心中有“數(shù)”不得意忘“形”

1、心中有“數(shù)”不得意忘“形”數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素， 是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常 常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù) 的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題 也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān) 系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié) 合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù) 形結(jié)合的思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方 法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面。一 是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以 形作為手段，數(shù)為目的，在高中數(shù)學(xué)的

2、學(xué)習(xí)中，不僅 要掌握學(xué)科有關(guān)知識(shí)，更重要的是能力的培養(yǎng)和提高。 近幾年高考，往往通過圖形、圖表的識(shí)別、判斷、分 析，來考查學(xué)生的分析問題和解決問題能力。而在解 題過程中，如能適時(shí)、巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方 法，則可起到事半功倍的效果。筆者歸納了高中數(shù)學(xué) 習(xí)題中滲透數(shù)形結(jié)合思想的常見題型，并對(duì)其進(jìn)行了 簡要解析。比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的 性質(zhì)。二是借助于 ?檔木 ?確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形 的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用 曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺， 形缺 數(shù)時(shí)難入微。 數(shù)形結(jié)合百般好， 隔離分家萬事非。”寥 寥數(shù)語

3、把數(shù)形結(jié)合說得淋漓盡致。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解 題中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，可以使抽象的數(shù)學(xué)問 題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有 助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知 識(shí)的教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，教學(xué)中 教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的觀察、操作、分析思維能力的培 養(yǎng)，更應(yīng)不斷地滲透數(shù)學(xué)思想方法，將此作為教學(xué)的 核心，為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生終 身受益。一、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用 中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分為三類：一類是純粹數(shù)的 知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組） 、不等式（組）、 函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立 體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主

4、要體現(xiàn)是 解析幾何。在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問 題的常見方法有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)” 的角度解決問題，幾何法從“形”的角度解決問題， 這兩種方法相輔相成，相得益彰。現(xiàn)舉例如下：例題：若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個(gè)公共點(diǎn)， 求實(shí)數(shù) k 的取值范圍。解：（數(shù)形結(jié)合法）曲線 x= 是單位圓 x2+y2=1 的右半圓（x>0）, k是直線y=x+k在y軸上的截距。在同一坐標(biāo)系中畫出兩曲線圖象如圖所示， 可知： 直線與曲線相切時(shí)，k=-，由圖形可得k=-或-1<k < 1。利用數(shù)形結(jié)合的思想方法， 能使復(fù)雜問題簡單化， 抽象問題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)

5、特的指 導(dǎo)作用。以數(shù)論形是解析幾何側(cè)重的手法，其思考方法就 是幾何條件解析化，即幾何條件（形）等量關(guān)系（數(shù)） 代數(shù)方程 （式），它是求曲線方程的關(guān)鍵和 困難之處。筆者總結(jié)出轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：1. 通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng) 求解。2. 轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn) 化到另一個(gè)角度來考慮，如轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上 兩點(diǎn)間的距離等。3. 構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)， 構(gòu)造一個(gè)圖表等。二、數(shù)形結(jié)合在求解值域或最值問題中的應(yīng)用 “數(shù)形結(jié)合”是求解數(shù)學(xué)問題的一種常用的思維 方法。教師在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合” 的情境，不僅可以溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，把

6、代數(shù)式 的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來， 力圖在這種結(jié)合中尋找到解題的思想與方法，同時(shí)又 有利于開拓學(xué)生解題思路， 發(fā)展學(xué)生的形象思維能力?？傊?，數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，從以上的 例子中可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā) 現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡 化了解題過程。 這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越。 由于“數(shù)形結(jié)合”具有形象直觀、易于接受等優(yōu)點(diǎn)， 且對(duì)于溝通知識(shí)間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學(xué)生 思路，發(fā)展智能，提高數(shù)學(xué)水平有著獨(dú)到的作用，作 為一線的教師，我們要積極挖掘教材中“數(shù)形結(jié)合” 的例題與習(xí)題，注重引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦筋，設(shè)計(jì)確切的數(shù) 學(xué)模型，創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，多加強(qiáng)學(xué)生形象 思維的訓(xùn)練，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生從形象思維到抽象思維的 轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生爭