1)高一數(shù)學(xué),集合及表示方法

1、人教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第1.1節(jié)集合 主講：教師主講：教師 鄒老師鄒老師Page 2n 1.集合：由一些確定的、互異的對象構(gòu)成的一個整體就叫做集合。簡稱集。n 2.元素：集合里的各個對象叫做這個集合的元素。n 3.元素的三個屬性：確定性、互異性、無序性（任意性也是元素具有的一個性質(zhì)，但一般講以上的三個屬性）.集合的有關(guān)概念：集合的有關(guān)概念： 2.對集合中元素三個特性的認(rèn)識對集合中元素三個特性的認(rèn)識 (1)確定性：指的是作為一個集合中元素，必須是確定的確定性：指的是作為一個集合中元素，必須是確定的.即一個集合一旦即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的確定，某一個元素屬于或

2、不屬于這個集合是確定的.要么是該集合中的元素要要么是該集合中的元素要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合. (2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的它的任何兩個元素都是不同的.如方程如方程(x1)20的解構(gòu)成的集合為的解構(gòu)成的集合為1，而不，而不能記為能記為1,1.這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素

3、的未知元素. (3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如集合無序性：集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如集合a，b，c與與b，a，c是相等的集合是相等的集合.這個特性通常用來判斷兩個集合的關(guān)系這個特性通常用來判斷兩個集合的關(guān)系. 【注意】【注意】集合中元素的互異性在解題中經(jīng)常用到集合中元素的互異性在解題中經(jīng)常用到.如已知兩個集合的關(guān)系，如已知兩個集合的關(guān)系，求集合中字母的取值時，求出后一定要檢驗(yàn)，以滿足集合中元素的互異性求集合中字母的取值時，求出后一定要檢驗(yàn)，以滿足集合中元素的互異性.知識點(diǎn) 關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果 ，就說a屬于A“a屬于A”不屬于如果 ，就說a不屬于A“a不

4、屬于A”2.元素與集合的關(guān)系a是集合A的元素aAa不是集合A的元素a APage 5n 4.有限集：含有有限個元素的集合。n 5.無限集：含有無限個元素的集合。n 6.空集：不含有任何元素的集合。（即元素個數(shù)為0，是有限集）。n 7.單元素集：僅含有一個元素的集合。n 8.點(diǎn)集：集合中的元素全部由點(diǎn)組成。n 9.數(shù)集：集合中的元素全部由數(shù)組成。n 10.解集：由方程或方程組、不等式或不等式組的解作為元素構(gòu)成的集合。Page 6n 11.集合的字母表示：通常用大寫的拉丁字母A、B、C、D、表示集合。 如A=-1，1，0，34、B=斜三角形。n 12.元素的字母表示：通常用小寫的拉丁字母a、b、c

5、、d、表示元素。n 13.空集的符號表示： 或 。特別注意的是 不是空集，而是一個單元素集合。n 14.屬于符號： 如-1 A、1 A、34 An 15.不屬于符號： 如2 A、1.5 A名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或NZQR3.常用數(shù)集及表示符號常用數(shù)集及表示符號列舉法把集合中的元素 出來寫在大括號內(nèi)表示集合的方法描述法用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法4.集合的表示方法集合的表示方法一一列舉Page 8n 21.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。n 22.列舉法有三種形式： 是有限集而元素個數(shù)較少，如由0、2、-

6、3、5組成的集合可表示為0，2，-3，5； 是有限集但元素個數(shù)較多，如由從50到100的所有整數(shù)組成的集合可表示為50，51，52，53，98，99，100； 是無限集且元素離散，如由所有的正偶數(shù)組成的集合可表示為2，4，6，8，重難點(diǎn)講解重難點(diǎn)講解 Page 9n 23.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。n 24.描述法有兩種表述形式：n 格式： 元素代表| |元素屬性1 1，元素屬性2 2， 數(shù)式形式 如由不等式x-32的所有解組成的集合，可表示為 xx-32；由直線y=x+1上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合，可表示為 （x，y） y=x+1 。 語言形式 如

7、由所有直角三角形組成的集合，可表示為直角三角形；由所有小于6的正整數(shù)組成的集合，可表示為 小于6的正整數(shù)重難點(diǎn)講解重難點(diǎn)講解 Page 10下面集合里的元素是什么？n 1.大于3小于11的偶數(shù)（描述法）n 答案：2、4、6、8、10。用列舉法可以表示為2，4，6，8，10。n 2.平方后等于1的數(shù)（描述法）n 答案：-1、1。用列舉法表示1，-1。n 3.中國古代的四大發(fā)明（描述法）n 答案：活字印刷、造紙、指南針、火藥。用列舉法可以表示為活字印刷，造紙，指南針，火藥。典型例題分析典型例題分析Page 11用描述法寫出集合如能化簡并化簡為列舉法的形式n 4.由數(shù)字1，3，6中抽出一部分或全部數(shù)

8、字（沒有重復(fù)）所排成的一切自然數(shù)。n 答：由數(shù)字1，3，6中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所排成的自然數(shù)n =1，3，6，13，31，16，61，36，63，136，361，613，316，163，631。n 5.直角坐標(biāo)系第二象限內(nèi)所有的點(diǎn)的坐標(biāo)。n 答：(x,y)x0典型例題分析典型例題分析 1.“高個子的同學(xué)高個子的同學(xué)”、“我國的小河流我國的小河流”能構(gòu)成集合嗎？能構(gòu)成集合嗎？ 【提示提示】“高個子高個子”是一個含糊不清的概念，具有相對性，多高才算是一個含糊不清的概念，具有相對性，多高才算高？同樣地，高？同樣地，“小河流小河流”的的“小小”具體指什么，是流量還是長度？它們都沒具體指什

9、么，是流量還是長度？它們都沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，也就是說，它們都是一些不能夠確定的對象有明確的標(biāo)準(zhǔn)，也就是說，它們都是一些不能夠確定的對象.因此，它們都因此，它們都不能構(gòu)成集合不能構(gòu)成集合. 2.“由由1,2,2,4,2,1能構(gòu)成一個集合，這個集合中共有能構(gòu)成一個集合，這個集合中共有6個元素個元素”這一說法這一說法是否正確？是否正確？ 【提示提示】在在1,2,2,4,2,1中，只有中，只有3個不同的數(shù)個不同的數(shù)(對象對象)1,2,4，并且都是確，并且都是確定的不同對象定的不同對象.因此，它們能構(gòu)成集合，但在這個集合中只有因此，它們能構(gòu)成集合，但在這個集合中只有3個元素個元素.集合中元素的特性 已知集

10、合已知集合A1,0，a，若，若a2A，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值的值.【思路點(diǎn)撥】如果令如果令a2=1，0或或a解方程求解方程求a檢驗(yàn)得檢驗(yàn)得x值值【解析】【解析】(1)若若a21，則，則a1，當(dāng)當(dāng)a1時，集合時，集合A中有兩個相同元素中有兩個相同元素1，舍去；，舍去；當(dāng)當(dāng)a1時，集合時，集合A中有三個元素中有三個元素1,0，1，符合，符合. (2)若若a20，則，則a0，此時集合此時集合A中有兩個相同元素中有兩個相同元素0，舍去，舍去.(3)若若a2a，則，則a0或或1，不符合集合元素的互異性，都舍去，不符合集合元素的互異性，都舍去.綜上可知：綜上可知：a1. 根據(jù)集合中元素的確定性可以解出字母的

11、所有可能的值，根據(jù)集合中元素的確定性可以解出字母的所有可能的值，再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是互異性，最再根據(jù)集合中元素的互異性對集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是互異性，最易被忽略易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解題時要注意分類討論思想的運(yùn)另外，在利用集合中元素的特性解題時要注意分類討論思想的運(yùn)用用. 1.判斷下列說法是否正確，并說明理由判斷下列說法是否正確，并說明理由.(1)a，b，c，d與與d，c，b，a是兩個不同的集合；是兩個不同的集合；(2)集合集合 中有中有5個元素；個元素；(3)0與與1之間的全體無理數(shù)構(gòu)成一個集合；之間的全體無理數(shù)構(gòu)成一個集合；(4)集合

12、集合A(1，3)與與B(3,1)是同一集合是同一集合. 【解析】(1)不正確不正確.因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，即對于元素不要求因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，即對于元素不要求順順序，只要是相同幾個元素即可，故序，只要是相同幾個元素即可，故a，b，c，d與與d，c，b，a是兩個相是兩個相同同的集合的集合. (2)不正確不正確.對于一個集合，它的元素是互異的，而對于一個集合，它的元素是互異的，而 0.50，因此，此種表，因此，此種表示不能構(gòu)成集合示不能構(gòu)成集合.要想表示集合，應(yīng)寫作要想表示集合，應(yīng)寫作 ，含有，含有4個元素個元素. (3)正確正確.符合集合中元素的特性，它是一個無限數(shù)集符合集合中元素

13、的特性，它是一個無限數(shù)集. (4)不正確不正確.A(1，3)表示的是由點(diǎn)表示的是由點(diǎn)(1，3)組成的單元素點(diǎn)集，組成的單元素點(diǎn)集，B(3,1)表示的是由點(diǎn)表示的是由點(diǎn)(3,1)組成的單元素點(diǎn)集，而組成的單元素點(diǎn)集，而(1，3)和和(3,1)是不是不同同的兩個點(diǎn)，因此的兩個點(diǎn)，因此A與與B是不同的集合是不同的集合.元素與集合的關(guān)系 設(shè)集合設(shè)集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若若aA，bB，試判斷，試判斷ab與與A，B的關(guān)系的關(guān)系.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】因?yàn)橐驗(yàn)锳是偶數(shù)集，是偶數(shù)集，B是奇數(shù)集，所以是奇數(shù)集，所以a是偶數(shù)，是偶數(shù)，b是奇數(shù)，從是奇數(shù)，從而而ab是奇數(shù)是奇數(shù).【解析解析】a

14、A，a2k1(k1Z).bB，b2k21(k2Z).ab2(k1k2)1.又又k1k2Z，abB，從而，從而ab A. 判斷一個元素是不是某個集合的元素，就是判斷這個對判斷一個元素是不是某個集合的元素，就是判斷這個對象是不是具有這個集合的元素所具有的特征性質(zhì)，反之，如果一個元素是某象是不是具有這個集合的元素所具有的特征性質(zhì)，反之，如果一個元素是某個集合的元素，這個元素也一定具有這個集合中元素共有的特征性質(zhì)個集合的元素，這個元素也一定具有這個集合中元素共有的特征性質(zhì). 2.所給下列關(guān)系正確的個數(shù)是所給下列關(guān)系正確的個數(shù)是()R； Q；0N；|4| N. A.1B.2 C.3 D.4【解析解析】是

15、實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，正確，正確，N表示正整數(shù)集，而表示正整數(shù)集，而0不是正整數(shù)；不是正整數(shù)；|4|是正整數(shù)，是正整數(shù)，錯誤錯誤.【答案答案】B3集合的表示方法 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑嫌眠m當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)比比4大大2的數(shù)；的數(shù)；(2)方程方程x2y24x6y130的解集；的解集；(3)不等式不等式x23的解的集合；的解的集合；(4)二次函數(shù)二次函數(shù)yx21圖象上所有點(diǎn)組成的集合圖象上所有點(diǎn)組成的集合.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，有限個還是無解答本題的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，有限個還是無限個限個.【解析】【解析】(1)比比4大大2的數(shù)

16、顯然是的數(shù)顯然是6，故可表示為，故可表示為6.(2)方程方程x2y24x6y130可化為可化為(x2)2(y3)20 ，方程的解集為方程的解集為(2，3).(3)由由x23，得，得x5.故不等式的解集為故不等式的解集為x|x5.(4)“二次函數(shù)二次函數(shù)yx21的圖象上的點(diǎn)的圖象上的點(diǎn)”用描述法表示為用描述法表示為(x，y)|yx21. (1)對于元素個數(shù)確定的集合或元素個數(shù)不確定但元素間對于元素個數(shù)確定的集合或元素個數(shù)不確定但元素間存存在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法在明顯規(guī)律的集合，可采用列舉法.應(yīng)用列舉法時要注意：元素之間用應(yīng)用列舉法時要注意：元素之間用“，”而不是用而不是用“、”隔開；元素

17、隔開；元素不能重復(fù)不能重復(fù)；不考慮不考慮元素元素順序順序.(2)對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以通過將集合中元素的共同特征描述出來，即采用描述法出來，可以通過將集合中元素的共同特征描述出來，即采用描述法. 3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑嫌眠m當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?1)二元二次方程組二元二次方程組 的集合；的集合；(2)大于大于4的全體奇數(shù)組成的集合；的全體奇數(shù)組成的集合；(3)A(x，y)|xy3，xN，yN；(4)一次函數(shù)一次函數(shù)y2x1圖象上所有點(diǎn)組成的集合圖象上所有點(diǎn)組成的集合.【解析解析】

18、(1)列舉法：列舉法：(0,0)，(1,1)；(2)描述法：描述法：x|x2k1，k2，kN；(3)列舉法：因?yàn)榱信e法：因?yàn)閤N，yN，xy3，所以所以所以所以A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)；(4)描述法：描述法：(x，y)|y2x1.下列說法：下列說法：集合集合xN|x3x用列舉法表示為用列舉法表示為1,0,1；實(shí)數(shù)集可以表示為實(shí)數(shù)集可以表示為x|x為所有實(shí)數(shù)為所有實(shí)數(shù)或或R；方程組方程組 的解集為的解集為x1，y2.其中正確的有其中正確的有()A.3個個B.2個個C.1個個 D.0個個【錯解錯解】A【錯因錯因】對于描述法表示集合，一應(yīng)清楚符號對于描述法表示集合，一應(yīng)清楚符號“x|x的屬性的屬性”表示的是所表示的是所有具有某種屬性的有具有某種屬性的x的全體，而不是部分；二應(yīng)從代表元素入手，弄清楚代表的全體，而不是部分；二應(yīng)從代表元素入手，弄清楚代表元素是什么元素是什么.【正解】【正解】由由x3x，即，即x(x21)0，得，得x0或或x1或或x1，因?yàn)?，因?yàn)?N，故集合，故集合xN|x3x用列舉法表示應(yīng)為用列舉法表示應(yīng)為0,1.集合表示中的符號集合表示中的符號“”已包含已包含“所有所有”、“全體全體”等含義，而符號等含義，而符號“R”已表示所有的實(shí)數(shù)，正確的表示應(yīng)為已表示所有的實(shí)數(shù)