模等基礎知識,對能力要求較高.2.(2009江蘇,15,14分)設向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).(1)若a與(b-2c)垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tantan=16,求證:ab.解析解析(1)a與(b-2c)垂直,a(b-2c)=ab-2ac=0,即4c

30、ossin+4sincos-8coscos+8sinsin=0,即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2.(2)b+c=(sin+cos,4cos-4sin),|b+c|2=sin2+2sincos+cos2+16cos2-32cossin+16sin2=17-30sincos=17-15sin2,其最大值為32,所以|b+c|的最大值為4.(3)證明:由tantan=16,得sinsin=16coscos,即4cos4cos-sinsin=0,所以ab.2三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組考點一平面向量的數(shù)量積考點

31、一平面向量的數(shù)量積1.(2019無錫期中,5)已知向量a,b的夾角為120,|a|=4,|b|=3,則|2a+b|的值為.答案答案7解析解析因為ab=|a|b|cos120=-6,所以|2a+b|=7.2(2)ab2244aba b6494 ( 6) 2.(2019南通基地學校3月聯(lián)考,10)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(,1)在以原點O為圓心的圓上.已知圓O與y軸正半軸的交點為P,延長AP至點B,使得AOB=90,則=.3BPOA答案答案2解析解析由題意可知圓的半徑為r=2,則P(0,2),由AOB=90可得=0,故=(+)=+=(0,2)(,1)=2.2( 3)1OAOBBPOAB

32、OOPOABOOAOPOA33.(2019連云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,A=,AD是A的平分線,則=.23ADAB答案答案98解析解析如圖所示,AD是A的平分線,=3,=+=+=+(-)=+,=+=+31cos=.BDDCABACADABBDAB34BCAB34ACAB14AB34ACADAB1344ABACAB142AB34ACAB94342398一題多解一題多解AD為A的平分線,A=,BAD=CAD=,SABD+SACD=SABC,ABADsinBAD+ACADsinCAD=ABACsinBAC,3AD+AD=3,AD=,=3cos=.23312121234ADA

33、B343984.(2019靖江檢測,11)在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若=3,=,且=-1,則實數(shù)的值為.BCCEAFABAEDF答案答案14解析解法一:=(+)(+)=(+)=(+)=(-)=|2-|2+|cos60=-+=-1.解得=.解法二:如圖,建立平面直角坐標系,則E,F(2,0),D,AEDFABBEDAAF43ABBCDAAF4()3ABBAADDCDAAF1433ABADABAD3AB43AD4133ABAD43434133144 2 3,3313,22則=,=,所以=+=-1.解得=.AE4 2 3,33DF132,22AEDF12243

34、2 333214評析評析基底法與建系法是解決向量問題的兩種常用方法,要會根據(jù)條件選擇合適的方法,簡化解題過程.5.(2019南京、鹽城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高,點P在DA的延長線上,且滿足(+)=4.若AD=,則的值為.PBPCAD22PBPC答案答案2解析解析由ADBC,得=0,因為(+)=4,所以(2+)=4,所以=2,即|cos0=2,所以|=2,所以=(+)(+)=+=+|cos=-|=|2-|2=4-2=2.ADDCADBDPBPCAD2PDDBDCAD2PDAD2PDAD2PDPBPCPDDBPDDC2PDDBDC2PDDBDC2PDDBDCPDAD考

35、點二數(shù)量積的綜合應用考點二數(shù)量積的綜合應用1.(2017江蘇六校聯(lián)考,12)在ABC中,已知AB=8,AC=6,點O為三角形的外心,則=.BCOA答案答案14解析解析設AB,AC的中點分別為M,N,連接OM,ON,由題意知MOAB,ONAC,從而(-)=0,(-)=0,即=0,=0,所以=32,=18,所以=(-)=-=-18+32=14.AOAMABAOANAC12AOABAB12AOACACAOAB122ABAOAC122ACBCOAACABOAACOAABOA2.(2019如皋期末,12)如圖,在四邊形ABCD中,已知AB=2,CD與以AB為直徑的半圓O相切于點D,且BCAD,若=-1,

36、則=.ACBDADOD答案答案32解析解析因為=-1,所以(+)=-1,所以+=-1,因為AB為直徑,BCAD,所以BDBC,所以=0,所以=-1,所以|cos(-ABD)=-1,可得|=1,在RtABD中,易得AD=,OBD=,又OB=OD,所以OBD為等邊三角形,所以BOD=,所以ADO=,所以=|cos=1=.ACBDABBCBDABBDBCBDBCBDABBDABBDBD3336ADODADOD633232思路分析思路分析根據(jù)題意以及圓的直徑所對的圓周角為直角,可得=-1,求得|=1,然后求得OBD為等邊三角形,求出BOD=,得ADO=,再利用數(shù)量積求得結果.ABBDBD363.(20

37、19海安高級中學檢測,13)如圖,已知AC=8,B為AC的中點,分別以AB,AC為直徑在AC的同側作半圓,M,N分別為兩半圓上的動點(不含端點A,B,C),且BMBN,則的最大值為.AMCN答案答案4解析解析設NBC=,因為BMBN,所以MBA=-,則BM=ABcos=4sin,則=(-)(-)=-+=-16=-16+=16sin2+16cos-16=-16+44,所以的最大值為4.0,222AMCNBMBABNBCBMBNBMBCBABNBABCBMBCBABNBMBABCBN21cos2AMCN一題多解一題多解以BC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系,設NBC=,因為BM

38、BN,所以MBA=-,則BM=ABcos=4sin,則A(-4,0),C(4,0),N(4cos,4sin),所以M(2cos2-2,2sin2),=(2cos2+2,2sin2),=(4cos-4,4sin),則=(2cos2+2)(4cos-4)+2sin24sin=8cos2cos+8sin2sin+8cos-8cos2-8=-16+44,所以的最大值為4.0,222AMCNAMCN21cos2AMCN4.(2019揚州期中,12)在ABC中,AH是邊BC上的高,點G是ABC的重心,若ABC的面積為+1,AC=,tanC=2,則(+)(+)=.65AHBCGBGC答案答案1解析解析在Rt

39、AHC中,tanC=2,AC=,所以解得AH=2,HC=1,故AHC的面積為1,又ABC的面積為+1,所以ABH的面積為,所以BH=.延長BG交AC于點D,因為G為ABC的重心,所以D為AC的中點,以H為原點建立平面直角坐標系,如圖.則H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(-,0),由中點坐標公式,得D,設G(x,y),5222,5,AHHCAHHC66661,12由=,得(x+,y)=,所以x=,y=,所以G.則+=(0,-2)+(1+,0)=(1+,-2),+=+=,所以(+)(+)=(1+,-2)=+=1.BG23BD62316,121632316 2,33AHBC66GBGC1

40、2 62,33 262,33164,33AHBCGBGC6164,331 63835.(2019南京、鹽城二模,15)設向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0,0,且a+b與a-b相互垂直.(1)求實數(shù)的值;(2)若ab=,且tan=2,求tan的值.245解析解析(1)由a+b與a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以cos2+2sin2-1=0.(2分)又因為sin2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0.(4分)因為00,所以=1.(6分)(2)由(1)知a=(cos,sin).由ab=得coscos+sinsin=,即cos=.(8分)因為

41、0,所以-0,所以sin(-)=-=-.(10分)所以tan(-)=-,(12分)因此tan=tan(-)+=.(14分)24545452221cos ()35sin()cos()34tan()tan1tan()tan126.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學情況調查一,16)已知向量a=(2cos,2sin),b=(cos-sin,cos+sin).(1)求向量a與b的夾角;(2)若(b-a)a,求實數(shù)的值.解析解析(1)設向量a與b的夾角為,因為|a|=2,|b|=,(4分)所以cos=.(7分)考慮到0,則向量a與b的夾角為.(9分)(2)若(b-a)a,則(b-a)a=0,即ba-a2=0,(

42、12分)因為ba=2,a2=4,所以2-4=0,解得=2.(14分)22(cossin )(cossin )2| |a bab(2cos ,2sin ) (cossin ,cossin )2 2222cos2sin2 2224一、填空題(每小題5分,共40分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時間：40分鐘 分值：55分)1.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學情況調查二,13)如圖,在等腰直角三角形ABC中,CAB=90,AB=2,以AB為直徑在ABC外作半圓O,P為半圓弧AB上的動點,點Q在斜邊BC上,若=,則的最小值為.ABAQ83AQCP

43、答案答案-2 53解析解析以O為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),設P(cos,sin),Q(x,y),=,即(2,0)(x+1,y)=,Q,則=,=(cos+1,sin+2),故=cos+-sin-=cos-sin=sin(-),其中tan=2,0,的最小值為-.ABAQ838312,33AQ42,33CPAQCP4343234343232 53AQCP2 532.(2019宿遷期末,12)如圖所示,矩形ABCD的邊AB=4,AD=2,以點C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點E,若點P是圓弧EB(含端點B、E)上的一點,則的取值

44、范圍是.PAPB答案答案8-8,02解析解析以C為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系.點P的軌跡方程為x2+y2=4(x0,y0),設P(2cos,2sin),又A(-4,-2),B(0,-2),則=(-4-2cos,-2-2sin),=(0-2cos,-2-2sin),所以=8cos+8sin+8=8sin+8,因為,所以+,3,2PAPBPAPB243,2457,44sin,則8-8,0.所以的取值范圍是8-8,0.421,2 PAPB2PAPB23.(2019啟東中學、前黃中學、淮陰中學等七校聯(lián)考,12)如圖,在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,E,F是AB上的兩個三等分點

45、,G,H是AC上的兩個三等分點,(+)(-)=-,則bcosC的最小值為.BGCEBHCF109答案答案1解析解析因為=-,=-,=-,=-,所以(+)(-)=-(+)(-)=-,所以AC2-AB2=1,作AMBC,垂足為M,則AC2-AB2=MC2-BM2=1,則bcosC=CM=1.所以bcosC的最小值為1.BG13ACABCE13ABACBH23ACABCF23ABACBGCEBHCF2233ACAB5533ACAB109ABACACAB10921BM 思路分析思路分析從條件看,考慮用基底法去研究,因為等分點在AB,AC上,所以考慮用,作為基底表示其余向量,找到兩邊關系,然后構造直角三

46、角形,去轉化理解bcosC的意義,題目就能夠順利解決.ABAC4.(2019如皋檢測,10)在平行四邊形ABCD中,A=,AB=2,AD=1,若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿足=,則的取值范圍是.3|BMBC|CNCDAMAN答案答案2,5解析解析以AB所在直線為x軸,過A點且垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系,過D點作DE垂直于x軸,垂足為E,則A(0,0),D,B(2,0),C.設=,0,1,M,N,故=-2-2+5=-(+1)2+62,5.13,2253,22|BMBC|CNCD32,22532 ,22AMAN5.(2019南通、揚州、泰州、蘇北四市七市一模,12)在平

47、面四邊形ABCD中,AB=1,DA=DB,=3,=2,則|+2|的最小值為.ABACACADACAD答案答案25解析解析以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(0,0),B(1,0),又DA=DB,所以設D,因為=|cosCAB=3,所以設C(3,n),又=2,所以mn=,故|+2|=2.1,2mABACACACAD12ACAD224(2 )nm221644nmmn22184mn184mn5當且僅當即或時,取“=”.故|+2|的最小值為2.2,1,2mnmn1,21mn1,21mn ACAD56.(2019姜堰中學、淮陰中學期中,14)如圖,在ABC中,=,=,

48、CD與BE交于點P,AP=1,BC=4,=2,則的值為.AD12ABAE13ACAPBCABAC答案答案13解析解析設=,=+=(1-)+=(2-2)+.D,P,C三點共線,2-2+=1,解得=.=+.AP=1,BC=4,=2,解得=.BPBE13BAACAPABBPAB3ACAD3AC335AP25AB15ACAPBC2222211,55()16,21()2,55APABACBCACABAP BCABACACABABAC137.(2018南通第一次調研,12)如圖,已知矩形ABCD的邊長AB=2,AD=1.點P,Q分別在邊BC,CD上,且PAQ=45,則的最小值為.APAQ答案答案4-42解析解析解法一:以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1).設PAB=,則=(2,2tan),=tan,1,因為=(2,2tan)=2tan+2tan=+2tan=+2tan-2=+2(tan+1)-44-4,當且僅當tan=-1時“=”成立,所以的最小值為4-4.解法二:設PAB=,則DAQ=-,則AP=,AQ=,=|cos=APAQ410tan2APAQtan,1442(1tan )1tan41tan41