圓錐曲線的共同性質(zhì)

1、2.5圓錐曲線的共同性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法(重點(diǎn))2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1圓錐曲線的共同性質(zhì)：圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個(gè)常數(shù)e.這個(gè)常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F就是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l就是該圓錐曲線的準(zhǔn)線2圓錐曲線離心率的范圍：(1)橢圓的離心率滿足0e1，(2)雙曲線的離心率滿足e1，(3)拋物線的離心率滿足e1.3橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線方程：根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，對(duì)于中心在原

2、點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，準(zhǔn)線方程都是x±.基礎(chǔ)自測1判斷正誤：(1)到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線()(2)離心率e1時(shí)不表示圓錐曲線()(3)橢圓的準(zhǔn)線為x±(焦點(diǎn)在x軸上)，雙曲線的準(zhǔn)線為x±(焦點(diǎn)在x軸上)【解析】(1)×.定點(diǎn)F不在定直線l上時(shí)才是圓錐曲線(2)×.當(dāng)e1時(shí)表示拋物線是圓錐曲線(3)×.雙曲線的準(zhǔn)線也是x±.【答案】(1)×(2)×(3)×2離心率為，準(zhǔn)線為x±4的橢圓方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902149】【解析】由題意知a2，

3、c1，b23，橢圓方程為1.【答案】1合 作 探 究·攻 重 難求焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程求下列曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)x2y22；(2)4y29x236；(3)x24y0；(4)3x23y22.思路探究把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，確定焦點(diǎn)的位置、利用公式求解【自主解答】(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點(diǎn)在x軸上，a22，b22，c24，c2.焦點(diǎn)為(±2,0)，準(zhǔn)線方程為x±±1.(2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點(diǎn)在y軸上，a29，b24，c.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，準(zhǔn)線方程為y±±.(3)由方程x24y知，曲線為拋物線，p2，開口

4、向下，焦點(diǎn)為(0，1)，準(zhǔn)線為y1.(4)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式1，a2，b2，c，故焦點(diǎn)為.準(zhǔn)線方程為y±±±.規(guī)律方法1已知圓錐曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的一般思路是：首先確定圓錐曲線的類型，其次確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后確定相關(guān)的參數(shù)值a，b，c或p，最后根據(jù)方程的特征寫出相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程2注意：橢圓、雙曲線有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線，應(yīng)區(qū)別對(duì)待跟蹤訓(xùn)練1求下列圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)3x24y212；(2)2x2y24. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902150】【解】(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點(diǎn)在x軸上，a24，b23，c21，c1.焦點(diǎn)坐標(biāo)

5、為(±1,0)，準(zhǔn)線方程為x±±4.(2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：1.焦點(diǎn)在x軸上，a22，b24，c26，c.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，準(zhǔn)線方程為x±±±.利用圓錐曲線的定義求距離雙曲線1上有一點(diǎn)P，它到右準(zhǔn)線的距離為，求它到左焦點(diǎn)的距離思路探究首先判定點(diǎn)P在雙曲線的左支還是右支上，然后利用性質(zhì)把到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離求解【自主解答】雙曲線1的左準(zhǔn)線和右準(zhǔn)線分別為x和x，若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的最小距離為(3)，故點(diǎn)P不可能在左支上，而在右支上，所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為e，再根據(jù)雙曲線的定義知PF1PF26，

6、即PF16PF26.即點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為.規(guī)律方法解決這類圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離問題的一般思路有兩種：(1)先利用統(tǒng)一定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，再利用對(duì)應(yīng)的圓錐曲線定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到兩不同焦點(diǎn)距離之間的轉(zhuǎn)化來解決；(2)把思路(1)的兩步過程交換先后順序來解決.跟蹤訓(xùn)練2橢圓1上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離【解】橢圓1中，a225，b216，則a5，c3，故離心率為e.由圓錐曲線的性質(zhì)得點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為e，再根據(jù)橢圓的定義得，P到右焦點(diǎn)的距離為2a10.利用圓錐曲線的定義求最值探究問題1根據(jù)橢圓(雙曲線)的共同性質(zhì)

7、，橢圓(雙曲線)上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離PF，與點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離d有什么關(guān)系？【提示】e，即PFde(e為橢圓或雙曲線的離心率)2設(shè)橢圓1內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)，P為橢圓上一點(diǎn)，過P作橢圓的準(zhǔn)線x4的垂線，垂足為D，則PAPD的最小值是什么？【提示】過A作直線x4的垂線交橢圓于P，垂足為D，則PAPD最小，最小值為AD413.3設(shè)橢圓1外一點(diǎn)M(1,3)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，P到橢圓的準(zhǔn)線x4的距離為PD，則PAPD的最小值是什么？【提示】易知橢圓的離心率是e，由，得PFPD，故PAPDPAPFAF3.即PAPD的最小值是3.已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)M(1,2)，F(xiàn)是橢圓在y軸正半軸上的一

8、個(gè)焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使得MP3PF的值最小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902151】思路探究因?yàn)闄E圓離心率為，(d為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)，3PFd，將MP3PF轉(zhuǎn)化為MPd.【自主解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，P到F對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，由方程知a29，a3，b28，c21，e，3PFd，MP3PFMPd.當(dāng)MP與準(zhǔn)線l垂直時(shí)MPd最小此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x01，將x01代入橢圓方程1，得y0.P點(diǎn)坐標(biāo)為，最小距離為2927.即MP3PF的最小值為7.規(guī)律方法求距離和的最小值的關(guān)鍵在于把折線變成直線，此過程需借助于圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.跟蹤訓(xùn)練3.如圖

9、2­5­1所示，已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PFPA的最小值為多少？圖2­5­1【解】由1知a2，c4，e2.設(shè)點(diǎn)M是點(diǎn)P在左準(zhǔn)線上的射影則PM是P到左準(zhǔn)線x1的距離，則2.所以PFPM，所以PFPAPMPA.顯然當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，PFPA的值最小，即PFPA的最小值為點(diǎn)A到雙曲線左準(zhǔn)線的距離：334.故PFPA的最小值為4.構(gòu)建·體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1橢圓1的準(zhǔn)線方程是_【解析】由方程可知a23，b22，c21，c1，則準(zhǔn)線方程為x±±3.【答案】x±32在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線1的一條準(zhǔn)線的方程為x3，則實(shí)數(shù)a的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902152】【解析】由方程可得c，x3，解得a12或a3(舍)，故a12.【答案】123若橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程是x12，則該橢圓的方程是_【解析】易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c1，故準(zhǔn)線方程是xa212，則b2a2c211，故橢圓方程是1.【答案】14橢圓1上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為_【解析】由題意知a2，c1，e，所以p到準(zhǔn)線的距離為2÷4