小學(xué)奧數(shù)立體圖形匯總

1、第 11 講 立體圖形各種涉及長方體、立方體、圓柱、圓錐等立體圖形表面積與體積的計(jì)算問題，解題時(shí)考慮沿某個(gè)方向的投影常能發(fā)揮明顯的作用. 較為復(fù)雜的是與剪切、拼接、染色等相關(guān)聯(lián)的立體幾何問題.第六屆： “華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽第 12 題(略有改動(dòng))1 用棱長是1 厘米的立方塊拼成如圖11-1 所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米【分析與解】顯然， 圖 11-1 的圖形朝上的面與朝下的面的面積相等，都等于33 =9 個(gè)小正方形的面積，朝左的面和朝右的面的面積也相等，等于 7 個(gè)小正方形的面積；朝前的面和朝后的面的面積也相等，都等于 7 個(gè)小正方形的面積，因此，該圖形的表面積等

2、于(9+7+7) 2=46 個(gè)小正方形的面積，而每個(gè)小正方形面積為l 平方厘米，所以該圖形表面積是46 平方厘米2 如圖 11-2 ，有一個(gè)邊長是5 的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5， 3， 2 的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【分析與解】原來正方體的表面積為5 56 =150現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個(gè)面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3 2) 2=12， 12 150=0.08=8 即表面積減少了百分之八3 如圖 11-3 ，一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長l 米，沿水平方向?qū)⑺彸? 片，每片又鋸成4 長條，每條又鋸成5 小塊，共得到大大小小的長方體60 塊那么，這60 塊長方體

3、表面積的和是多少平方米?【分析與解】我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2 個(gè)面的面積現(xiàn)在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 刀， 而原正方體一個(gè)面的面積1 l= 1（平方米 ） ， 所以表面積增加了 9 2 1=18（平方米）原來正方體的表面積為6 1=6（平方米 ），所以現(xiàn)在的這些小長方體的表積之和為6+18=24（平方米 ）4圖11-4 中是一個(gè)邊長為4 厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長 l 厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?【分析與解】原正方體的表面積是4 4 6=96（平方厘米）每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長是1 厘米的正

4、方形，同時(shí)又增加了5 個(gè)邊長是1 厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來看，每一個(gè)面都增加了4 個(gè)邊長是1 厘米的正方形從而，它的表面積是96+4 6=120 平方厘米5 圖 11-5 是一個(gè)邊長為2 厘米的正方體在正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長為1 厘米的正方1體小間；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長為厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，21邊長為 1 厘米那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米?4因?yàn)槊客谝淮?，都在原來的基礎(chǔ)上，少了1 個(gè)面，多出了5 個(gè)面，即增加了4 個(gè)面所以，最后得到的立體圖形的表面積是：2 2 6+1 l 4+1 1 4+ 1 1 4=29.2

5、5（ 平方厘米）22446有大、中、小3 個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6 米、 3 米、 2 米把兩堆碎石分別沉沒在中、 小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6 厘米和 4 米 如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析與解】放在中水池里的碎石的體積為3 30 .06 ： 0.54 立方米；放在小水池里的碎石的體積為2 20 .04=0.16 立方米；則兩堆碎石的體積和為0.54+0.16=0.7 立方米，現(xiàn)在放到底面積為6 6=36 平方米的大水池中，則使大水池的水面升高0.7 36= 7 米 =700 厘米=117 厘米360360187 如圖 11-6

6、，從長為13 厘米，寬為9 厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2 米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器這個(gè)容器的體積是多少立方厘米?容器的底面積是(13- 4) (9 -4)=45( 平方厘米)，高為2 厘米，所以容器得體積為：45 2=90(立方厘米)8 今有一個(gè)長、寬、高分別為21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長方體現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個(gè)正方體問剩下的體積是多少立方厘米?【分析與解】本題首先要確定三次切下的正方體的棱長，因?yàn)?1 ：15：12=7：5：4，為了敘述方便，我們先考慮長

7、、寬、高分別為7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的長方體.易知第一次切下的正方體的棱長應(yīng)為4 厘米，第二次切下的正方體棱長為3 厘米時(shí)符合要求，第三次切下的正方體的棱長為2 厘米時(shí)符合要求于是，在長、寬、高分別為21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的長方體中，第一、二、三次切下的正方體的棱長為12 厘米、 9 厘米、 6 厘米所以剩下的體積應(yīng)為：21 15 12-（ 123 93 63）=1107（ 立方厘米）99 如圖 11-7 ，有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐，它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位是厘米那么，圓錐體積與圓柱體積的比是多少?所以，圓錐體積與圓柱體積的比是圓錐的體積是1 22 43162,

8、 ，圓柱的體積是4 8128 316:1281:24.310 張大爺去年用長2 米、寬 1 米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤今年改用長3 米寬 2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍底面周長是3，半徑是3 ，( 3 )23 所以今年糧囤底面積是22422同理，去年糧囤底面積是，高是1 42232(2) (1) 4.5.444.5 倍323 ，高是 211 一個(gè)盛有水的圓柱形容器底面內(nèi)半徑為5 厘米，深20 厘米，水深15 厘米今將一個(gè)底面半徑為 2 厘米，高為18 厘米的鐵圓柱垂直放人容器中求這時(shí)容器的水深是多少厘米?【分析與解】若鐵圓柱體能完

9、全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：5215 221825217.72此時(shí)容器與鐵圓柱組成一個(gè)類似于下它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒有完全浸入水中底面積為522221 ，水的體積保持不變?yōu)?215 315 3156所以有水深為17 （ 厘米） ，小于容器的高度20 厘米，顯然水沒有溢出217于是 17 6 厘米即為所求的水深712 如圖 ll-8 ， 用高都是1 米， 底面半徑分別為1.5 米、 1 米和 0.5 米的 3 個(gè)圓柱組成一個(gè)物體問這個(gè)物體的表面積是多少平方米?（ 取314）物體的表面積恰好等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、

10、小圓柱的側(cè)面積，即221.52 21.5 1 21 1 20.5 14.53210.532.97（平方米）即這個(gè)物體的表面積是32.97 平方米13 某工人用薄木板釘成一個(gè)長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條如圖11-9 所示在三個(gè)方向上加固所用尼龍編織條的長分別為365 厘米、 405 厘米、 485 厘米若每個(gè)尼龍條加固時(shí)接頭處都重疊5 厘米，則這個(gè)長方體包裝箱的體積是多少立方米?【分析與解】長方體中，高+寬 =+(365-5)=180 ，1高 +長 = (405-5)=200 ，2長 +寬 = 1 (485-5)=240 ，2- 得長- 寬 =20，+得長=130，則寬=110，代入得高=

11、70，所以長方體得體積為：70 110 30 =1001000( 立方厘米)=1.001( 立方米 )114有甲、乙、丙3 種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長是乙的棱長的1 ，乙的棱長是丙的棱長22的 2 如果用甲、乙、丙3 種木塊拼成一個(gè)體積盡可能小的大正體，每種至少用一塊，那么最少需要3這 3 種木塊一共多少塊?【分析與解】設(shè)甲的棱長為1 ，則乙的棱長為2，丙的棱長為3顯然，大正方體棱長不可能是4，否則無法放下乙和丙各一個(gè)于是，大正方體的棱長至少是5事實(shí)上，用甲、乙、丙三種木塊可以拼成棱長為5 的大正方體，其中丙種木塊只能用1 塊；乙種木塊至多用7 塊 （ 使總的塊數(shù)盡可能少） ；甲種木

12、塊需用：5 55 - 1 3 33 - 7 2 2 2=42（塊 ） 因此， 用甲、 乙、 丙三種木塊拼成體積最小的大正方體，至少需要這三種木塊一共1+7+42=50（ 塊 ） 15有6 個(gè)相同的棱長分別是3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的長方體，把它們的某劃面染上紅色，使得有的長方體只有1 個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有2 個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有3 個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有4 個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有5 個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長方體6 個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長；方體分割成棱長為1 厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體；最多有多少個(gè)?【分析與解】一面染紅的長方體

13、，顯然應(yīng)將4 5的長方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生20 個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多二面染紅的長方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)4 5 的長方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生40 個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多三面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4 5， 4 5， 43 的面染紅，于是產(chǎn)生4 （5+5+3 -4）=36 個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體均少于36 個(gè)四面染紅的長方體，顯然應(yīng)將4 5， 4 5， 4 3， 43 的面染紅，產(chǎn)生4 （5+5+3+3 - 2 4）=32個(gè)一面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32 個(gè)五 面 染 紅 的 長 方 體 ， 應(yīng) 只 留 一 個(gè)35的