安徽省2003-2015中考數(shù)學(xué)壓軸題(含解析)

1、1.（2003安徽）如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把這與正三角形的接近程度稱為“正度”。在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為，。要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)。同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|-|來表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他們的方案哪個(gè)較合理，為什么？（2）對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案，請(qǐng)加以改進(jìn)（給出式子即可）；（3）請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式解：（1）同學(xué)乙的方案較為合理。因?yàn)閨-|

2、的值越小，與越接近600，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等。 2分同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個(gè)等腰三角形相似，但|2-4|=2|4-8|=4 6分（2）對(duì)同學(xué)甲的方案可改為用 等（k為正數(shù)）來表示“正度” 10分（3）還可用 等來表示“正度”說明：本題只要求學(xué)生在保證相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子對(duì)“正度”作大致的刻畫，第（2）、（3）小題都是開放性問題，凡符合要求的均可。理科實(shí)驗(yàn)班試題（共兩小題，每小題10分，共20分）解：（1）滿足要求的分配方案有很多，如： 學(xué)校 123456

3、78910 名額 1112223377 2分（2）假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額，而每校至少要有1名，則人數(shù)最少的分配方案是：每兩所學(xué)校一組依次各得1，2，3，4，5個(gè)名額，總?cè)藬?shù)為2（1+2+3+4+5）=30。但現(xiàn)在只有29個(gè)名額，故不管如何分配，都至少有3所學(xué)校分得的名額相同。 6分（3）假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4，并且每校的名額不少于1，則在分到相同名額的學(xué)校少于4所的條件下，10所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)最多不會(huì)超過3×4+3×3+3×2+1×1=28，這與選手總數(shù)是29矛盾，從而至少有一所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)不小于5。 10分2.（2004安徽）形

4、提供剪切可以拼成三角形。方法如下：圖仿上面圖示的方法，回答下列問題：操作設(shè)計(jì)：如圖對(duì)直角三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形。如圖對(duì)于任意三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)原三角形等面積的矩形。圖圖方法一：方法二略。3、（2005安徽）在一次課題學(xué)習(xí)中活動(dòng)中，老師提出了如下一個(gè)問題：點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線l分別交正方形的兩邊于點(diǎn)M、N，使點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)，這樣的直線能夠畫幾條？經(jīng)過思考，甲同學(xué)給出如下畫法：如圖1，過點(diǎn)P畫PEAB于E，在EB上取點(diǎn)M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l

5、根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）甲同學(xué)的畫法是否正確？請(qǐng)說明理由；（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請(qǐng)直接在圖1中畫出；（3）如圖2，A1，C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點(diǎn)，且A1C1AD當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上時(shí)，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在邊的三等分點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時(shí)，試討論，符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況解答：解：（1）的畫法正確；PEAD，MPEMNA，MPMN=MEMA，EM=2EA，MP：MN=2：3，點(diǎn)P是線段M

6、N的一個(gè)三等分點(diǎn)（2）能畫出一個(gè)符合題目條件的直線，在EB上取M1，使EM1=12AE，直線M1P就是滿足條件的直線，圖2；（3）若點(diǎn)P在線段A1C1上，能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條，圖3；（4）若點(diǎn)P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上時(shí)，可以畫出無數(shù)條符合條件的直線l；當(dāng)點(diǎn)P在正方形A0B0C0D0內(nèi)部時(shí)，不存在這樣的直線l，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)P可畫出兩條符合條件的直線l，使得點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)4.（2006安徽）如圖（ l ） ，凸四邊形 ABCD ，如果點(diǎn)P滿足APD AP

7、B =。且B P C CPD ，則稱點(diǎn)P為四邊形 ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn) ( l )在圖（ 3 ）正方形 ABCD 內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足。( 2 )在圖（ 4 ）四邊形 ABCD 中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法） . ( 3 )若四邊形 ABCD 有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1 、P2（如圖（ 2 ） ） ，證明線段P1 P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn) 。 5.(2007安徽)如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=BCCD，BAD和CDA均為銳角，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PQBA交AD于點(diǎn)Q，PSBC交DC于點(diǎn)S，四邊形PQRS是平行四邊形。（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，圖1變?yōu)閳D2，

8、若ABD90°，求證：ABRCRD；（2）對(duì)于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時(shí)，你能推出四邊形ABCD還應(yīng)滿足什么條件？5.（1）證明：ABD=90°，ABCR，CRBD BC=CD，BCR=DCR2分四邊形ABCR是平行四邊形，BCR=BARBAR=DCR4分又AB=CR，AR=BC=CD，ABRCRD6分（2）由PSQR，PSRD知，點(diǎn)R在QD上，故BCAD。8分又由AB=CD知A=CDA 因?yàn)镾RPQBA，所以SRD=A=CDA，從而SR=SD。9分由PSBC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD 故CDA=60°。11分因此

9、四邊形ABCD還應(yīng)滿足BCAD，CDA=60°12分（注：若推出的條件為BCAD，BAD=60°或BCAD，BCD=120°等亦可。）6.（2008安徽） 已知：點(diǎn)O到ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OBOC。第22題圖2第22題圖1（1）如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：ABAC；【證】（2）如圖2，若點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部，求證：ABAC；【證】（3）若點(diǎn)O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請(qǐng)畫圖表示?！窘狻?.證明：（1）過點(diǎn)O分別作OEAB，OFAC，E、F分別是垂足，由題意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFCBC，從而ABAC。3分（2）過點(diǎn)O

10、分別作OEAB，OFAC，EF分別是垂足，由題意知，OEOF。在RtOEB和RtOFC中，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFE。OBEOCF，又由OBOC知OBCOCB，ABCACD，ABAC。9分解：（3）不一定成立。10分（成立）（不成立）（注：當(dāng)A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有ABAC；否則，ABAC，如示例圖）7.（2008安徽）剛回營地的兩個(gè)搶險(xiǎn)分隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)往30千米的A鎮(zhèn)；二分隊(duì)因疲勞可在營地休息a（0a3）小時(shí)再往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)了發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在離營地10千米處發(fā)生塌方，塌方地形復(fù)雜，必須由一分隊(duì)用1小時(shí)打通道路，已知

11、一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度為（4a）千米/時(shí)。若二分隊(duì)在營地不休息，問二分隊(duì)幾小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？【解】若二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營地休息幾小時(shí)？【解】下列圖象中，分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離y(千米)和時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫出你認(rèn)為所有可能合理的代號(hào)，并說明它們的實(shí)際意義。7.解：（1）若二分隊(duì)在營地不休息，則a0，速度為4千米/時(shí)，行至塌方處需（小時(shí)）因?yàn)橐环株?duì)到塌方處并打通道路需要（小時(shí)），故二分隊(duì)在塌方處需停留0.5小時(shí)，所以二分隊(duì)在營地不休息趕到A鎮(zhèn)需2.5+0.5+8（小時(shí)）3分（2）一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)共需+17（小時(shí)）（）若二分隊(duì)在塌方處需

12、停留，則后20千米需與一分隊(duì)同行，故4+a5，即a=1，這與二分隊(duì)在塌方處停留矛盾，舍去；5分（）若二分隊(duì)在塌方處不停留，則（4+a）(7a)=30，即a23a+20,解得a1=1，a2=2均符合題意。答：二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營地休息1小時(shí)或2小時(shí)。（其他解法只要合理即給分）8分(3)合理的圖像為（b）、（d）. 12分 圖像（b）表明二分隊(duì)在營地休息時(shí)間過長（2a3），后于一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)；圖像（d）表明二分隊(duì)在營地休息時(shí)間恰當(dāng)（1a2），先于一分隊(duì)趕到A鎮(zhèn)。14分8.（2009安徽）如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于GABMFGDEC（1）寫出圖中

13、三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；（2）連結(jié)FG，如果45°，AB，AF3，求FG的長8（1）證：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM（寫出兩對(duì)即可）2分以下證明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM6分（2）解：當(dāng)45°時(shí)，可得ACBC且ACBCM為AB的中點(diǎn)，AMBM7分又AMFBGM，9分又，12分9（2009安徽）已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示金額w（元）O批發(fā)量m（kg）300200100204060（1）請(qǐng)說明圖中、兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義O60204批發(fā)單價(jià)（元）5批發(fā)量（kg）第9題圖（1）O6240日最高銷量（kg

14、）80零售價(jià)（元）48（6，80）（7，40）（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變，請(qǐng)你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤最大金額w（元）O批發(fā)量m（kg）3002001002040602409（1）解：圖表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，可按5元/kg批發(fā)；3分圖表示批發(fā)量高于60kg的

15、該種水果，可按4元/kg批發(fā)3分（2）解：由題意得：，函數(shù)圖象如圖所示7分由圖可知資金金額滿足240w300時(shí)，以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果8分（3）解法一：設(shè)當(dāng)日零售價(jià)為x元，由圖可得日最高銷量當(dāng)m60時(shí)，x6.5由題意，銷售利潤為12分當(dāng)x6時(shí)，此時(shí)m80即經(jīng)銷商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果，日零售價(jià)定為6元/kg，當(dāng)日可獲得最大利潤160元14分解法二：設(shè)日最高銷售量為xkg（x60）則由圖日零售價(jià)p滿足：，于是銷售利潤12分10.（2010安徽）如圖，已知ABC，相似比為（），且ABC的三邊長分別為、（），的三邊長分別為、。若，求證：；若，試給出符合條件的一對(duì)ABC和，使得、和、進(jìn)

16、都是正整數(shù)，并加以說明；若，是否存在ABC和使得？請(qǐng)說明理由。第11題圖11.（2011安徽）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3（h10，h20，h30）. (1)求證h1=h3； 【解】 (2) 設(shè)正方形ABCD的面積為S.求證S=（h2+h3）2h12；【解】(3)若,當(dāng)h1變化時(shí)，說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況.【解】11. （2011安徽）（1）過A點(diǎn)作AFl3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F，過C點(diǎn)作CHl2分別交l2、l3于點(diǎn)H、G，證ABECDG即可.（2）易證ABEBCHCDGDA

17、F,且兩直角邊長分別為h1、h1+h2,四邊形EFGH是邊長為h2的正方形，所以.(3)由題意，得 所以又 解得0h1當(dāng)0h1時(shí)，S隨h1的增大而減??； 當(dāng)h1=時(shí)，S取得最小值；當(dāng)h1時(shí)，S隨h1的增大而增大.12.（2012安徽）如圖1，在ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長；解：（2）求證：DG平分EDF;證：（3）連接CG，如圖2，若BDG與DFG相似，求證：BGCG.證：12.解（1）D、C、F分別是ABC三邊中點(diǎn)DEAB,DFAC，又BDG與四邊形ACDG周長相等即BD+DG+B

18、G=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，F(xiàn)DG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG與DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,則CD= BD=DG,B、CG、三點(diǎn)共圓,BGC=90°,BGCG13.（2012安徽）如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m

19、，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m。（1）當(dāng)h=2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）（2）當(dāng)h=2.6時(shí)，球能否越過球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說明理由；（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。第13題圖13.解析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象上面的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足函數(shù)解析式，把x=0,y=2,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h中即可求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，并解決時(shí)間問題；（3）先把x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h中求出；然后分別表示出x=9,x=18時(shí)，y的值應(yīng)滿足的條件，解得即可.解：（1）把x=0,y=2,及h=2

20、.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h即2=a(06)2+2.6， y= (x-6)2+2.6（2）當(dāng)h=2.6時(shí)，y= (x-6)2+2.6x=9時(shí)，y= (96)2+2.6=2.452.43球能越過網(wǎng)x=18時(shí)，y= (186)2+2.6=0.20球會(huì)過界（3）x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h得；x=9時(shí)，y= (96)2+h2.43 x=18時(shí)，y= (186)2+h0 由 得h14（2013安徽）我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”其中B=C（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引

21、一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中B=CE為邊BC上一點(diǎn)，若ABDE，AEDC，求證：=；（3）在由不平行于BC的直線AD截PBC所得的四邊形ABCD中，BAD與ADC的平分線交于點(diǎn)E若EB=EC，請(qǐng)問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DEBC交PB于點(diǎn)E，則四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形BCDE和一個(gè)三角形ADE；

22、（2）ABDE，B=DEC，AEDC，AEB=C，B=C，B=AEB，AB=AE在ABE和DEC中，ABEDEC，；（3）作EFAB于F，EGAD于G，EHCD于H，BFE=CHE=90°AE平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH，在RtEFB和RtEHC中，RtEFBRtEHC（HL），3=4BE=CE，1=21+3=2+4即ABC=DCB，ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，同理可以證明EFBEHC，B=C，ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外

23、部時(shí)，同理可以證明EFBEHC，EBF=ECHBE=CE，3=4，EBF3=ECH4，即1=2，四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”15. (2014年安徽省)如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN=60°；求證：PM+PN=3a；（2）如圖2，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接OM、ON，求證：OM=ON；（3）如圖3，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說明理由分析：（1）運(yùn)用MPN=180°BPMNPC求解，作AGMP交MP于點(diǎn)G，BHMP于點(diǎn)H，CLPN于點(diǎn)L，DKPN于點(diǎn)K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）連接OE，由OMAONE證明，（3）連接OE，由OMAONE，再證出GOENO