數(shù)學(xué)分析高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題有答案

1、導(dǎo)數(shù)與微分重點:倒數(shù)的定義,基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,各類求導(dǎo)法則,二階導(dǎo)數(shù),連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)的幾何意義難點:導(dǎo)數(shù)的定義,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),高階導(dǎo)數(shù)例題:例1 試確定a、b之值,使函數(shù)在(-,+)內(nèi)可導(dǎo),并求f'x例2 設(shè) 證明在處連續(xù),可微,且導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù),但在處不可導(dǎo)例3 設(shè)在處可導(dǎo),求例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)() () () 例5 設(shè)和是可導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例6 設(shè)由方程確定,其中是的可微函數(shù),試求.例7 已知例8 設(shè)且處處可微,求.例9 求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)() () () () .例10 設(shè)函數(shù)滿足:() 對于任意實數(shù),有() 在可導(dǎo),且.證明: 可導(dǎo)且作

2、業(yè)題:求平面曲線與的公切線方程. 答案：例1 試確定a、b之值,使函數(shù) 在(-,+)內(nèi)可導(dǎo),并求f'x解: 欲使在(-,+)內(nèi)可導(dǎo),只需在處連續(xù),可導(dǎo),由 而在處連續(xù),得 （1）由在處可導(dǎo),得 （2）聯(lián)立(1)與(2)解得,.所以當(dāng),時,在處可導(dǎo),且 例2 設(shè) 證明在處連續(xù),可微,且導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù),但在處不可導(dǎo)證: 因為,故在處連續(xù),又故在處可導(dǎo),也可微.當(dāng)時,故導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù),但故導(dǎo)函數(shù)在處不可導(dǎo)例11 設(shè)在處可導(dǎo),求解: 例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)() () () () 解: .令故()解:()解: 例13 設(shè)和是可導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:例14 設(shè)由方程確定,其中是的可微函數(shù),試

3、求.解:對原式左右求導(dǎo)有解得例15 已知解:例16 設(shè)且處處可微,求.解:例17 求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)() () () () .()解: 其中為的次多項式,故() 解:將原函數(shù)變形得,故() 解:將原函數(shù)變形得故() 解:將原函數(shù)變形得故例18 設(shè)函數(shù)滿足:() 對于任意實數(shù),有() 在可導(dǎo),且.證明: 可導(dǎo)且證:首先不恒為零,否則有,與題設(shè)矛盾.于是至少存在一點,使.這樣,由可得.設(shè)為內(nèi)任一點,則即可導(dǎo)且.作業(yè)題:求平面曲線與的公切線方程. 解:設(shè)公切線分別與曲線和相切于點, ,并與軸交于點,見圖,因為公切線是曲線在點處切線,故其斜率為（1）其方程為,即 ()或,即 ()公切線也是曲線在點處的切線,故其斜率為（）其方程為,即 ()或,即.