112余弦定理（1）

1、高中新課程數(shù)學(xué)必修高中新課程數(shù)學(xué)必修一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧1.正弦定理及其推論：正弦定理及其推論： sinsinsinabcABC=2R(R為為ABC外接圓半徑）外接圓半徑）222sin,sin,sinaRA bRB cRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin:ABCa b cBCAabc思考：思考： 在在ABC中中,已知已知AB=2,BC=5,ABC的面積為的面積為4，ABC=，則，則sin= .45111 sinsinsin 222ABCSbcAcaBabC 三三角角形形面面積積公公式式：練習(xí)：練習(xí)：在在ABC中，中， ，求此，求此三角形的面積三角形的面積

2、333315,acC3 332或或2.利用正弦定理解三角形利用正弦定理解三角形題型一題型一:已知已知兩角兩角和和任意一邊任意一邊，求出其他兩邊和一角，求出其他兩邊和一角步驟：步驟：利用三角形內(nèi)角和先求第三角，再用正弦定理求利用三角形內(nèi)角和先求第三角，再用正弦定理求另外兩邊另外兩邊.題型二題型二:已知已知兩邊及其中一邊對(duì)角兩邊及其中一邊對(duì)角，求出其他一邊和兩角，求出其他一邊和兩角一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧若已知若已知a、b、A的值，則解該三角形的步驟如下：的值，則解該三角形的步驟如下：（1）先利用）先利用 求出求出sinB，從而求出角，從而求出角B；（2）利用）利用A、B求出角求出角C=180o-

3、(A+B)；（3）再利用）再利用 求出邊求出邊c.sinsinabABsinsinacAC注意：求角注意：求角B時(shí)應(yīng)注意時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)！檢驗(yàn)！ABCcab22|ABCBCA 22|2|cos|CBCB CACCA 2222coscaabCb 222CBCB CACA 依條件可知，依條件可知，|,|,CBa CAb ABCBCA 2222cos即 cababC同理可得同理可得2222222cos , 2cosabcbcAbacacB二、新課講解二、新課講解問(wèn)題：?jiǎn)栴}：在在ABC中，中，a=8，b=3，C=60o，求，求c.如圖，在如圖，在ABC中，中，BC=a，AC=b，邊，邊BC與與AC的的夾角

4、夾角為為C，試求，試求AB邊的長(zhǎng)邊的長(zhǎng)c.題型三題型三:已知三角形的已知三角形的兩條邊及其夾角兩條邊及其夾角,求出另一邊。求出另一邊。 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即余弦定理：余弦定理：2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC注：利用余弦定理，可以從已知的注：利用余弦定理，可以從已知的兩邊及其夾角兩邊及其夾角求求出三角形的出三角形的第三條邊第三條邊二、新課講解二、新課講解例例1：在：在ABC中，已知中，已知b=60cm，c=34

5、cm，A=41o，解該三角形（角度精確到解該三角形（角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）.解：解：a=b+c- -2bccosA =60+34- -26034cos41o1676.82 a41(cm)故由正弦定理可得故由正弦定理可得sin34sin41340.656sin0.5440.4141cACa=換ca， CA,故故C是銳角是銳角利用計(jì)算器可求得利用計(jì)算器可求得 C33B=180o- -(A+C) 180o- -(41o+33o)=106222cos0.8384.2abcCab+-=故由余弦定理可得故由余弦定理可得 三、例題講解三、例題講解 一般地，在一般地，在“知三邊及一角知三

6、邊及一角”要求剩下的兩個(gè)要求剩下的兩個(gè)角時(shí)，應(yīng)先求角時(shí)，應(yīng)先求最小的邊最小的邊所對(duì)的角所對(duì)的角.利用計(jì)算器可求得利用計(jì)算器可求得 C33B=180o- -(A+C) 180o- -(41o+33o)=106余弦定理的推論：余弦定理的推論：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab注注: 由上述推論由上述推論, 可以由三角形的可以由三角形的三條邊三條邊求出相應(yīng)的求出相應(yīng)的三個(gè)角三個(gè)角二、新課講解二、新課講解例例2.在在ABC中，已知中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精確到，解三角形（角度精確到1）。）。解：解：2

7、2222287.8161.7134.6cos0.554322 87.8 161.7bcaAbcA5620222222134.6161.787.8cos0.839822 134.6 161.7cabBcaB3253180()180(56 2032 53)90 47CAB三、例題講解三、例題講解利用余弦定理及其推論，可以解決以下兩類解三角形的利用余弦定理及其推論，可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：（問(wèn)題：（1）已知已知兩邊及其夾角兩邊及其夾角，求其它的邊和角；，求其它的邊和角； （2）已知）已知三邊三邊，求三個(gè)角，求三個(gè)角.練習(xí)：練習(xí)：在在ABC中中（1）已知）已知a= ，c=2，B=150o，求，

8、求b；（2）已知）已知a=2，b= ，c= ，求，求A.3 3231745o二、新課講解二、新課講解222222222222coscoscosbcaAbccabBcaabcCab余弦定理及其推論：余弦定理及其推論：2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC已知條件已知條件定理選用定理選用一般解法一般解法一邊和二角一邊和二角(如如a,B,C)正弦定理正弦定理由由A+B+C=180求角求角A,由正由正弦定理求出弦定理求出b與與c兩邊和夾角兩邊和夾角(如如a,b,C)余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三邊由余弦定理求出第三邊c，再，再由正弦定理求出剩下的角由正弦定理求出剩下的角兩邊和其中兩邊和其中一邊的對(duì)角一邊的對(duì)角(如如a,b,A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,再求角再求角C,最后求出最后求出 c邊