北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊 62 平行四邊形的判定知識(shí)講解及例題演練

1、平行四邊形的判定定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.平行四邊形的四個(gè)判定定理及應(yīng)用，會(huì)應(yīng)用判定定理判斷一個(gè)四邊形是不是平行四邊形2.會(huì)綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的幾何問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平

2、行四邊形”的依據(jù).【典型例題】類型一、平行四邊形的判定1、如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上（小正方形的邊長為單位1）（1）在圖中確定格點(diǎn)D，并畫出以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形（2）若以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則你確定的點(diǎn)D的坐標(biāo)是_.【思路點(diǎn)撥】（1）分為三種情況：以AC為對角線時(shí)、以AB為對角線時(shí)、以BC為對角線時(shí)，畫出圖形，根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)求出即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，把y軸向左平移了一個(gè)單位，根據(jù)平移性質(zhì)求出即可【答案與解析】（1）解：從圖中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB為對角線時(shí)，得出平行四邊形ACBD1，D1的坐標(biāo)是

3、（-6，2），以AC為對角線時(shí)，得出平行四邊形ABCD2，D2的坐標(biāo)是（0，2），以BC為對角線時(shí)，得出平行四邊形ABD3C，D3的坐標(biāo)是（-2，-2），（2）解：以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，D的坐標(biāo)是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案為：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意：一定要進(jìn)行分類討論舉一反三【變式】（2019呼倫貝爾）如圖，分別以RtABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊ACD及等邊ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足為F，連接DF

4、（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形【答案】證明：（1）RtABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等邊三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在RtAFE和RtBCA中，RtAFERtBCA（HL），AC=EF；（2）ACD是等邊三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四邊形ADFE是平行四邊形2、類比學(xué)習(xí)：一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為3+（-2）=1若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向

5、左為負(fù)，平移|a|個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移|b|個(gè)單位），則把有序數(shù)對a，b叫做這一平移的“平移量”；“平移量”a，b與“平移量”c，d的加法運(yùn)算法則為a，b+c，d=a+c，b+d解決問題：（1）計(jì)算：3，1+1，2；1，2+3，1；（2）動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把動(dòng)點(diǎn)P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置還是點(diǎn)B嗎？在圖1中畫出四邊形OABC證明四邊形OABC是平行四邊形（3）如圖2，一艘船從碼頭O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭P（2，3），再從碼頭P航行到碼頭

6、Q（5，5），最后回到出發(fā)點(diǎn)O請用“平移量”加法算式表示它的航行過程【思路點(diǎn)撥】（1）本題主要是類比學(xué)習(xí)，所以關(guān)鍵是由給出的例題中找出解題規(guī)律，即前項(xiàng)加前項(xiàng)，后項(xiàng)加后項(xiàng)（2）根據(jù)題中給出的平移量找出各對應(yīng)點(diǎn)，描出各點(diǎn)，順次連接即可（3）根據(jù)題中的文字?jǐn)⑹隽谐鍪阶?，根?jù)（1）中的規(guī)律計(jì)算即可【答案與解析】解：（1）3，1+1，2=4，3；1，2+3，1=4，3（2）畫圖最后的位置仍是B證明：由知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）OC=AB=，OA=BC=，四邊形OABC是平行四邊形（3）從O出發(fā)，先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，可知平移量為2，3，同理得到P到Q的平移量為3，2，

7、從Q到O的平移量為-5，-5，故有2，3+3，2+-5，-5=0，0【總結(jié)升華】本題考查了幾何變換中的平移變換，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目給出的信息，對于此類題目同學(xué)們不能自己憑空想象著解答，一定要按照題目給出的思路求解，克服思維定勢舉一反三：【變式】一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移5個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移3個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為5+（-2）=3若平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移|a|個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移|b|個(gè)單位），則把有序數(shù)對a，b叫做這一平移的“平移量”規(guī)定“平移量”a，b與

8、“平移量”c，d的加法運(yùn)算法則為a，b+c，d=a+c，b+d（1）計(jì)算：3，1+1，2；（2）若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A（1，1）出發(fā)，先按照“平移量”2，1平移到點(diǎn)B，再按照“平移量”-1，2平移到點(diǎn)C；最后按照“平移量”-2，-1平移到點(diǎn)D，在圖中畫出四邊形ABCD，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將（2）中的四邊形ABCD以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AEB的三邊AE、EB、BA平移一周請用“平移量”加法算式表示動(dòng)點(diǎn)P的平移過程【答案】解：（1）3，1+1，2=4，3；（2）B點(diǎn)坐標(biāo)為：（1+2，1+1）=（3，2）；C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3-1，2+2）=

9、（2，4）；D點(diǎn)坐標(biāo)為：（2-2，4-1）=（0，3）；如圖所示：D（0，3）（3）點(diǎn)A至點(diǎn)E，向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位；點(diǎn)E至點(diǎn)B，向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位；點(diǎn)B至點(diǎn)A，向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；故動(dòng)點(diǎn)P的平移過程可表示為：1，-2+1，3+-2，-13、如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，直線EF經(jīng)過點(diǎn)O，分別與AB，CD的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)求證：四邊形AECF是平行四邊形【思路點(diǎn)撥】平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為四邊形ABCD是平行四邊形，可證OF=OE，OA=OC，根據(jù)條件在圖形中的

10、位置，可選擇利用“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”來解決【答案與解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OD=OB，OA=OC，ABCD，DFO=BEO，F(xiàn)DO=EBO，在FDO和EBO中，F(xiàn)DOEBO（AAS），OF=OE，四邊形AECF是平行四邊形【總結(jié)升華】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法類型二、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合運(yùn)用4、如圖，ABC中AB=AC，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已點(diǎn)知D、E移動(dòng)的速度相同，DE與直線BC相交于點(diǎn)F（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段

11、AB上時(shí)，過點(diǎn)D作AC的平行線交BC于點(diǎn)G，連接CD、GE，判定四邊形CDGE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作直線BC的垂線垂足為M，當(dāng)點(diǎn)D、E在移動(dòng)的過程中，線段BM、MF、CF有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得出BD=CE，由平行線的性質(zhì)得出DGB=ACB，由等腰三角形的性質(zhì)得出B=ACB，得出B=DGB，證出BD=GD=CE，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BM=GM，由平行線得出GF=CF，即可得出結(jié)論【答案與解析】解：（1）四邊形CDGE是平行四邊理由如下：如圖1所示：D、E移動(dòng)的速度相同，BD=CE，DG

12、AE，DGB=ACB，AB=AC，B=ACB，B=DGB，BD=GD=CE，又DGCE，四邊形CDGE是平行四邊形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如圖2所示：由（1）得：BD=GD=CE，DMBC，BM=GM，DGAE，GF=CF，BM+CF=GM+GF=MF【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AEBD于E，CFBD于F（1）求證：BE=DF；（2）若M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）【答案】

13、解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形， AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四邊形MENF是平行四邊形證明：由（1）可知：BE=DF，四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，MDB=NBD，DM=BN，DMFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四邊形MENF是平行四邊形5、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）若點(diǎn)G、H分

14、別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）【思路點(diǎn)撥】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，ABCD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得GBE=HDF再由SAS可證GBEHDF，利用全等的性質(zhì)，證明GEF=HFE，從而得GEHF，又GE=HF，運(yùn)用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（2）仍成立可仿照（1）的證明方法進(jìn)行證明【答案與解析】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE，GEHF，四邊形GEHF是平行四邊形（2）解：仍成立（證法同上）【總結(jié)升華】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形舉一反三【變式】如圖，ABCD中，對角線AC，B