一階常微分方程解法總結(jié)

1、章一階微分方程的解法的小結(jié)、可別離變量的方程：、形如g=75)g(y)dx/7v當(dāng)g(y)NO時(shí),得到=兩邊積分即可得到結(jié)果：g(v)當(dāng)g(%)=.時(shí),那么y(A)=%也是方程的解.例1.1、=xydx解：當(dāng)yWO時(shí),有?=*,收,兩邊積分得到lnN=g+C(C為常數(shù))所以),=G,g為非零常數(shù)且s=±),=o顯然是原方程的解：X"綜上所述,原方程的解為ynGe?(G為常數(shù))、形如M(x)N(y)"x+P(x)Q(y)力=0當(dāng)尸(x)N(y)WO時(shí),可有'92八=紗1小,兩邊積分可得結(jié)果；PMN(y)當(dāng)N(y0)=O時(shí),),=),.為原方程的解,當(dāng).(%)

2、=.時(shí),x=x0為原方程的解.例1.2、x(y2-1)dx+y(x2-l)t/y=0解:當(dāng)(公-1)(產(chǎn)一1).0時(shí),有一L"y=二_"x兩邊積分得到一廠尸1ln|x2-l|+ln|y2-l|=ln|C|(CwO),所以有(/1)(/-1)=C(CwO)；當(dāng)(/一1)(丫2-1)=.時(shí),也是原方程的解；綜上所述,原方程的解為(/一1)(產(chǎn)1)=C(C為常數(shù)).可化為變量可別離方程的方程：、形如包=g(工)dxx解法：令=上,那么小,=皿,+小,代入得到工絲+“=且()為變量可別離方程,得到xdx/(,kC)=O(.為常數(shù))再把代入得到/(2,x,C)=O(C為常數(shù)).x、形

3、如蟲=G3x+6y),(ab#0)dx解法：令m=ax+by,那么"v=+"",代入得到,也+乜=G()為變量可別離方程,bbdxb得至iJ/'(,x,C)=O(C為常數(shù))再把u代入得到/(ax+勿,x,C)=O(C為常數(shù)).mfdvaxx+b.y+c.s、形如丁二一盧L)axa2x+b2y+c2解法：1°、"=0,轉(zhuǎn)化為公=G(ax+"),下同:a.b.dx2.、""WO,出b?clx+b,y+c.=0u=x-xa1J'八的解為(玉),右),令°a2x+b2y+c2=0v=y-y0得到,

4、蟲=dua2u+b2va+bv)=/(+)=g(一),下同:.,十乩一11u還有幾類：yf(xy)dx+xg(xy)cly=.,=xy2dy-、x=/(xy)3?=xydxdyy、y灰=小溟),卬=7M(x,y)(xdx+ydy)+N(a;y)(xdy-ydx)=0,x=rcos.,y=rsin0以上都可以化為變量可別離方程.dyx-y+5例2.1、=-dxxy2解：令u=x-y-2,那么4y="式一代入得到1一也="+,有udii=7dxdxu所以土=7x+C(C為常數(shù)),把u代入得到"一'、2)l+7x=C(C為常數(shù)).22dy2x-y+1例2.2、=

5、dxx-2y+解：由2x-y+I=0,得到?x-2y+1=01x=丁,令,1U=x+-31U=V3有dy=dvdx=du化簡(jiǎn)令/=上,有小=id+udi,代入得到,+討包=二一-udu1-2t得到1Mi=一非高有噸=.為常數(shù))Q1所以有=,(G=±-),故代入得到%+=&T+J3(3)、一階線性微分方程：一般形式：q(x)+=h(x)dx標(biāo)準(zhǔn)形式：蟲+尸(幻了=0(幻dx解法：1、直接帶公式：),=小-"卬杰+一"依=卜飛/,)八十C)2、積分因子法：G)=7J(x)2(x)"x+C,(x)=/p"'3、IVP：+P(x)y=Q

6、(x),y(%0)=y0ax-P(sds"f*P(s)dx-fP(s>dsP(x)dsy=e九(I.eJsdt+),°)=),°e兒+Q(t)edt例3、(x+r)-ny=ex(x+Ydx解：化簡(jiǎn)方程為:-y=ex(x+)那么P(x)=,_,Q(x)="(x+1);dxx+x+代入公式得到(x)=J"'"=/-才'=(X+1)-“所以,y(x)=(X+lfj(x+1)f/(x+D“dx+C=(x+1)(,+C)(C為常麴(4)、恰當(dāng)方程:形如M(不y)dx+N(x,y)dy=OyBG(x.ys.t.dG=Af(x

7、,y)dx+N(x,y)dy解法：先判斷是否是恰當(dāng)方程：如果有笆32=空02恒成立,那么原方程是個(gè)恰當(dāng)方程,找出一個(gè)dydx、oG(x9y)、dG(x,y)x.z、G(k,y),s.t一丁一=M(X,y一=N(x,y),oxoy有G(x,y)=C,(C為常數(shù));例4、(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y1)dy=0解：由題意得到,A/(x,y)=3x?+6町2,N(x,y)=6/y+4由0£=12町=空得到,原方程是一個(gè)恰當(dāng)方程；dydxTH4人、dG(x,y)x、6G(x,y)xrz、卜而求一個(gè)G(x,y),sJ_=M(X,y),-=N(x,y)dxdy由cG(x.y)=M(

8、乂,3,)=3/+6vy2得G(vy)=/+十以刃,兩邊對(duì)y求偏dx導(dǎo)得到=6x2y+(pf(y)=6x2y+4v3,得到(p'(y)=4y3,有/(y)=y4,故G(x,),)=/+3/y2+),由ig=O,得到x3+3/y2+y4=c,(C為常數(shù))(5)、積分因子法：方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,3/(x,),),."fiMdx+jLiNdy=0是一個(gè)恰當(dāng)方程,那么稱",)是原方程的積分因子；積分因子不唯一.dM0N當(dāng)且僅當(dāng)=(PM原方程有只與x有關(guān)的積分因子,且為",),)=/必'",N兩邊同乘以(x,y),化為恰當(dāng)方

9、程,下同.dM0當(dāng)且僅當(dāng)q義-=.(、),原方程有只與y有關(guān)的積分因子,且為=-M兩邊同乘以(x,y),化為恰當(dāng)方程,下同.例5.1>(ex+3y2)dx+2xydy=0a.4GAT解：由M(x,y)=ex+3yN(x,y)=2xy得以-=6y-2y=4y,且有oyoxoMdN-=(p(x)=-,有(x,y)=,原方程兩邊同乘得到Nxx2ex+3yb小+2x3ycly=0,化為d(x2-2x+2)eK+x3y2)=0,得到解為(x2-2x+2)ex+x3y2=C,(C為常數(shù))例5.2、ydx-(x+y')dy=0解油題意得到,M(x,y)=y,N(x,y)=(x+y3),有如一叱

10、=1一(_)=2dydxdMdN-r2有fV“八=/()')=_二,有=廠2,原方程兩邊同乘廠2,得-Mydxxxv2到+(-="(一一M)二°,得到原方程的解為：y)廣y2VH=c,(c為常數(shù))y2(6)、貝努力方程：形如a+P(x)y=.(初月dx解法：令=yj,有點(diǎn)=(1一)尸外,代入得到也+(1一)尸(幻=(1一“)°(外,下dx同(3)例6、蟲=62-"2dxx解：令=y",有du=一,代入得到+w=x>那么P(x)=9,Q(x)=x,dxXX有(x)=X6,w(x)=x",fx6xdx+C=上+:,(C為常數(shù)

11、),把U代入得J8xC到,=J+=,(C為常數(shù)),ySx(7)、一階隱式微分方程:一般形式：E(x,Fy')=O,解不出)/的稱為一階隱式微分方程.下面介紹四種類型:V=/(X,y)(2)X=f(y,了)(3)F(X,V)=0(4)F(y,yf)=0、形如y=/(x,牛),一般解法：令=空,代入得到),=/3,),兩邊對(duì)x求導(dǎo)得到=弘+與啰,這是dxdxdpdx關(guān)于x,p的一階線性微分方程,仿照(3),1、得出解為=g(x,C),C為常數(shù),那么原方程的通解為y=/(x(x,C),C為常數(shù)2、得出解為X=O(P,C),.為常數(shù),那么原方程的通解為屋藍(lán)黑"C為常數(shù)3、得出解為(x

12、p,C)=.,.為常數(shù),那么原方程的通解為,.為吊數(shù)Up)、形如x=/()dx一般解法：令p=3,代入有x=/(y,p),兩邊對(duì)y求導(dǎo),得到L=M+此方dxpoydpdy程是一階微分方程,可以根據(jù)以上一求出通解(y,p,C)=.,.為常數(shù),那么原方程的通解為,y“)=O,C為常數(shù)、形如尸(x,y')=0一般解法：設(shè)卜：=以,.為參數(shù)),.=>,7戊=阿)“力,兩邊積分得到/=").),=J帆)叭,)出+c,c為常數(shù),于是有原方程的通解為),力("(6+.(為常數(shù)A=(p(t)、形如尸(y,y')=O一般解法：設(shè)卜：="“),(,為參數(shù)),由關(guān)

13、系式=得°'("=.)心,有(7=0(/)(卜=繆出,兩邊積分得到x=+C為常數(shù),于是有猊"+c,C為常數(shù)>'=叭t)例7.1Ay"=1+)/解：令=了,得到x=/,兩邊對(duì)y求導(dǎo),得到,=(上3(1)蟲,PPPPdy7223有力=(-三-1)即,得到),=+C,C為常數(shù),于是通解為1rP.P2p-_1+px<94,c為常數(shù)y=一十六+CP2/廠例7.2y=yf2eY解：令=y',得到V=p?eP,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得到=(p2+2p),也,有dxdx=(p+2)ePdp,兩邊積分得到*=(+1)/+.,.為常數(shù),于是通解為

14、例7.3x2+y2=i解：設(shè)為常數(shù)x=cosf./.、,COS2/-1,UL,有dv=ydx=sin/-(-sint)dt=,所以y'=sint2),=%££,+"為常數(shù)2于是通解為例7.4y2(l-y2)=lyr=sin/解：設(shè)?于是通解為sin2tty=r_+c,c為常數(shù)x=cosr.+,dy-sin/1,不jdx=y=5：ycos"rsinrJ一山dt=-=J(-tanr),所以cos*tx=-tant+C,C為常數(shù)x=-tant+C_1C為常數(shù)y二cost、里卡蒂方程:一般形式:=PMy2+QMy+R(x)dxIdv一般解法：先找出一個(gè)特解兒(外,那么令丁=兒+,有一=Zdxdy01dzdxz1dx代入原方程得到佻clx最%=如)(%+3+刎(y°+»R,化簡(jiǎn)得到+(2P(x)y0+0(x)z+P(x)=0,為一階線性微分方程,解出dxz(x)=0(x,C),C為常數(shù)那么原方