直角三角形、勾股定理、完全平方式之關系的反思

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上直角三角形、勾股定理、完全平方式之關系的反思遠在公元前3000年的古巴比倫，人們就已經知道或認識這個定理了；而在公元前1120年的中國西周時期，人們也發(fā)現(xiàn)了這個定理，據周髀算經記載，當時數(shù)學家商高在回答周公時曾說過“勾-三，股-四，徑-五”這樣的話。其實，人們對這個定理的認識經歷了一個相當漫長而艱辛的從特殊到一般的探索歷程。它的證明方法也千姿百態(tài)，各臻其妙。一、 提出問題（是什么？）直角三角形這種圖形是如此的美妙而神奇，以至于數(shù)千年來，古今中外的人們一直剪不斷對它的縷縷“情絲”，也勾起了好奇而癡迷的數(shù)學家們無限的遐想。另一方面，縱觀整個初中數(shù)學的學習，在數(shù)與代數(shù)這部分

2、內容中，我們經常碰到的最玄乎的代數(shù)式是下面四個：(a-b)； a+b； (a+b)； 2ab；然而，這四個代數(shù)式它們相互之間究竟是一種怎樣的關系？這四個代數(shù)式它們與直角三角形之間又是一種什么樣的關系？作為教師的我們自不待言。然而，這么多式子，又零又散，卻實很難記憶，對于學生的他們或者說她們，自然不一定鬧得清楚、弄得明白、把握得準確，并牢牢的記住。同時，直角三角形與這四個代數(shù)式之間，具體說來，究竟是靠什么又是如何掛上了鉤？二、 分析問題（為什么？）針對這個問題，個人冥思苦想了很久，究竟提出一個什么樣的有效辦法才能使學生理解并準確把握呢？問題的關鍵是這幾個代數(shù)式之間，這幾個代數(shù)式與直角三角形之間，

3、從表面上看，卻實很難直接看出它們之間究竟存在一種怎樣的關系？個人認為，這里的關鍵是如何從整體上而不是孤立地去考慮這四個代數(shù)式，同時，考慮到它們與直角三角形有著千絲萬縷的聯(lián)系，這幾個代數(shù)式在與直角三角形相聯(lián)系的幾何圖形中所表示的幾何意義就很值得我們關注。三、 解決問題（怎么辦？）最近，由于2012年的國培學習機會，逼著自己不得不靜下心來思考。突然有一天，腦子里閃現(xiàn)一個圖景：它們似曾在哪兒見過，但自己一時又說不上來。仔細一瞧下面幾個問題：(a-b)+( )=a+b； （答案：2ab）(a-b) +( )=(a+b)； （答案：4ab）a+b+( )=(a+b)； （答案：2ab）(a+b)-( )

4、=a+b； （答案：2ab）(a+b)-( )= (a-b)； （答案：4ab）a+b-( )=(a-b)； （答案：2ab）(a-b)+ (a+b)=( )； （答案：2(a+b)）(a+b)- (a-b)=( )； （答案：4ab）進一步觀察，不難發(fā)現(xiàn)：(a-b) a+b； （答案：2ab）(a-b) (a+b)； （答案：4ab）a+b (a+b)； （答案：2ab）(a-b)+ (a+b)=( )； （答案：2(a+b)）(a+b)- (a-b)=( )； （答案：4ab）再進一步，仔細一想，這其中最最核心的東西就只有一個：(a-b) a+b (a+b)；即三個代數(shù)式按從小到大的順序依

5、次排列正好是（本文中討論都是基于a0、b 0）(a-b)； a+b；(a+b)；反過來，三個代數(shù)式按從大到小的順序依次排列是(a+b)； a+b；(a-b)；而相鄰兩個代數(shù)式之間的差或者說距離都是2ab，但我們似乎還是看的不太明白。不妨把這三個代數(shù)式都用點在數(shù)軸上描示出來如下圖這不就是白居易筆下“猶抱琵笆半遮面，千呼萬喚始出來”的“琵琶女”嗎？這僅僅是從長度的角度來考慮的結果；另一方面，從代數(shù)式有時也可以表達幾何圖形的面積來說，這個定理說，如果某個三角形是直角三角形或者說它有一個內角等于90度，那么其三邊長度之間就滿足下面的特定數(shù)量關系：最長邊斜邊的平方等于較短的兩條直角邊的平方之和，或者說最長邊斜邊的平方減去其中一條直角邊的平方等于另一條直角邊的平方。這個結論還可以理解為以最長邊斜邊為邊長的正方形面積等于分別以兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和。這樣， 、代數(shù)式(a-b)、a+b、2ab的關系其實就隱含在1700多年前的三國時期的數(shù)學家趙爽的昡圖中或者說對應于炫圖；即(a-b)+0.5ab*4= （a+b） ( 橋梁:c=a+b) 、代數(shù)式(a+b)、a+b、2ab的關系就隱含在圖中或者說對應于圖；（a+b）+0.5ab*4=(a+b) ( 橋梁: c=a+b) 、代數(shù)式(a-b)、(a+b