導數含參數取值范圍分類討論題型總結與方法歸納

1、導數習題題型十七：含參數導數問題的分類討論問題含參數導數問題的分類討論問題1求導后，導函數的解析式含有參數，導函數為零有實根（或導函數的分子能分解因式）, 導函數為零的實根中有參數也落在定義域內，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論。 已知函數（a>0）,求函數的單調區(qū)間 例1 已知函數（a>0）求函數的單調區(qū)間 例3已知函數，其中。（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的單調區(qū)間與極值。解：（）當時，曲線在點處的切線方程為。（）由于，所以 ,由，得。這兩個實根都在定義域R內，但不知它們之間 的大小。因此，需對參數的取值分和兩種情況進行討論。 (1)當時，則。易得在區(qū)

2、間，內為減函數，在區(qū)間為增函數。故函數在處取得極小值； 函數在處取得極大值。（1） 當時，則。易得在區(qū)間，內為增函數，在區(qū)間為減函數。故函數在處取得極小值；函數在處取得極大值。 以上三點即為含參數導數問題的三個基本討論點，在求解有關含參數的導數問題時，可按上述三點的順序對參數進行討論。因此，對含參數的導數問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復雜一些了，需要靈活把握。 (區(qū)間確定零點不確定的典例)例4 某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元（3a5）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9x11）

3、時，一年的銷售量為（12-x）2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).X=12y 令L=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）. 3a5,86+a.912x 在x=6+a兩側L的值由正變負.0 所以當86+a9即3a時， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=

4、9(6-a). 當96+a即a5時，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若a5，則當每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(萬元).（導函數零點確定，但區(qū)間端點不確定引起討論的典例）例2、已知 ().求函數的單調區(qū)間; ().求函數在上的最小值; ()對一切的,恒成立,求實數的取值范圍. 解：() ()()0<t<t+2<，t無解； ()0<t<<t+2，即0<

5、t<時，； ()，即時，9分 ()由題意:在上恒成立,即 可得（分離參數）,設, 則12分 令,得(舍) 當時,;當時, 當時,取得最大值, =-213分.二求導后，導函數為零有實根（或導函數的分子能分解因式），但不知導函數為零的實根是否落在定義域內，從而引起討論。(用導數解決函數問題若求導后研究函數的導數問題時能轉化為研究二次函數問題時，二次項的系數含參數按系數大于零、等于零、小于零分類；再按在二次項的系數不等于零時對判別式按0、=0、0；在0時，求導函數的零點再根據零點是否在在定義域內進行套論，若零點含參數在對零點之間的大小進行討論。)1 已知函數 ，求函數的單調區(qū)間 例2 已知函數

6、（a>0）,求函數的單調區(qū)間 例3 已知是實數，函數（）求函數的單調區(qū)間；（）設為在區(qū)間上的最小值。 （）寫出的表達式； （）求的取值范圍，使得。解：（）函數的定義域為，由得。考慮是否落在導函數的定義域內，需對參數的取值分及兩種情況進行討論。（1） 當時，則在上恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為。（2） 當時，由，得；由，得。因此，當時，的單調遞減區(qū)間為，的單調遞增區(qū)間為。（）（）由第（）問的結論可知：（1） 當時，在上單調遞增，從而在上單調遞增，所以。（2） 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以： 當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以。 當，即時，在上單調遞減，所以。綜上所述，（）令

7、。若，無解；若，由解得； 若，由解得。綜上所述，的取值范圍為。三.求導后，因導函數為零是否有實根（或導函數的分子能否分解因式）不確定，而引起的討論。例1已知函數 求函數的單調區(qū)間例2已知函數求函數的單調區(qū)間 例3 設，函數，試討論函數的單調性。解： ?？紤]導函數是否有實根，從而需要對參數的取值進行討論。（一）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數分和兩種情況討論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數在上為增函數；（2） 當時，。由，得，因為，所以。由，得；由，得。因此，當時，函數在上為減函數，在上為增函數。（二）若，則。由于當時，無實根，而當時，有實根，因此，對參數分和兩種情況討

8、論。（1） 當時，在上恒成立，所以函數在上為減函數；（2） 當時，。由，得；由，得。因此，當時，函數在上為減函數，在上為增函數。綜上所述：（1） 當時，函數在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數。（2） 當時，函數在上為增函數，在上為減函數。（3） 當時，函數在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數。 19設a0,討論函數f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的單調性。解：函數的定義域為當的判別式當有兩個零點，（1）且當內為增函數；當內為減函數；當內為增函數；當內為增函數；當 時，由 >0 <0所以在定義域(0，+)內有唯一零點，且當內為增函數；當時，內為減函數。的單

9、調區(qū)間如下表： （其中）因函數的零點的個數不確定而引起的討論。例已知函數f(x)=1n x，g(x)=(a為常數)，若直線與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切，且與y=f(x)的圖象相切于定點P（1，f（1） （1）求直線的方程及a 的值； （2）當kR時，討論關于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數解的個數解：（1）f(x)=，f（1）=1 k1=1,又切點為P（1，f（1），即（1，0）l的解析式為y=x-1， y=x-1l與y=g(x)相切， 由 y=,消去y得x2-2x+2a+2=0,=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=1n(

10、x2+1)h(x)=-x=-，則為增函數，-1x0或x1時，故x=±1時，h（x）取極大值1n2， x=0時，h（x）取極小值。因此當k（1n2，+），原方程一解；當k=1n2時，原方程有兩解；當k1n2時，原方程有四解；當k=時，原方程有三解；當k時，原方程有兩解5.求參數的范圍時由于不能分離出參數而引起的對參數進行的討論例1：（此為不能分離出參數a的例題）已知（）當 時，若對有恒成立，求實數的取值范圍.解：因為f(x)=x3-6ax2+9a2x，x3-6ax2+9a2x-40所以f'(x)=3x2-12ax+9a2=（3x-3a）(x3a), 在上>0是增函數，在上

11、<0是減函數，在上>0是增函數。所以函數在x=a時，所以函數在x=a時，因對有恒成立， 求實數的取值范圍.極值點 指定區(qū)間端點位置關系不確定引起討論。討論如下： a>0 當兩個極值點都在指定區(qū)間內時。即0<3a3，也就是0<a<1時，（當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在上>0是增函數，在上<0是減函數，在上>0是增函數。所以函數在x=a時，所以函數在x=a時， 有恒成立，等價于 解得即0<a1 當兩個極值點有一個在指定區(qū)間內時。即0<a3，且3a>3時，也就是1<a3 時，（

12、當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在上>0是增函數，在上<0是減函數， 所以函數在x=a時， 有恒成立，等價于解得 當兩個極值點都不在在指定區(qū)間內時。即a>3時， （當a>0時為什么分為0<a<3，與a3兩類。要講清楚） 在 上>0是增函數， 與 矛盾。 綜上：對有恒成立時，實數的取值范圍是.例4設函數，其中，求函數的極值點。解：由題意可得的定義域為，的分母在定義域上恒為正，方程是否有實根，需要對參數的取值進行討論。（1）當，即時，方程無實根或只有唯一根，所以,在上恒成立，則在上恒成立，所以函數在上單調遞增，從而

13、函數在上無極值點。（2）當，即時，方程，即有兩個不相等的實根：。這兩個根是否都在定義域內呢？又需要對參數的取值分情況作如下討論：（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：0遞減極小值遞增由此表可知：當時，有唯一極小值點。（）當時，所以。此時，與隨的變化情況如下表：遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當時，有一個極大值點和一個極小值點。綜上所述：（1） 當時，有唯一極小值點；（2） 當時，有一個極大值點和一個極小值點；（3） 當時，無極值點。從以上諸例不難看出，在對含參數的導數問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么討論就有了方向和切入點，即使問題較為復雜，討論起來也會得心應手、層次分明

14、，從而使問題迎刃而解。 (19)()小問5分，()小問7分.)已知函數(其中常數a,bR),是奇函數.()求的表達式;()討論的單調性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.（21）已知函數（I）當時，求曲線在點處的切線方程；（II）當時，討論的單調性.解：（） 當 所以 因此， 即 曲線又所以曲線 （）因為 ，所以 ，令 （1）當所以，當，函數單調遞減；當時，此時單調遞 （2）當 即，解得當時，恒成立，此時，函數在（0，+）上單調遞減；當時，單調遞減；時，單調遞增；，此時，函數單調遞減；當時，由于時，此時，函數單調遞減；時，此時，函數單調遞增。綜上所述：當時，函數在（，）上單調遞減；函數在（，

15、）上單調遞增；當時，函數在（0，+）上單調遞減；當時，函數在（0，1）上單調遞減；函數在上單調遞增；函數上單調遞減， (22)已知函數.()當時，討論的單調性；（）設當時，若對任意，存在，使，求實數取值范圍.解：（）因為，所以 ，令 ， 當時，恒成立，此時，函數 在上單調遞減； 當， 時，此時，函數單調遞減； 時，此時，函數 單調遞增； 時，此時，函數單調遞減； 當時，由于， ，,此時，函數 單調遞減；時，此時，函數單調遞增.綜上所述：0（）因為a=，由（）知，=1，=3，當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在

16、（0,2）上的最小值”（*）又=，所以當時，因為，此時與（*）矛盾當時，因為，同樣與（*）矛盾當時，因為，解不等式8-4b，可得綜上，b的取值范圍是。（21）已知函數. （）討論函數的單調性； （）設，證明：對任意，.解：() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調增加，在（，+）單調減少.()不妨假設x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調減少.所以等價于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+

17、 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，.（21）已知函數（I） 討論函數的單調性；（II） （II）設.如果對任意，求的取值范圍。解：（）的定義域為（0，+）. .當時，0，故在（0，+）單調增加；當時，0，故在（0，+）單調減少；當-10時，令=0，解得.則當時，0；時，0.故在單調增加，在單調減少.（）不妨假設，而-1，由（）知在（0，+）單調減少，從而 ，等價于 ， 令，則等價于在（0，+）單調減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-

18、2. (18)已知函數()=In(1+)-+(0)。()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調區(qū)間。解：（I）當時，由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （II），.當時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時， 故得單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是20、（本小題滿分16分）設是定義在區(qū)間上的函數，其導函數為。如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數具有性質。(

19、1)設函數，其中為實數。(i)求證：函數具有性質； (ii)求函數的單調區(qū)間。(2)已知函數具有性質。給定設為實數，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i),時，恒成立，函數具有性質；(ii)（方法一）設，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而

20、當時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數，其中函數對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調性知、，從而有|<|，符合題設。當時，于是由及的單調性知，所以|，與題設不符。當時，同理可得，進而得|，與題設不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。待研究的以下問題在求函數的單調區(qū)間時涉及的分類討論問題；在

21、求函數的極值與最值問題引出分類討論問題；在涉及函數的零點時引起的分類討論問題；參考資料：導數的應用與分類討論【例】 設函數f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中aR. （）若f（x）在x=3處取得極值，求常數a的值； （）若f（x）在（-，）上為增函數，求a的取值范圍. 解： （）f （x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）. f（x）在x=3處取得極值， f （）（-a）=0，a=3，檢驗知成立. （）由f （x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1. 若a<1，則當x（，a）（，）時，f （x）>0，所以f （x）在（，a）和（，）

22、上為增函數，而f（x）在（，）上為增函數，所以a<1； 若a1，則當x（，1）（a，）時，f （x）>0，所以f （x）在（，1）和（a，）上為增函數，f（x）在（，）上也為增函數. 綜上，所求a的取值范圍為，）. 【點評】 （）中對a的值進行分類討論，當a<1時很容易忽視a0這個條件，注意這時f（x）在（，）上為增函數，必須有a0. 【例】 設函數y=ax5-bx3+c（c0）在x=±1時有極值，且極大值為，極小值為.求a、b、c的值. 解： 令y=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以極值點可能是和±1. 因為函數x=±1時有極值，所以5a=3b，y=5ax（x-1）=5ax（x+1）（x-1）.若a>0，當x變化時，函數遞增與遞減及極值情況如下表：若a<0，用同樣的方法得a=-3，b=-5，c=2. 【點評】 這里實施的是一個二級分類討論，使用表格簡明清晰；在“”處，為什么沒有極值，要深入理解. 【例】 函數y=f（x）在區(qū)間（，）內可導，導函數 f（x）是減函數，且f （x）.設x