發(fā)掘例題的智能因素培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

1、發(fā)掘例題的智能因素培養(yǎng)學(xué)生的思維能力湖南省耒陽(yáng)師范學(xué)校 劉江妹 怎樣使學(xué)生通過(guò)課堂中的一些典型例題的學(xué)習(xí)，獲得一定的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。筆者認(rèn)為最有效的途徑之一，就是要充分發(fā)掘例題的智能因素，通過(guò)對(duì)例題的多解、多變、類比和聯(lián)想，引伸和拓廣，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行各種思維活動(dòng)的條件。這樣做不僅能誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。同時(shí)對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量還具有重要的積極意義。本文就筆者對(duì)一些例題的教學(xué)體會(huì)，談幾點(diǎn)粗淺認(rèn)識(shí)。一、善于設(shè)疑，培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺(jué)性。興趣是求知的起點(diǎn)。學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望或興趣，總是在一定的情境中發(fā)生的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是例題的教

2、學(xué)中，可創(chuàng)設(shè)“惑”與“悱”的情境。即對(duì)所講授的例題善于設(shè)疑，借以引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生去思考、去探求，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺(jué)性。在二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，我曾配置了這樣一道例題。例題1、求的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和。這個(gè)例題很簡(jiǎn)單，因此，當(dāng)時(shí)全班學(xué)生都異口同聲回答，其和是 。是的，我不僅肯定了他們回答的結(jié)果，而且還表?yè)P(yáng)了學(xué)生們回答問(wèn)題的積極性，其目的在于激發(fā)學(xué)生自覺(jué)思考下面所提出的問(wèn)題。設(shè)疑：求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和。一會(huì)兒后，我叫一個(gè)學(xué)生把答案寫到黑板上（如下所述）。解：設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為S。 =·+·X + +·+· S

3、=·+· + +·3 + 此后，我問(wèn)其他同學(xué)，這個(gè)答案是否完完整，他們都不作聲，從而形成了憤悱的情境。為了消除疑惑，我引導(dǎo)學(xué)習(xí)比較、兩式右邊的區(qū)別，即式的右邊在什么情況下可以變?yōu)槭降挠疫叀４鹪唬寒?dāng)X=1時(shí)；那么S等于多少呢？答曰S=。妙哉！疑釋了，同學(xué)們高興極了，并嘖嘖稱贊。在他們高興的同時(shí)，我又設(shè)了兩個(gè)疑問(wèn)：（1）、求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）、求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和（其中a、b為常數(shù)，n為正整數(shù)）。有了上述問(wèn)題的解答方法，同學(xué)們很自覺(jué)地思考得出這兩個(gè)問(wèn)題的答案分別是1和，同時(shí)也弄清了二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別。二、一例多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。對(duì)例題的條件與結(jié)

4、論從不同角度去思考，探求各種不同的解題思路，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。在不等式的證明的教學(xué)中，我只從下面一例就介紹了證明不等式的四種常用方法。這樣做既能說(shuō)明這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性。例題2，已知a，b，c,d都是實(shí)數(shù)，求證：證法一（比較法）：由于證明過(guò)程簡(jiǎn)單，所以不再贅述。證法二（分析法）：為了證明 只需證明 即證明 即 因?yàn)閍，b，c,d都是實(shí)數(shù)，所以是成立的。因此 成立。證法三（綜合法）：證明過(guò)程略。證法四（反證法）：假設(shè) 不成立，即成立于是有 所以 ，這與（a，b，c,d都是實(shí)數(shù)）相矛盾。故 成立。三、一例多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的變異性。1、變換例題條件引伸推廣，培養(yǎng)

5、學(xué)生探索問(wèn)題和求異思維能力。例題3、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(0，+)上是增函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？分析：要判斷在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，則只須判斷當(dāng),(-,0)且小于時(shí)，與的大小。為了利用條件，則必須作如下處理： 0 -0 -故顯然，在(-,0)上是增函數(shù)。為了培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)展性，對(duì)此例題作如下三種變換：1、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(0，+)上是減函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？2、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(0，+)上是增函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？3、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(0，+)上是減函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？這些命題的解答

6、不難，但能開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的求異精神。2、恰當(dāng)交換例題條件與結(jié)論的順序，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力。對(duì)上述例題3，再作下列四種變換，讓學(xué)生練習(xí)，以便培養(yǎng)學(xué)生思維的逆向性。4、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(-,0)上是增函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？5、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(-,0)上是減函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？6、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(-,0)上是增函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？7、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(-,0)上是減函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？通過(guò)對(duì)此例題的各種變換，比較它們解法的異同，可以使學(xué)生掌握一類問(wèn)題的基本解題思路，有利于

7、培養(yǎng)學(xué)生思維的應(yīng)變能力。四、力求聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生思維的跳躍性。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行推理及類比、聯(lián)想，是培養(yǎng)學(xué)生思維的跳躍性的重要途徑之一。我在教完均值不等式之后，曾配置了這樣一道例題。例題4、已知a>b>c,求證： 表面上，這個(gè)例題與均值不等式毫不相干，如果步步設(shè)問(wèn)、聯(lián)想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它與均值不等式有著內(nèi)在的聯(lián)系。設(shè)問(wèn)：三個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？容易知道，。進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：原不等式可轉(zhuǎn)化成什么樣的不等式？不難轉(zhuǎn)化，可得即 再進(jìn)一步設(shè)問(wèn)：上述不等式與均值不等式有什么聯(lián)系？顯然，可直接由均值不等式推出。因?yàn)樗酝ㄟ^(guò)類比、聯(lián)想，學(xué)生不但學(xué)會(huì)了本題的證明方法，而且深化了有關(guān)知識(shí)，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生思維的跳躍性。

8、五、題型變通，培養(yǎng)學(xué)生思維的連通性。數(shù)學(xué)習(xí)題無(wú)窮無(wú)盡，浩似煙海，但題型不外乎計(jì)算題、證明題、問(wèn)答題、選擇題、填空題、判斷題，在幾何上還有作圖題等幾種。如果讓學(xué)生見(jiàn)一題作一題，見(jiàn)一種類型解一種類型，結(jié)果不僅會(huì)嚴(yán)重地抑制學(xué)生思維的發(fā)展與連通，而且會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。事實(shí)證明，只要我們立足教材，把教材中的例題、習(xí)題講得精一點(diǎn)深一點(diǎn)，探求題型的相互變通，使學(xué)生有所領(lǐng)悟，必將起到事半功倍的效果。 例題5，求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)。如果單純地講解這道題，并不能給學(xué)生多少教益，仔細(xì)琢磨，這道題的真正價(jià)值還在于它本身可揭示五種類型題目的相互變通，從而可培養(yǎng)學(xué)生思維的連通性。即解下列五種類型的題目的思維方法相同，都是

9、利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式。1、計(jì)算題：求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)。2、證明題：試證明的二項(xiàng)展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)；3、判斷題：的二項(xiàng)展開(kāi)式中是否含有二次項(xiàng)；4、填空題：的二項(xiàng)展開(kāi)式中一次項(xiàng)是 ；5、選擇題：的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是 。 (-36,36,126,-126)事實(shí)證明：在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過(guò)程中，這五個(gè)方面是相互結(jié)合的，而不是獨(dú)立的。筆者只是為了闡述問(wèn)題的需要而分別加以說(shuō)明。以上淺見(jiàn)僅出自筆者多年來(lái)教學(xué)的零星積累。象這樣“發(fā)掘例題的智能因素，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”的教學(xué)嘗試，頗受學(xué)生的歡迎。由于水平有限，不足之處在所難免，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。關(guān)于正多面體一條性質(zhì)的推廣湖南省耒陽(yáng)師范學(xué)校 段春華定理

10、1、若為正多面體內(nèi)任意一點(diǎn)，則到正多面體各面的距離之和為一常數(shù)。這是關(guān)于正多面體的一個(gè)眾所周知的性質(zhì)其結(jié)論是顯而易見(jiàn)的。事實(shí)上，設(shè)分別表示正面體的體積和每一面的面積，為其內(nèi)任意一點(diǎn)，到各平面的距離為(=1，2，,)，則為一常數(shù)。現(xiàn)在筆者將此定理作如下三種情形的推廣：（一）從“形內(nèi)”推廣到“形外”。定理2、若是正多面體外接球面上任意一點(diǎn)，則該正多面體各頂點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)所作切平面的距離之和為一常數(shù)。證明：設(shè)正多面體頂點(diǎn)數(shù)為，面數(shù)為（,=4，4；6，8；8，6；12，20；20，12），頂點(diǎn)記為,，,外接球球心為。過(guò),，,分別作外接球的切平面，得球外切正面體（根據(jù)正多面體的共軛性，球外切正面體頂點(diǎn)數(shù)為），

11、則點(diǎn)P為正面體 “形內(nèi)”的點(diǎn)，由“定理1” 可知，到正面體各面的距離之和為一常數(shù)，設(shè)為k。又,，各點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)所作切平面（記為）的距離，分別等于點(diǎn)到正面體對(duì)應(yīng)各面的距離（到平面的距離等于到所在面的距離，=1，2，,）。事實(shí)上，過(guò)點(diǎn),(=1，2，,),作一平面去截該幾何體，得截面如圖1所示,作，。則，由于垂直過(guò)的切平面，即垂直正面體過(guò)的一個(gè)面，所以也垂直這個(gè)面，因此是點(diǎn)到該面的距離。同樣是到平面的距離。設(shè)與相交于，因?yàn)椋訰tRt因此，所以，故定理成立，證畢。（二）從“正多面體”推廣到“非正多面體”。定理3 若為（1）各面等積凸面體，或（2）將各面等積凸面體各面作平移變換（并非相似變換）后得到的凸

12、面體內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到各面的距離之和為一常數(shù)。證明：（1）記各面等積凸面體為形A，設(shè)V、S分別表示形A的體積和每一面的面積，P為其內(nèi)任意一點(diǎn)，P到各面的距離為，則用完全相同于定理1的證法可得 為一常數(shù)。（2）設(shè)形B為由各面等積凸面體即形A各面作平移變換（并非相似變換）“放大”（或“縮小”）后得到的凸面體（注：因非相似變換，所以形B不是各面等積凸面體），P為形B內(nèi)任意一點(diǎn)，P到形B各面的距離為形B由形A各面作平移變換“放大”后得到凸面體（）若點(diǎn)P在形A內(nèi)，則其中表示形B與形A各對(duì)應(yīng)平行面之間的距離所以顯然為一常數(shù)（）若點(diǎn)P在形B內(nèi)而在形A外，則可作一個(gè)由形A沿相似變換“放大” 后得到的各面等積凸

13、面體，簡(jiǎn)記為形C，且使得形B與形A都包含在形C內(nèi)，則由定理3（1）可知，P到形C各面的距離之和為一常數(shù)那么，點(diǎn)P到形B各面的距離之和其中表示形C與形B各對(duì)應(yīng)平行面的距離所以 也為一常數(shù)。形B由形A各面作平移變換“縮小”后得到的凸面體因?yàn)辄c(diǎn)P在形B內(nèi)，所以 其中 表示形A與形B各對(duì)應(yīng)平行面的距離 即同樣為一常數(shù)因此定理3證畢三、從“各面等積的非正多面體”推廣到“側(cè)面等積的棱柱、棱錐、棱臺(tái)”。定理4、設(shè)為側(cè)面等積的棱柱內(nèi)任意一點(diǎn)，則到各側(cè)面的距離之和為一常數(shù)。證明：令棱柱的各側(cè)面面積均為S，底面面積為，體積為V，高為，點(diǎn)到各側(cè)面的距離分別為,，到上底面距離為，則到下底面距離為。連結(jié)點(diǎn)和各頂點(diǎn)，于是此棱柱被分割成個(gè)棱錐。這樣可得：即得： （常數(shù)），證畢。定理5 設(shè)為側(cè)面等積的棱錐底面上任一點(diǎn)，則P到各側(cè)面的距離之和為一常數(shù)。證明：設(shè)棱錐的各側(cè)面面積均為S，底面為n邊形，且面積為t，高為h，P點(diǎn)到各側(cè)面的距離分別為。連結(jié)P點(diǎn)和各頂點(diǎn)，于是此棱錐被分割成n個(gè)棱錐，這樣可得：即得 （常數(shù)）證畢定理6 設(shè)為側(cè)面等積棱臺(tái)上（下）底面上任一點(diǎn)，則點(diǎn)各側(cè)面的距離之和各為一常數(shù)。證明：設(shè)棱臺(tái)的各側(cè)面面積均為S，上、下底面均為n邊形，且面積分別為t、r，