旋轉(zhuǎn)變換的運(yùn)用

1、幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識關(guān)于旋轉(zhuǎn)變化的教學(xué)案例章炯毅幾何多年來是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)。在長期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)幾何變換在 幾何問題的解決中所起的作用絲毫不遜色于代數(shù)變換在代數(shù)學(xué)習(xí)中的地位。 掌握 各種變換的概念及其性質(zhì)并把它們運(yùn)用到解題的實(shí)踐中是非常重要的。 平移、對稱和旋轉(zhuǎn)是解決平面幾何問題常用的三種圖形變換方法，它們零散地分布在初中幾何教材之中。所以我把它們相對集中起來，便于學(xué)生掌握。由于圖形變換是平面幾何中的難點(diǎn)， 不少學(xué)生感到非常困難，我在旋轉(zhuǎn)變換 的教學(xué)中嘗試?yán)枚喾N途徑幫助學(xué)生了解旋轉(zhuǎn)變換的特征，初步掌握利用旋轉(zhuǎn)變BABC在邊AC的延長線上取一點(diǎn) E，以CE為邊作等邊三角形換解題的方法，使學(xué)

2、生成為學(xué)習(xí)的主人。 首先給出兩個題目，讓學(xué)生解答： 例1,如圖：分別以.：ABC的邊AB、AC、 為邊作正方形ABDE和正方形ACFG。求證：EC=BG，EC 丄 BG。例2如圖：等邊三角形CDE它與三角形 ABC位于直線AE的同一側(cè)，點(diǎn) M為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為 線段BE的中點(diǎn)。求證：三角形 CMN為等邊三角形。例1、例2,學(xué)生利用熟悉的全等三角形的知識較快地解決了問題。在肯定了同學(xué)們的解題方法后，我適時地提出了問題的另一面一一利用旋轉(zhuǎn) 變換解題。以例1為例，借助計算機(jī)為輔助手段，把三角形 AEC，以點(diǎn)A為旋 轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90度，變成三角形ABG的過程展示給學(xué)生，使他們有了 一個初步

3、的感受。接著請學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)變換來研究例 2,同學(xué)們可以借助紙、剪刀、竹棒等物 品動手操作，然后突然有人發(fā)現(xiàn)這道題目剛剛利用兩次全等三角形來證明太復(fù)雜 了！如果利用旋轉(zhuǎn)變換把三角形 CEB，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60度, 變成三角形CDA，線段BE的中點(diǎn)N和線段AD的中點(diǎn)M正好重合，CN=CM， / NCM=60。多么美妙的方法?。⊥瑢W(xué)們的思維開始活潑起來。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出旋轉(zhuǎn)變換的根本性質(zhì)：(1) 對應(yīng)線段長度相等。(2) 對應(yīng)的夾角都相等。(3) 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。(4) 旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等。F然后我提出例3,這是一個跨越，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)題目中的旋轉(zhuǎn)變換還是相對容易 做到的，但要

4、利用旋轉(zhuǎn)變換來解題是相對困難的。例3,如圖：在正方形 ABCD中，E是CD 邊上任意一點(diǎn)，AF平分/ BAE。求證：DE+BF=AE。通過例3的分析和講解，使同學(xué)們進(jìn)一步明確旋轉(zhuǎn)變換往往是解決問題的 種手段，它可以使條件集中，從而找到解題方法。然后，六名同學(xué)一組討論兩道題目。(1)如圖：在等腰直角 .：ABC中，/ EAF=45 °，EFBE=2，F(xiàn)C=3。求：EF的長度。C(2)如圖：P 是等邊 ： ABC 內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=5，PC=4。 求：/ APC的度數(shù)。同學(xué)們在熱烈地討論中解決了問題，小組的代表發(fā)言與全班同學(xué)交流。最后大家認(rèn)為幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換可以使它的位置發(fā)生改變

5、，但它的形狀大小不變。在解一些幾何問題時，我們就經(jīng)常會利用圖形的變換來處理問題， 從而 取得很好的效果。如等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等圖形中，我們經(jīng)常 會采用旋轉(zhuǎn)變換制造全等三角形，從而把分散的條件集中，或產(chǎn)生一些特殊的圖 形解決問題。一個問題常常出現(xiàn)，為什么不少學(xué)生感到幾何難學(xué)呢？恐怕原因之一是從直觀到抽象這個環(huán)節(jié)出了問題。幾何又是用一大套定義、 公理、定理精心編織的體系，而這些定義、公理、定理是用嚴(yán)謹(jǐn)抽象的語言表達(dá) 的。多年來幾何教學(xué)讓學(xué)生背定義、 背定理，而缺乏足夠的幾何圖形作為抽象概 念的根底。不少學(xué)生對所背的內(nèi)容并不理解， 他們當(dāng)然感到枯燥困難?，F(xiàn)在我們完全可以發(fā)揮計算機(jī)的優(yōu)勢用豐富的圖形減少學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的困難、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，有時機(jī)盡可能讓學(xué)生親自動手 做幾何，體會發(fā)現(xiàn)知識的快樂。另一個原因是片面強(qiáng)調(diào)邏輯思維訓(xùn)練，無視了觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、猜想等方 面能力的培養(yǎng)，于