剛體力學(xué)習(xí)題課-new

1、 剛體可以看成由許多質(zhì)量元組成的一個系剛體可以看成由許多質(zhì)量元組成的一個系統(tǒng)，在其作定軸轉(zhuǎn)動的過程中各質(zhì)量元的位移、統(tǒng)，在其作定軸轉(zhuǎn)動的過程中各質(zhì)量元的位移、速度和加速度等線量是可以各不相同的，但是速度和加速度等線量是可以各不相同的，但是各質(zhì)量元的角位移、角速度和角加速度等角量各質(zhì)量元的角位移、角速度和角加速度等角量卻是相同的。卻是相同的。 掌握剛體運動的這種特性是解決問題的關(guān)掌握剛體運動的這種特性是解決問題的關(guān)鍵，因為鍵，因為角量是剛體整體運動特征的描述角量是剛體整體運動特征的描述，而，而線量則是剛體上各個質(zhì)量元運動的描述線量則是剛體上各個質(zhì)量元運動的描述。一、剛體的運動描述：一、剛體的運動

2、描述：平動平動質(zhì)點的運動處理質(zhì)點的運動處理 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動角量描述角量描述非非常常相相似似質(zhì)質(zhì)點點平平動動時時的的變變化化規(guī)規(guī)律律變變化化規(guī)規(guī)律律與與的的定定義義及及計計算算，而而且且其其、 rararvn 2 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動中的線量與角量關(guān)系：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動中的線量與角量關(guān)系：三、剛體轉(zhuǎn)動定律：三、剛體轉(zhuǎn)動定律： 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J 是一個新的概念，應(yīng)熟練掌握其定義是一個新的概念，應(yīng)熟練掌握其定義和計算方法，它具有可加性。要記住幾種常用的繞質(zhì)和計算方法，它具有可加性。要記住幾種常用的繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，并會用平行軸定理和補償原理來求心軸的轉(zhuǎn)動慣量，并會用平行軸定理和補償原理來

3、求解各種復(fù)合剛體的轉(zhuǎn)動慣量。解各種復(fù)合剛體的轉(zhuǎn)動慣量。 JM 解決剛體動力學(xué)問題，力的隔離體分析仍然是關(guān)鍵，解決剛體動力學(xué)問題，力的隔離體分析仍然是關(guān)鍵，特別是系統(tǒng)中既有質(zhì)點平動又有剛體轉(zhuǎn)動的聯(lián)動問特別是系統(tǒng)中既有質(zhì)點平動又有剛體轉(zhuǎn)動的聯(lián)動問題，必須將牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律聯(lián)合。題，必須將牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律聯(lián)合。四、質(zhì)心運動（代表整個剛體與外界的作用及運動）四、質(zhì)心運動（代表整個剛體與外界的作用及運動） 如計算軸對剛體的作用力等問題時特別有用如計算軸對剛體的作用力等問題時特別有用 CyiyCxixCimaFmaFamF五、剛體的機械能及守恒定律：（在計算速度五、剛體的機械能及守恒定律：（在計算速度

4、 v、升降距離升降距離 h、轉(zhuǎn)過角度、轉(zhuǎn)過角度 和作功等問題很方便?。┖妥鞴Φ葐栴}很方便?。?2221 21 21CCKmvJJE （定軸）（定軸）剛體的動能剛體的動能CPmghE 用質(zhì)心的勢能來代表用質(zhì)心的勢能來代表剛體的勢能剛體的勢能 六、剛體的角動量及守恒定律：六、剛體的角動量及守恒定律： （質(zhì)點和剛體碰撞時特別有用）（質(zhì)點和剛體碰撞時特別有用）質(zhì)點和定軸剛體的碰撞，系統(tǒng)動量不守恒，角動質(zhì)點和定軸剛體的碰撞，系統(tǒng)動量不守恒，角動量守恒；量守恒；質(zhì)點和自由剛體的碰撞，系統(tǒng)動量、角動量均守質(zhì)點和自由剛體的碰撞，系統(tǒng)動量、角動量均守恒。恒。 JLmvrL 剛剛體體：質(zhì)質(zhì)點點：【例題例題1】一圓

5、盤可繞通過圓心并垂直盤面的光滑軸自由轉(zhuǎn)動。一圓盤可繞通過圓心并垂直盤面的光滑軸自由轉(zhuǎn)動。從某一時刻起，有一外力矩作用在盤上，使其運動方程為從某一時刻起，有一外力矩作用在盤上，使其運動方程為 =8+2t-t2，求經(jīng)過，求經(jīng)過0.5s后，盤上離軸后，盤上離軸r=0.01m處質(zhì)點的切向加速度處質(zhì)點的切向加速度和法向加速度？在剛和法向加速度？在剛開始時該點的切向加速度和法向加速度開始時該點的切向加速度和法向加速度？解：先求角量，后求線量解：先求角量，后求線量2dd ,22dd ttt )sm(01. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad( 1 s5 . 02-22-2-1 raratn )

6、sm(04. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad(2 02-2002-00-20-10 raratn 【例題例題2】計算下列剛體對計算下列剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量JO: Olm、RM、222)(2131RlMMRmlJO O21lm 、22lm 、222221422121231 llmlmlmJOm的質(zhì)量為的質(zhì)量為剩余部分剩余部分 RO O 222221024132121212131 ,34mRRmRmRmJJJmmmm 孔孔孔孔總總孔孔總總試計算通過均勻球殼（質(zhì)量為試計算通過均勻球殼（質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R）中心軸的轉(zhuǎn)動慣）中心軸的轉(zhuǎn)動慣量量 mrId2RRRMlr

7、mRrdsin24d2dsin2 202232dsin24sinMRRRRMRI 試計算通過均勻球（質(zhì)量為試計算通過均勻球（質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R）中心軸的）中心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 mrId2分割成薄球殼：分割成薄球殼：22dd3Jm r2d4d mrr分割成薄圓盤：分割成薄圓盤：21dd2Jm r2dd mrzROrz sin rRdsin d zR試計算通過均勻平板（質(zhì)量試計算通過均勻平板（質(zhì)量為為M，尺寸見圖）中心且與，尺寸見圖）中心且與平板垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量平板垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量xbMmdd 2d121damIc 22dd121dxmamI )(121dd121222222baMxm

8、amIbb 【例題例題3】（1）計算下列剛體系統(tǒng)中）計算下列剛體系統(tǒng)中m1、m2的加速度和繩子的的加速度和繩子的張力；張力；（2）求）求m2從靜止開始下降從靜止開始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mgm22Tagm11Ta1T3TA 2T3TB gm22Tagm11TaamTgm222 amgmT111 AAAAARmRTRT 21321BBBBBRmRTRT 23221BBAARRa 22)(2112BAmmmmgmma 1T3TA 2T3TB 【例題例題3】（1）計算下列剛體系統(tǒng)中）計算下列剛體系統(tǒng)中m1、m2的加速度和繩子的的加速度和繩子的張力；張力；（2）求）求

9、m2從靜止開始下降從靜止開始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mahv2)2( 、BBAABBBAAARRvRmRmvmvmghmghm 2222212212)21(21)21(212121來解來解或：用機械能守恒定律或：用機械能守恒定律【例題例題4】一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 R 的均勻薄圓盤在水平桌的均勻薄圓盤在水平桌面上繞中心軸轉(zhuǎn)動，開始角速度為面上繞中心軸轉(zhuǎn)動，開始角速度為 0，當(dāng)圓盤與桌面的摩擦，當(dāng)圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為系數(shù)為 時，問經(jīng)過多長時間才能停下來？時，問經(jīng)過多長時間才能停下來？mgRrrgMrrrgrmgMrrRff 32d2d2ddd0

10、2 為為則則小小圓圓環(huán)環(huán)受受的的摩摩擦擦力力矩矩的的小小圓圓環(huán)環(huán)，、寬寬度度為為取取一一半半徑徑為為力力矩矩圓圓盤盤轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動過過程程中中的的摩摩擦擦解解：本本題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是求求出出mgRMf 32 gRtRgmRMJMff 43 3421002 所所需需時時間間為為相相應(yīng)應(yīng)的的角角加加速速度度為為mgRMf 32 gRt 430 用角動量原理解更簡單！用角動量原理解更簡單！00 JtMf 【例題例題5】如圖所示，有一質(zhì)量為如圖所示，有一質(zhì)量為 M、長長為為 l 的均勻細(xì)桿靜止在的均勻細(xì)桿靜止在光滑的水平桌面上，可繞通過細(xì)桿一端的豎直光滑鋼釘轉(zhuǎn)動。有光滑的水平桌面上，可繞通過細(xì)桿一端的豎直

11、光滑鋼釘轉(zhuǎn)動。有一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球以垂直于桿的水平速度的小球以垂直于桿的水平速度 v0 與桿的另一端碰撞，與桿的另一端碰撞，碰撞后小球以速度碰撞后小球以速度 v反向彈回。設(shè)碰撞時間很短，求碰撞后細(xì)桿反向彈回。設(shè)碰撞時間很短，求碰撞后細(xì)桿轉(zhuǎn)動的角速度；若碰撞前拔去鋼釘，碰撞后細(xì)桿的角速度又如何轉(zhuǎn)動的角速度；若碰撞前拔去鋼釘，碰撞后細(xì)桿的角速度又如何？v0vm、lM、O解：由于質(zhì)點與有轉(zhuǎn)軸解：由于質(zhì)點與有轉(zhuǎn)軸的細(xì)桿，軸對桿有沖力，的細(xì)桿，軸對桿有沖力，故動量不守恒，但對故動量不守恒，但對O點沖力矩為零，對點沖力矩為零，對O點點的角動量守恒的角動量守恒MlvvmmvlMllmv)(3310

12、20 v0vm、lM、O 若拔去鋼釘，細(xì)桿成為若拔去鋼釘，細(xì)桿成為水平桌面上的自由剛體，水平桌面上的自由剛體，故碰撞后細(xì)桿的運動為故碰撞后細(xì)桿的運動為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，因此水平方向的轉(zhuǎn)動，因此水平方向的動量守恒和對質(zhì)心軸的動量守恒和對質(zhì)心軸的角動量守恒。的角動量守恒。2200lmvJlmvmvMvmvCC MlvvmMvvmvC)(6)(00 說明：對自由剛體，只有質(zhì)心軸和瞬時軸的角動量可以說明：對自由剛體，只有質(zhì)心軸和瞬時軸的角動量可以表示成轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積。表示成轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積。v0vm、lM、O【例題例題6】如圖所示，有一質(zhì)量為如圖所示，有一質(zhì)

13、量為 m、半徑為半徑為R的均勻圓柱體上的均勻圓柱體上繞有細(xì)繩?，F(xiàn)在用力繞有細(xì)繩?，F(xiàn)在用力F 拉該圓柱體，使其從靜止開始在水平面上拉該圓柱體，使其從靜止開始在水平面上作純滾動，試判斷作純滾動，試判斷摩擦力的方向。摩擦力的方向。FP: 的方向為加速度cmcmcmamFamaF解：假設(shè)沒有摩擦力解：假設(shè)沒有摩擦力 : : : ;的方向為的方向為所以摩擦力所以摩擦力的方向為的方向為合加速度合加速度的方向為的方向為而而faaRRRRaapcmcmp : 2212的方向為的方向為角加速度角加速度 mFRmRFRFPFP如果拉力 F 作用在離圓心 R/4 處，則摩擦力的方向又如何？ :f ,:a ;2 ;2

14、14p2cmaRRmFRmRRF 喲喲（yo-yo）球【問題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界的小玩具。它是在一個扁圓柱體的中間圓周槽內(nèi)緊繞一細(xì)線構(gòu)成。喲喲球從靜止開始釋放，下降到最低點后再自動上升。設(shè)喲喲球質(zhì)量為m，半徑為R，槽圓周的半徑為b（bR），設(shè)細(xì)線的總長度為H，質(zhì)量忽略不計。求喲喲球運動的全過程中細(xì)線所受的拉力。cJTb cmmaTmg ba cmmgT 2222RbRmgT 解：球下降或上升過程中細(xì)線的拉力221mRJ【問題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界的小玩具。它是在一個扁圓柱體的中間圓周槽內(nèi)緊繞一細(xì)線構(gòu)成。喲喲球從靜止開始釋放，下降到最低點后再自動上升。設(shè)喲喲球質(zhì)量為m，半徑為R，槽圓周的半徑為b（bR），設(shè)細(xì)線的總長度為H，質(zhì)量忽略不計。求喲喲球運動的全過程中細(xì)線所受的拉力。cJTbcoscmmaTmg ba cmmgT 222cos2RbRmgT解：球從線的低端開始轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)過的角度為，則：221mRJ【問題】 喲喲（yo-yo）球是20世紀(jì)90年代風(fēng)行世界