一類含間隙機械振動系統(tǒng)的概周期運動與混沌

1、一類含間隙機械振動系統(tǒng)的概周期運動與混沌摘 要：本文研究了一個有雙質(zhì)量和間隙的振動系統(tǒng)。對該系統(tǒng)的動力學(xué)研究主要圍繞 非共振和弱共振情況中周期運動的Hopf分岔。 建立了該振動系統(tǒng)的Poincare 映射。用分析法研究了一個有沖擊周期運動的穩(wěn)定性。確定了霍普夫分岔數(shù)值 及一個有沖擊的周期運動的沖擊條件。運用中心流形定理，得到Poincare映射的 余維二維二分岔，用常規(guī)模式理論進行了常規(guī)區(qū)分。通過霍普夫分岔在定 點的理論，分析了沖擊振動的局部動態(tài)特性。用各種數(shù)值方法驗證了理論分析。 通過數(shù)值模擬獲得了影響混沌周期運動的研究道路。關(guān)鍵詞：振動沖擊；間隙；Hopf分岔；概周期運動；混沌1.簡介任何

2、時候當(dāng)一個振動系統(tǒng)的成分與不平障礙物相撞或互相撞擊的時候，就會產(chǎn)生沖擊震蕩。這種沖擊系統(tǒng)存在于很多工程應(yīng)用中，尤其是機械制造和含有間隙的機器中。這些沖擊產(chǎn)生非線性或非持續(xù)性，使得沖擊系統(tǒng)可以表現(xiàn)出豐富且復(fù)雜的動態(tài)行為。近年來，機械系統(tǒng)的沖擊動力學(xué)成為許多學(xué)者研究的課題，同時他們提出了很多新的理論問題。 Natsiavas1分析了自主存在與和諧刺激下的二自由度分段線性系統(tǒng)，獲得了概周期運動，并通過數(shù)據(jù)方法獲得了沖擊混沌的研究道路。Chatterjee和Mallik2研究了單自由度自主存在有減震器的振蕩器的概周期沖擊振動。Budd3研究了一個與單邊控制的的單自由度沖擊振動系統(tǒng)，證明如果恢復(fù)系數(shù)少于

3、1，概周期運動不能在系統(tǒng)中發(fā)生。謝建華4研究了單自由度系統(tǒng)與單邊振幅限制的余維二分岔并發(fā)現(xiàn)了Hopf二周期沖擊軌道。羅冠偉和謝建華5,6考慮了無阻尼的二自由度碰撞振動系統(tǒng)，在無共振、弱共振和強共振情況中研究了單沖擊周期運動的概周期運動。本文主要研究了存在兩個質(zhì)量塊和一個間隙的沖擊振動系統(tǒng)。主要是專門研究無共振和弱共振情況中碰撞振動系統(tǒng)周期運動Hopf。首先，選擇了有一個間隙的沖擊振動系統(tǒng)的Poincare映射來建立Poincare截面，然后分析和研究了這個沖擊振動系統(tǒng)的周期運動。運用中心流形定理，使得Poincare映射降到二維空間。通過霍普夫分岔在定點的理論，分析了沖擊振動的局部動態(tài)特性。用

4、各種數(shù)值方法驗證了理論分析。通過數(shù)值模擬獲得了影響混沌周期運動的研究道路。2. 含單沖擊周期n運動系統(tǒng)圖1是一個雙質(zhì)體沖擊振動系統(tǒng)與固定約束發(fā)生碰撞的力學(xué)模型。質(zhì)量為的質(zhì)量塊的位移分別由表示。質(zhì)量塊分別由剛度為的線性彈簧和阻尼系數(shù)為的線性阻尼器連接于支撐。 圖1雙質(zhì)體沖擊振動成型機的力學(xué)模型兩個質(zhì)量塊作垂直方向的運動,分別受到簡諧激振力和。兩個質(zhì)量塊上受到的激振頻率和相位角相同。當(dāng)質(zhì)塊的位移與質(zhì)塊的位移之差等于間隙時， 與發(fā)生碰撞振動。即。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼。該碰撞過程由碰撞振動定律、動量守恒定律和碰撞恢復(fù)系數(shù)確定，并認(rèn)為碰撞的持續(xù)時間與周期碰撞過程中的力比起來可

5、以忽略?？紤]兩質(zhì)量塊的沖擊運動是連續(xù)的。在連續(xù)沖擊過程中，把前一個沖擊結(jié)束時的時間設(shè)為0，初相位角僅用來在計算中作為一種開始的時間選擇為。該沖擊振動的系統(tǒng)在沖擊后立即為后面沖擊運動過程的提供參數(shù)條件。在連續(xù)沖擊過程中，始終滿足。任意相鄰兩次碰撞之間，沖擊振動系統(tǒng)運動微分方程的無量綱形式為： （1）在方程（1）中，“”表示對無量綱時間求導(dǎo)數(shù)，其中無量綱量為 (2)當(dāng)發(fā)生沖擊振動時，即。質(zhì)量塊的速率由碰撞振動定律、動量守恒定律和碰撞恢復(fù)系數(shù)的定義，兩質(zhì)量塊的沖擊方程及沖擊恢復(fù)系數(shù)為： 由于剛度和阻尼之間的特殊關(guān)系，可對方程（1）進行分析處理。令表示方程（1）的正則模態(tài)矩陣。表示無碰撞情況下系統(tǒng)的固

6、有頻率。取坐標(biāo)變換，將方程（1）解耦為： 式中，；是一個階單位矩陣；是一個階對角矩陣通過模態(tài)疊加法可確定方程（1）的解。設(shè)方程（1）的通解有如下形式：式中，是正則模態(tài)矩陣的元素；是積分常數(shù)；由系統(tǒng)的初始條件和模態(tài)參數(shù)確定。為振幅常數(shù) 令，通常有兩種方法選擇Poincare截面：，其中， 。因為沖擊振動系統(tǒng)存在由“擦邊運動”造成的映射奇異性，選擇作為Poincare截面不易觀察沖擊系統(tǒng)的“擦邊運動”，所以選擇截面建立Poincare映射 （10）其中，,是一個實分岔參數(shù)，；，是Poincare截面上的不動點；和是不動點的擾動量。在適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)條件下，圖1中所示振動沖擊系統(tǒng)的運動能夠呈現(xiàn)為周期性

7、。兩質(zhì)塊在碰撞后瞬時，設(shè)無量綱時間為，那么下一次兩質(zhì)塊相互碰撞前瞬時，無量綱時間恰好為。將坐標(biāo)的原點平移至某碰撞點，可以由沖擊運動的周期性條件其中，是兩質(zhì)塊碰撞前的瞬時速度。將周期沖擊條件式（11）代入方程（1）的通解?？梢詮姆匠蹋?）和（7）解出積分常數(shù)。為敘述方便，首先給出符號其中，如果間隙，令 則否則 式中 積分常數(shù)表達式如下： 在公式（14）中，“” 意思是沖擊振動系統(tǒng)在相同的系統(tǒng)參數(shù)情況下可能存在兩個不同的周期運動。此時單周期n運動存在必須滿足以下條件否則，單周期n運動不存在。將式（14）（17）代入方程（1）的通解中，可以得到時雙質(zhì)體沖擊振動成型機的周期運動的精確解及其在Poinc

8、are截面上相應(yīng)的不動點。本文研究中，我們引用符號 來表明沖擊系統(tǒng)的周期性運動的特點， 是沖擊次數(shù)，是被迫循環(huán)次數(shù)。3. Poincare映射、穩(wěn)定性與局部分岔我們考慮周期運動的受擾運動。為了分析方便，坐標(biāo)原點平移至某次沖擊點。此時，分別代表受擾運動的位移和速率。 在兩個質(zhì)塊連續(xù)的沖擊中，滿足，受擾運動可以寫成式中 對于受擾運動，在質(zhì)塊與質(zhì)塊碰撞后瞬時，設(shè)無量綱時間為0，則下一次兩質(zhì)塊碰撞前瞬時，無量綱時間為，。令，連續(xù)兩次碰撞的初始條件與終值條件為 式中，分別表示兩質(zhì)塊碰撞前后的瞬時時間。將式（21）中初始條件（）代入到擾動解式（17），可以解出式中，。將式(21)中的終值條件（）代入到式(

9、17)得出定義函數(shù)為 由存在固定點的條件為 假設(shè)，根據(jù)隱函數(shù)定理，由方程式(29)可以解得 將解式(30)代入(27)，可確定Poincare映射用 表示中起點的鄰點，則Poincare映射(31)可以簡要表示為 式中， 將展成的級數(shù) 將式(34)代入到映射(33)得出 式中， 分別表示為關(guān)于的二次、三次項的全體。映射在不動點處的線性化矩陣為 圖1振動沖擊系統(tǒng)具有穩(wěn)定的運動。 振動沖擊周期運動的穩(wěn)定性通過計算的特征值來決定。如果所有的特征值都在單位周期內(nèi)，則相應(yīng)的 運動及Poincare映射固定點是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。如果當(dāng)時，有最大模態(tài)的特征值在循環(huán)周期上，那么就有可能發(fā)生分岔。 一般情

10、況下，分岔根據(jù)單位周期的特征值的數(shù)量以各種方式發(fā)生，導(dǎo)致系統(tǒng)動力的數(shù)據(jù)變化。如果有一對復(fù)雜的結(jié)合特征值，當(dāng)穿越時，有一對復(fù)共軛特征值相應(yīng)穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓內(nèi)，在這種情況下，周期運動將可能發(fā)生Hopf 分岔。若穿越時，有一實特征值將從點處穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓周內(nèi)，這種情況下，周期運動將可能發(fā)生周期倍化分岔或鞍結(jié)分岔。4. 含單沖擊周期n運動系統(tǒng)Hopf分岔下面我們繼續(xù)考慮碰撞振動系統(tǒng)周期運動的Poincare映射，式中，,是一個分岔參數(shù)。 因此是該映射的一個固定不動點，在臨界值處，滿足下列假設(shè)： 有一對共軛特征值，滿足，其余特征值也在這個單位周期內(nèi)。 用表示與特征值

11、對應(yīng)的特征向量，如果是一對復(fù)共軛特征向量，則令特征矩陣為，否則，令。在的某個領(lǐng)域內(nèi)，令，映射（32）經(jīng)過坐標(biāo)變換，變換成 式中，。對于映射（37），存在一個中心流形9，在此中心流形上，映射（37）能夠被降階成一個二維映射，這個二維映射可表示為 式中在文獻5中有詳細解釋。因為在中心流形上映射在分岔點的某個鄰域內(nèi)的局部動力特性與二維映射在的某個鄰域內(nèi)的局部動力特性是等價的，所以由二維映射和下述引理，可以分析當(dāng)分岔參數(shù)穿越臨界值時映射Hopf分岔的存在及特性。引理10,11：令在是一個單周期的微分同胚映射，同時滿足以下假設(shè)條件： 對所有成立； 有一對共軛特征值，滿足； ； 在假設(shè)條件下，存在與相關(guān)的

12、坐標(biāo)變換，使成為范式 在極坐標(biāo)下 如果，則對，存在一個穩(wěn)定的不變?nèi)?；如果，則對，存在一個不穩(wěn)定的不變?nèi)?。假設(shè)為 式中，如果碰撞振動系統(tǒng)周期運動的映射滿足假設(shè)條件-，容易證明映射（38）滿足條件-。如果能夠選擇一組系統(tǒng)參數(shù)使Poincare映射（38）滿足假設(shè)條件-，則通過計算可以判斷映射（38）不變?nèi)Υ嬖?，根?jù)的“”符號可以判斷其穩(wěn)定性。因為在中心流上，映射（38）能夠被降階成為一個二維的映射。如果當(dāng)映射（38）有一個吸引（）或排斥（）的不變?nèi)?，圖1碰撞振動系統(tǒng)的周期碰撞運動相應(yīng)發(fā)生超臨界或亞臨界的Hopf分岔。其間隙為 。選取圖1沖擊振動落砂機的一組系統(tǒng)參數(shù)：。取激振頻率為分岔參數(shù)，令，計算

13、在區(qū)間內(nèi)的特征值。當(dāng)，的兩對復(fù)共軛特征值都位于復(fù)平面的單位圓周上，其余特征值仍在單位圓內(nèi),且，當(dāng)時有一對復(fù)復(fù)共軛特征值在單位周周上，由于穿越到，故其余特征值仍在單位圓內(nèi)。是一個Hopf分岔值，此處二維映射（38）滿足條件-。通過公式（43），我們得到 從上面得到的結(jié)果，我們可以得出在選定的系統(tǒng)參數(shù)下，這一映射（38）有一個有吸引（）的不變?nèi)?。這就是說一個超臨界Hopf分岔發(fā)生在有間隙和相同系統(tǒng)參數(shù)的沖擊振動系統(tǒng)上。該結(jié)論由下面的數(shù)值模仿結(jié)果證實。 （a） 質(zhì)量塊的相平面圖 (b)質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)相應(yīng)圖 圖2為質(zhì)塊當(dāng)，周期時的碰撞振動過程數(shù)值計算圖1單周期n運動碰撞振動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。取Poinca

14、re截面為，激振頻率為控制參數(shù)，選擇此碰撞振動系統(tǒng)相應(yīng)控制參數(shù)的解析不動點作為初始映射點。系統(tǒng)的Poincare截面是四維的。Poincare截面在等平面的投影稱為投影Poincare截面。不動點在相應(yīng)控制參數(shù)下，發(fā)生在初始值的單周期n運動可以從第二節(jié)中獲得。這可以被當(dāng)做數(shù)據(jù)分析中的起始點。數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明沖擊振動系統(tǒng)可表現(xiàn)穩(wěn)定周期的q=1/2沖擊運動的數(shù)值計算結(jié)果見圖2。當(dāng)穿越后，碰撞振動系統(tǒng)的周期運動失穩(wěn)，分岔成概周期運動，見圖3。隨著振動頻率增加，環(huán)面逐漸擴張。該周期由于“磕碰振動”失去穩(wěn)定性?？呐鰧?dǎo)致碰撞振動系統(tǒng)的相位角發(fā)生突變，環(huán)面破裂，概周期運動經(jīng)磕碰嵌入餛飩，見圖4。 圖3.單周

15、n運動碰撞振動系統(tǒng)的周期的Poincare映射： 圖4.混沌運動的Poincare映射：選取系統(tǒng)參數(shù)：和，令，計算在區(qū)間內(nèi)在不動點處的特征值。所有的特征值都在單位圓內(nèi)，此時系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的周期為沖擊運動，見圖5.。當(dāng)遞增穿越時，相應(yīng)穿越單位圓周，其余特征值仍在單位圓內(nèi)。Hopf分岔值，且有 從此結(jié)果，我們可以得出，在選定的系統(tǒng)參數(shù)下，該映射（38）有 一個吸引（）的不變?nèi)?。這就是說一個超臨界Hopf分岔發(fā)生在有間隙和相同系統(tǒng)參數(shù)的沖擊振動系統(tǒng)上。當(dāng)時，系統(tǒng)的不動點穩(wěn)定，存在一個周期性不變?nèi)?。?dāng)時，系統(tǒng)的不動點失去穩(wěn)定，該系統(tǒng)直接表現(xiàn)出混沌狀態(tài)，見圖6。 （a）質(zhì)量塊的相平面圖 (b)質(zhì)量塊的穩(wěn)

16、態(tài)相應(yīng)圖 圖5為質(zhì)塊當(dāng)，周期時的碰撞振動過程 圖6混沌狀態(tài)Poincare映射：5.結(jié)論本文研究了一類存在間隙的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的周期運動在非共振和弱共振情況中周期運動的Hopf分岔，建立了并確定了該振動系統(tǒng)的Poincare映射。用分析法調(diào)查了有一個沖擊的周期運動的穩(wěn)定性。確定了Hopf分岔數(shù)值及有一個沖擊的周期運動的沖擊條件與橫截條件。運用中心流形定理，得到Poincare映射的余維二維二分岔，用常規(guī)模式理論進行了常規(guī)區(qū)分。通過霍普夫分岔在定點的理論，分析了沖擊振動的局部動態(tài)特性。分析了沖擊振動系統(tǒng)的Hopf分岔的存在和穩(wěn)定性。這些機器和設(shè)備包括振動錘，緩沖器，壓縮機器，打磨燒結(jié)工具，齒輪，

17、振動器，高速鐵路客車輪軌相互作用。6. 參考文獻1 Natsiavas S. Dynamics of Multiple-Degree-of-Freedom Oscillatiors with ComponentsJ. Journal of Sound and Vibration,1993,165(3):439-453.2 Chatterjee S, Mallik A K. Bifurcations and Chaos in Autonomous Self-Excited Oscillators with Impact DampingJ.Journal of Sound and Vibratio

18、n,1996,191(4):539-562.3 Budd C, Dux F, Cliffe A. The Effect of Frequency and Clearance Variations on Single- Degree-of-Freedom Impact Oscilla-torsJ.Journal of Sound and Vibration ,1995,184(3): 475-502. 4 謝建華.一類碰撞振動系統(tǒng)的余維二分叉和Hopf分叉.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1996,(17): 65-75.5 羅冠偉，謝建華，孫訓(xùn)芳.高維映射的Hopf分叉分析及其在沖擊振動系統(tǒng)中的應(yīng)用. 振動工

19、程學(xué)報，1999, 12(3): 360-366.6 Luo Guanwei, Xie Jianhua, Sun Xunfang. Quasi-Periodic and Chaotic Behaviour of a Two-Dergree-of-Freedom Impact in a Strong Resonance caseJ.Acta Mechanica Solida Sinica,1999,12(3): 279-283.7 Ivanov A P.Stabilization of an Impact Oscillator near Grazing Incidence Owing to Reson