橢圓的第二定義(含解析)

1、課題：橢圓的第二定義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握橢圓的第二定義；2、能應(yīng)用橢圓的第二定義解決相關(guān)問題;、橢圓中的根本兀素1.根本量:a、b、c、e幾何意義：a-半長軸、b-半短軸、c-半焦距，e-離心率;相互關(guān)系：2 2 c a.2cb ,e -a2根本點：頂點、焦點、中心3.根本線： 對稱軸二.橢圓的第二定義的推導(dǎo)0)，求點M的軌跡.2問題：點M (x, y)與定點F(c,O)的距離和它到定直線i：x 的距離的比是常數(shù) -(a ca解：設(shè)d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P M|牛由此得.(x c)2 y22axc將上式兩邊平方，并化簡得(a2 c2)x22 2 2 / 2 2、a

2、y a (a c ).2設(shè)a2 c2 b2，就可化成篤a2爲(wèi)1(a bb 0).這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點M的軌跡是長軸長為 2a，短軸長為2b的橢圓.E(oa般稱為橢圓的第二定義，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)由此可知，當(dāng)點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)軌跡是橢圓,1)時，這個點的e是橢圓的離心率.對于橢圓的準(zhǔn)線方程是2.根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點F ( c,0)c這就是離心率的幾何意義.可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比,【注意】：橢圓的幾何性質(zhì)中，有些是依賴坐標(biāo)系的性質(zhì)(如：點的坐標(biāo)線的方程),有些是不依賴坐標(biāo)系、圖形本身

3、固有的性質(zhì)(如:距離角),要注意區(qū)別。中心到準(zhǔn)線的距離:2d=2a焦點到準(zhǔn)線的距離：d= -cc兩準(zhǔn)線間的距離:2 a d=2一c2L 1362 2x22、橢圓2100361上一點P到右準(zhǔn)線的距離為10,那么:點P到左焦點的距離為()三.第二定義的應(yīng)用1、求以下橢圓的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線2r 、 x1 -100A.14B.123、假設(shè)橢圓的兩個焦點把兩準(zhǔn)線間的距離三等分，那么:離心率e=4、離心率，且兩準(zhǔn)線間的距離為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5、假設(shè)橢圓的短軸長為2,長軸是短軸的2倍，那么:中心到準(zhǔn)線的距離為 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程6、求中心在原點，一條準(zhǔn)線方程是 x=3,離心率為2 27、橢圓方程為-1,其上有

4、一點P,它到右焦點的距離為 14,求P點到左準(zhǔn)線的距離100642 28橢圓亍弋1內(nèi)有一點P(11)F是橢圓的右焦點, 在橢圓上有一點 M，使| MP 2 MF|的值最小，求M的MF距離坐標(biāo).如圖分析：假設(shè)設(shè)M(x, y)，求出MP| 2MF|，再計算最小值是很繁的.由于是橢圓上一點到焦點的距離，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，它與到相應(yīng)準(zhǔn)線的 有關(guān)，故有如下解法.解：設(shè)M在右準(zhǔn)線I上的射影為M1 .由橢圓方程可知a 2, b 3, c 1, e 1 .2根據(jù)橢圓的第二定義，有島 1，即 ME| *|MM1 . JMP| 2MF MP lMM1 .顯然，當(dāng)P, M , M1三點共線時,MP| |MM1有最小值過 P作準(zhǔn)線的垂線y由方程組3"4憶解