函數(shù)平均變化率

1、 如何用數(shù)學來如何用數(shù)學來反映山勢的平緩反映山勢的平緩與陡峭程度？與陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖例：如圖，是一座山的剖面示意圖: A是登山者的出發(fā)點是登山者的出發(fā)點,H是山頂是山頂,登山路線用登山路線用y=f(x)表示表示 ； 問題：當自變量問題：當自變量x表示登山者的水平位置，表示登山者的水平位置， 函數(shù)值函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應怎樣表示？表示登山者所在高度時，陡峭程度應怎樣表示？登山問題登山問題xHABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)選取平直山路選取平直山路AB放大研

2、究放大研究 :若若),(),(1100yxByxA01xxx01yyy自變量的改變量自變量的改變量函數(shù)值的改變量函數(shù)值的改變量xyxxyyxxyyk10100101直線直線AB的斜率的斜率:xyD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直線直線AB的斜率的斜率:xyxxyyk23231直線直線CD1的斜率的斜率:xy0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)011yyyy2C(x2,y2)022yyyy3D(x3,y3)033yyy

3、y4E(x4,y4)044yyyy0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)xy1xy2xy3xy4 顯然，顯然，“線段線段”所在直線的斜率的所在直線的斜率的絕對值絕對值越大，山越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比 的的絕絕對值對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。（舉例）越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。（舉例）yx 現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡

4、峭程度呢？ 一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的?？梢越频乜坍嫛Ｃ恳恍《蔚纳狡驴梢暈槠街钡?。可以近似地刻畫。（舉例：地球表面與平面）（舉例：地球表面與平面）（微分思想）微分思想） 函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出出函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率的概念。的概念。 yx思考思考：比值：比值 表示的意義是什么？（舉例：如表示的意義是什么？（舉例：如地產(chǎn)量）地產(chǎn)量）它表示每一個單位上的函數(shù)值的平均增量。它表示每一個單位上的函數(shù)值的平均增量。平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢 建構數(shù)

5、學建構數(shù)學華羅庚華羅庚函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)已知函數(shù) 在點在點 及及其附近其附近有定義，有定義，令令 , ,則當則當 時時, ,比值比值叫做函數(shù)叫做函數(shù) 在在 到到 之間的之間的平均變化率平均變化率)(xfy 0 xx 0 xxx)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy0 xxyxxfxxf)()(00)(xfy 0 xxx0思考思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？函數(shù)平均變化率的幾何意義？00( )() f xxf xxOABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x直線直線AB的的斜率斜率函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率: 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

6、函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比 觀察函數(shù)f(x)的圖象00( )()f xxf x過曲線過曲線 上的點上的點 割線的斜率。割線的斜率。( )yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x思考思考：（：（1） x 、 y的符號是怎樣的？的符號是怎樣的？ （2）該變量應如何對應？）該變量應如何對應？理解：理解：2、 對應性： 若).()(,1212xfxfyxxx則;, 0,11212但可正可負即附近的任意一點是、xxxxx.)()(12可正可負，也可為零xfxfy 美國康乃大學曾經(jīng)做過一個有名的美國康乃大學曾經(jīng)做過一個有名的“青蛙試驗青蛙試驗”。試驗人員。試驗人員 把一只健壯的青蛙

7、投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險，把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險， 拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋拼命一縱便跳出了鍋子。試驗人員又把該青蛙投入冷水鍋 中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉， 毫無戒備。一段時間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青毫無戒備。一段時間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青 蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險，最后，一只活蹦蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險，最后，一只活蹦 亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。 例例1.求函數(shù)求函數(shù) 在在

8、到到 之間的平均變化率之間的平均變化率2xy 0 xxx0解:當函數(shù) 在 到 之間變化的時候 2xy 0 xxx0函數(shù)的平均變化率為xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:當 取定值, 取不同數(shù)值時, 該函數(shù)的平均變化率也不一樣.x0 x( 2 ) 求函數(shù)求函數(shù) 在在 到到 之間的平均變化率之間的平均變化率xy10 xxx0解:當函數(shù) 在 到 之間變化的時候 0 xxx0 xy1函數(shù)的平均變化率為000000)(111)()(xxxxxxxxxfxxfxy 路程 乙 甲 t o 乙 甲 100m y t 0 t o圖圖1圖圖2課堂練習： 甲乙二人跑步路程與時間的關系以及百

9、米賽跑路程和時間的關系分別如圖（1）（2）所示， （1）甲乙二人哪一個跑得快？ （2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？知識運用知識運用再做兩個題吧再做兩個題吧! 1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及鄰近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x D y=kx+b在區(qū)間在區(qū)間 上的上的平均變化率有什么特點？平均變化率有什么特點？ 2.求下列函數(shù)的在區(qū)間求下列函數(shù)的在區(qū)間 平均變化率：平均變化率：（1）y=1 （2）y=2x+1 （3）y=-2x00 xxx，00 xxx，00 xxx或

10、，例例3：已知函數(shù)：已知函數(shù) ，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。2)(xxf解:當函數(shù) 在 到 之間變化的時候 2xy 0 xxx0函數(shù)的平均變化率為xxxxxxxxfxxf02020002)()()(xxy變化區(qū)間自變量改變量平均變化率 （1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001 要精確地描述非勻速直線運動，就要知道物要精確地描述非勻速直線運動，就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度如果物體的運動規(guī)體在每一時刻運動的快慢程度如果物體的運動規(guī)律是律是 s =s(

11、t )，那么物體在時刻，那么物體在時刻t 的的瞬時速度瞬時速度v，就是，就是物體在物體在t 到到 t+ t 這段時間內(nèi)，當這段時間內(nèi)，當 t0 時平均速度時平均速度的極限即的極限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬時速度瞬時速度函數(shù)的瞬時變化率函數(shù)的瞬時變化率設函數(shù) 在 附近有定義，當自變量在 附近改變 時，函數(shù)值相應的發(fā)生改變?nèi)绻?趨近于時，平均變化率 趨近于一個常數(shù) ，則數(shù) 稱為函數(shù) 在點 處的瞬時變化率瞬時變化率。)(xfy 0 xx0 xx )()(00 xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy 0 x導數(shù)導數(shù)的概念的概念也可記作也可記作ox xy 若這個若這個

12、極極限不存在限不存在，則，則稱在點稱在點x0 處處不不可導可導。 設函數(shù)設函數(shù) y = f(x) 在點在點 x=x0 的附近有定義，當自變量的附近有定義，當自變量 x 在在 x0 處處取得增量取得增量 x ( 點點 x0 +x 仍在該定義內(nèi)）時，仍在該定義內(nèi)）時， 相應地函數(shù)相應地函數(shù) y 取取得增量得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若，若y與與x之比當之比當 x0的極的極限存在，則稱函數(shù)限存在，則稱函數(shù) y = f(x)在點在點 x0 處處可導可導 ，并稱這個并稱這個極限極限為函數(shù)為函數(shù) y = f(x)在點在點 x0 處的處的導數(shù)導數(shù)記為記為 0()fx00000()(

13、)()limlimxxf xxf xyfxxx 即即說明：說明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函數(shù)）函數(shù)在點在點處可導，是指處可導，是指時，時，有極限如果有極限如果不存在極限，就說函數(shù)在不存在極限，就說函數(shù)在處不可導，或說無導數(shù)處不可導，或說無導數(shù)點點x是自變量是自變量x在在0 x處的改變量，處的改變量，0 x，而，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零是函數(shù)值的改變量，可以是零 （2）)(xfy 0 x由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)在在處的處的導數(shù)的步驟導數(shù)的步驟:00()()ff xxf x （1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平

14、均變化率）求平均變化率:；00()limxffxx （3）取極限，得導數(shù)）取極限，得導數(shù):例例:高臺跳水運動中，高臺跳水運動中， 秒秒 時運動員相時運動員相對于水面的高度是對于水面的高度是 （單位：（單位： ），求運動員在），求運動員在 時的瞬時時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀態(tài)速度，并解釋此時的運動狀態(tài);在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 06 . 1)5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/運動員在時的

15、瞬時速度為運動員在時的瞬時速度為 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落這說明運動員在附近，正以大約這說明運動員在附近，正以大約 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/0 x割線割線PQ的的變化情況的的變化情況在在的過程中，的過程中，請在函數(shù)圖象中畫出來請在函數(shù)圖象中畫出來你能描述一下嗎？你能描述一下嗎？)(xfy PQxyM求已知曲線的切線求已知曲線的切線.0()Kfx切作業(yè) 課本82.B2 報紙A14 一是一是:根據(jù)物體的路程關于時間的根據(jù)

16、物體的路程關于時間的函數(shù)求速度和加速度函數(shù)求速度和加速度. 二是二是:求已知曲線的切線求已知曲線的切線.00( )( ),V tS t0()Kfx切例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：時，原油的溫度（單位：）為）為xh2( )715(08).fxxxx計算第計算第2 h和第和第6 h，原油溫度的瞬時變化率，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。并說明它們的意義。3.1.1 3.1.1 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkx

17、xPxy00 x( )yf xTnx 一是一是:根據(jù)物體的路程關于時間的根據(jù)物體的路程關于時間的函數(shù)求速度和加速度函數(shù)求速度和加速度. 二是二是:求已知曲線的切線求已知曲線的切線.00( )( ),V tS t0()Kfx切課堂小結：課堂小結：函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率函數(shù)的瞬時變化率函數(shù)的瞬時變化率0 xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度（單位：時，原油的溫度（單位：）為）為xh2( )7

18、15(08).fxxxx計算第計算第2 h和第和第6 h，原油溫度的瞬時變化率，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。并說明它們的意義。3.1.1 3.1.1 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xTnxPxyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yf xxfxyf xM xf x函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00( )(,()yf xMxf x曲線在點處000()()yyfxxx的切線方程為的切線方程為0tan()PTkfx即即 圓的切線定義并

19、不適圓的切線定義并不適用于一般的曲線。用于一般的曲線。 通過通過逼近逼近的方法，將的方法，將割線趨于的確定位置的割線趨于的確定位置的直線直線定義為切線定義為切線（交點（交點可能不惟一）可能不惟一）適用于各適用于各種曲線。所以，這種定種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。直觀本質(zhì)。 2l1lxyABCPPP 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線可以附近，曲線可以用在點用在點P處的切線近似代替處的切線近似代替 。 大多數(shù)大多數(shù)函數(shù)曲線函數(shù)曲線就就一小范圍一小范圍來看，大致可來看，大致可看作看作直線，直線，所以，所以，某點附近的曲線可以用過此某

20、點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即點的切線近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以簡（以簡單的對象刻畫復雜的對象）單的對象刻畫復雜的對象） 1.在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導數(shù)用圖形來體現(xiàn)導數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)請描述，比較曲線分別在請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)請描述，比較曲線分別在

21、請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減增（減):增（減）增（減）快慢：快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時瞬時變化率變化率（正或負）（正或負）即：瞬時變化率（導數(shù)）即：瞬時變化率（導數(shù)）（數(shù)形結合，以直代曲）（數(shù)形結合，以直代曲）畫切線畫切線即：導數(shù)即：導數(shù) 的絕多值的大小的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的切線斜率的絕對值的 大小大小切線的傾斜程度切線的傾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以簡單對象刻畫復雜的對象以簡單對象刻畫復雜的對象(2) 曲線在曲線在 時，切線平行于時，切

22、線平行于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在曲線在 處切線處切線 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲線附近，曲線 ，函數(shù)在，函數(shù)在 附近單調(diào)附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線如圖，切線 的傾斜程度大于切線的的傾斜程度大于切線的傾斜程度，傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這說明曲線在這說明曲線在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如圖表示人體血

23、管中的藥物濃度如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：（單位：mg/ml）隨時間）隨時間t（單位：（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時，血管中）時，血管中 藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的形式列出。的形式列出。(精確到精確到0.1) 血管中藥物濃度的血管中藥物濃度的瞬時變化率瞬時變化率, 就是藥物濃度就是藥物濃度從圖象上看從圖象上看,它表示它表示曲線在該點處的曲線在該點處的切線的斜率切線的斜率.函數(shù)函數(shù)f(t)在此時刻的在此時刻的導數(shù)導數(shù),（數(shù)形結合，以直代曲）（數(shù)形結合，以直代曲）以簡單對象刻畫復雜的對象以簡單對象刻畫復雜的對象)(0/xf)(/xf 抽象概括抽象概括：是確定的數(shù)是確定的數(shù)是的函數(shù)是的函數(shù)x 導函數(shù)的概念：導函數(shù)的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時變化率瞬時變化率 3 . 004 . 15 . 0小結：小結：.函數(shù)函數(shù) 在在 處的導數(shù)處的導數(shù) 的的幾何意義，幾何意義，就是函數(shù)就是函數(shù) 的圖像在點的圖像在點 處的切線處的切線AD的斜率的斜率（數(shù)形結合）（數(shù)形結合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(