論正交變換的理論基礎(chǔ)及其在圖像處理中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上濱江學(xué)院計(jì)算機(jī)圖像處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告 題 目 論正交變換的理論基礎(chǔ)及其在圖像處理中的應(yīng)用 專(zhuān) 業(yè) 12計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 二一五 年 六 月 十 日專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) 目錄1課程設(shè)計(jì)目的 (1) 理解正交變換的基本概念及分類(lèi)。 (2) 了解正交變換在圖像處理中的應(yīng)用2課程設(shè)計(jì)要求（1）掌握課程設(shè)計(jì)的相關(guān)知識(shí)、概念清晰。（2）查閱資料，根據(jù)不同處理需求，設(shè)計(jì)完成對(duì)數(shù)字圖像的處理與分析。（3）熟練掌握matlab軟件的基本操作與處理命令。（4）進(jìn)一步理解數(shù)字圖像處理與分析的過(guò)程與意義。3 正交變換的概述 3.1 信號(hào)的正交分解完備的內(nèi)積空間稱(chēng)為希爾伯特空間。折

2、X 為一希爾伯特空間,1 ,2 , ,n 是X 空間中的一向量,如果它們是線(xiàn)性獨(dú)立的,則稱(chēng)之為空間X 中的一組“基”。某一信號(hào)x 就可以按這樣的一組基向量作分解,即X= （式3-1） 式（3-1）中a1 , a2 , , an 是分解系數(shù), 它們是一組離散值。假設(shè)1 ,2 , ,n是一組兩兩互相正交的向量,則式(3-1) 稱(chēng)為x 的正交展開(kāi), 或正交分解。系數(shù)a1 , a2 , , aN 是x在各個(gè)基向量上的投影 ,若N=3 ,其含義如圖3-1 所示。 圖3-1 信號(hào)的正交分解3.2 正交變換的定義 一維序列 可以表示成一個(gè)N維向量 其酉變換可以表示為 或 ，其中變換矩陣A滿(mǎn)足（酉矩陣），若A

3、為實(shí)數(shù)陣，則滿(mǎn)足，稱(chēng)為正交陣。向量 由此，U可以表示為 或 可知，給定基向量 ，原序列f（x）可以由一組系數(shù)g（u）（）表示，這組系數(shù)（變換）可以用于濾波，數(shù)據(jù)壓縮，特征提取等。若矩陣 滿(mǎn)足：則矩陣A就成為正交矩陣。對(duì)于某向量f，用上述正交矩陣進(jìn)行運(yùn)算： 若要恢復(fù)f，則 以上過(guò)程稱(chēng)為正交變換（酉變換）。 3.3 正交變換的分類(lèi)正交變換總的可分為兩大類(lèi),即非正弦類(lèi)正交變換和正弦類(lèi)正交變換。我們經(jīng)常使用的離散傅立葉變換(DFT) 、離散余弦變換(DCT) 、離散正弦變換(DST) 等屬于正弦類(lèi)變換,其中還包括離散Hartley 變換(DHT) 及離散W 變換(DWT) 等。非正弦類(lèi)變換包括Wals

4、h Hadamard 變換(WHT) 、Haar 變換( HRT) 等。由于正弦類(lèi)變換在理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值上都優(yōu)于非正弦類(lèi)變換,從而在正交變換中占據(jù)主導(dǎo)地位。除了正弦類(lèi)和非正弦類(lèi)正交變換,還有兩種特殊的正交變換,K-L變換和正交小波變換。K-L變換去除信號(hào)中的相關(guān)性最徹底,且有著最佳的統(tǒng)計(jì)特性,被稱(chēng)為最佳變換。但是K-L變換的基函數(shù)依賴(lài)與原始數(shù)據(jù),沒(méi)有固定的變換核,限制了它的普遍應(yīng)用。小波變換能夠具有很高的時(shí)頻分辨率,進(jìn)行局部化分析,通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化,達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分,低頻處頻率細(xì)分。但是小波正交基的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,具有緊支集的小波正交基不可能具有對(duì)稱(chēng)性。隨著小波理論及算法的成

5、熟,必將大有作為。3.4 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基傅立葉變換是正交變換中最常用的變換,以它為例來(lái)討論正交變換標(biāo)準(zhǔn)基具有普遍意義。3.4.1 一維DFT的標(biāo)準(zhǔn)基首先從傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行考慮。假設(shè)函數(shù)f ( t)滿(mǎn)足收斂定理,則函數(shù)f ( t) 的傅立葉級(jí)數(shù)為 （式3-2）a0 , a1 , b1 , 是函數(shù)f ( t) 的傅立葉系數(shù)。例如,一矩形波f ( t) 是周期為2的周期函數(shù),在 -, 上 -1 -t0 （式3-3）1 0t由下式求得傅立葉系數(shù), （式3-4）得到矩形波f（t） 的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為:= （式3-5） 上面得到的展開(kāi)式表明:矩形波是由一系列不同頻率的正弦波乘以一個(gè)權(quán)值疊加而成。這些波的頻

6、率依次為基波頻率的奇數(shù)倍。可以看到,求傅立葉系數(shù)的過(guò)程相當(dāng)于傅立葉變換的過(guò)程,把原始信號(hào)展開(kāi),相當(dāng)于傅立葉逆變換的過(guò)程。實(shí)際上,“任意”滿(mǎn)足收斂的一個(gè)波、一個(gè)信號(hào)都可以分解成無(wú)窮多個(gè)不同頻率的信號(hào)。這里說(shuō)的這些無(wú)窮多的不同頻率的信號(hào)就是標(biāo)準(zhǔn)基波。在DFT中也是類(lèi)似的意思。假設(shè)有限長(zhǎng)序列f( x) ( x = 0 ,1 , , N - 1) ,一維DFT變換對(duì)如下:其中稱(chēng)為變換核。將式（6）寫(xiě)成矩陣形式F = W ·f 即: W 是正交變換矩陣, 矩陣元素是變換核函數(shù)不同次冪構(gòu)成。W 是正交矩陣,有W - 1 = W T ?？梢钥闯鯢( u) 是角頻率為2u/ N 信號(hào)的加權(quán)系數(shù),也就

7、是它在原始信號(hào)中分量的大小。如此諸多標(biāo)準(zhǔn)基波乘以其各自系數(shù)再求和得到了原始信號(hào),這也就是離散傅立葉反變換。3.4.2 二維DFT一幅數(shù)字圖像可以用一個(gè)二維矩陣來(lái)表示, f( i , j) 表示i 行j 列這個(gè)像素點(diǎn)的灰度值。數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。假設(shè)f ( x , y) ( x =0 ,1 , , M - 1 ; y = 0 ,1 , , N - 1) 是一幅M ×N 圖像,則二維離散傅立葉變換為: u=0，1,M-1;v=0,1,N-1 （式3-9）逆變換為： x=0，1,M-1;y=0,1,N-1 (式3-10）其中，稱(chēng)為正交變換核。在二維DFT中同樣可以將（式2-9）

8、寫(xiě)成矩陣形式： F = W ·f ·W T其中f 是原始的二維矩陣, F 是二維DFT 系數(shù)矩陣,W 是正交變換矩陣。從式(10) 就可以得到逆變換的矩陣形式,兩邊左乘W - 1 ,右乘W 得: （式3-11）因?yàn)檎螖?shù)據(jù)或整幅圖像的相關(guān)性小,相對(duì)冗余度低, 所以如果對(duì)整段數(shù)據(jù)或整幅圖像進(jìn)行DFT ,很難保證能量較大的系數(shù)處在相對(duì)集中的位置。這不符合我們正交變換的目的。為了消除對(duì)整幅圖像進(jìn)行DFT 帶來(lái)的大能量系數(shù)不能集中的問(wèn)題,在實(shí)際應(yīng)用中一般都將圖像劃分為8 ×8 或16 ×16 的小方塊來(lái)做。一幅圖像在空間上作周期性變化, 則該周期的倒數(shù)稱(chēng)為空間頻

9、率。在圖像中, 空間頻率的大小表征圖像明暗變化的快慢, 決定著圖像的細(xì)節(jié)是否豐富 。灰度變化緩慢的區(qū)域頻率低, 而物體邊緣或噪聲對(duì)應(yīng)高頻。F( u , v) 表示在對(duì)應(yīng)( u ,v) 的頻率點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)基上的分量大小。這里的標(biāo)準(zhǔn)基類(lèi)似一維DFT 的標(biāo)準(zhǔn)基, 一維DFT 中標(biāo)準(zhǔn)基是特定頻率的波,在二維DFT 中每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基就應(yīng)該是一幅圖像,將在2.4.3 節(jié)中詳細(xì)描述標(biāo)準(zhǔn)基圖像?？紤]二維離散傅立葉逆變換, IDFT 就是將原始圖像表示成各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基圖像的加權(quán)和。在圖像壓縮中常用的就是舍去能量小的標(biāo)準(zhǔn)基圖像,只取主分量。以此來(lái)達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。這樣壓縮后的圖像對(duì)視覺(jué)效果的影響一般不是很明顯,略去的只是細(xì)

10、節(jié)。但如果舍去的閾值設(shè)置過(guò)高,就會(huì)造成圖像模糊。3.4.3 正交變換的標(biāo)準(zhǔn)基圖像由于DFT 得到的變換矩陣元素是復(fù)數(shù), mat-lab 圖像顯示工具不能顯示復(fù)數(shù)數(shù)值,所以選擇了DCT 為例來(lái)繪制標(biāo)準(zhǔn)基圖像。如前面的講述,取8×8 的小方塊來(lái)進(jìn)行二維DCT 變換。假設(shè)F( u ,v) 對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像是N uv , 它也是8 ×8 的二維矩陣。則有 （式3-12）設(shè)G= W T ,則式(2-12) 變?yōu)? f = G ·F ·W 。將右邊前兩個(gè)矩陣乘積展開(kāi)有: （式3-13）這里的G( i , :) , f ( : , j) 表示G的第i 行與F的第j 列

11、所有元素對(duì)應(yīng)相乘再求和。實(shí)際上就是矩陣相乘得到新矩陣中在( i , j) 位置的元素。即: （式3-14）再設(shè)T = W T ·F, 則f ( X , Y ) 中任意位置( x0， y0 ) 的值有: （式3-15）將上式與式(2-12) 比較可以發(fā)現(xiàn), 這里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置對(duì)應(yīng)頻率上的分量, G(x0 ,j)·W(j,y0)就是F( i ,j)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)基圖像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素?cái)?shù)值,即: （式3-16）其中i 從1 到8 ,j 從1 到8 得到64個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基圖像的二維矩陣, 每個(gè)矩陣中又有x0 從1 到8 ,y0 從1到8

12、得到8×8 個(gè)矩陣元素。經(jīng)過(guò)上面討論,得到了標(biāo)準(zhǔn)基圖像的表達(dá)式。圖2 就是8×8 二維DCT變換中的標(biāo)準(zhǔn)基圖像。圖2-2 8×8 二維DCT標(biāo)準(zhǔn)基圖像可以看出,只要給定了變換核函數(shù)或變換矩陣就可以得到標(biāo)準(zhǔn)基圖像。有了標(biāo)準(zhǔn)基圖像,就可以更直觀(guān)地將正交變換理解為對(duì)原始圖像在諸多標(biāo)準(zhǔn)基圖像上的分解。通過(guò)對(duì)權(quán)值矩陣的處理即變換域處理,達(dá)到圖像處理的目的,得到新的權(quán)值矩陣再反變換得到處理后的圖像。實(shí)際上可以把標(biāo)準(zhǔn)基圖像作為一個(gè)抽象概念應(yīng)用到所有的二維正交變換中,并不局限于上面顯示的二維DCT。3.5 正交變換在圖像處理中的應(yīng)用窗體頂端窗體底端正交變換研究已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)

13、域取得了令人矚目的成就。是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號(hào)處理?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)(或恢復(fù))。從數(shù)學(xué)地角度來(lái)看，信號(hào)與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理(圖象可以看作是二維信號(hào))，小波分析的許多分析和應(yīng)用問(wèn)題，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問(wèn)題?，F(xiàn)在，對(duì)于其性質(zhì)隨時(shí)間是穩(wěn)定不變的信號(hào)（平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程），處理的理想工具仍然是。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的（非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程），而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。事實(shí)上正交變換的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許

14、多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；分類(lèi)與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線(xiàn)曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類(lèi)、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、的時(shí)間，提高分辨率等。 (1)用于信號(hào)與圖象壓縮是一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號(hào)與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理，小波變換零樹(shù)壓縮，小波變換向量壓縮等。 (2)在信號(hào)分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、信噪分離與提取弱信號(hào)、求分形指數(shù)、信號(hào)的識(shí)別與診斷以及多尺度邊緣檢測(cè)等。 (3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計(jì)算機(jī)視覺(jué)、曲線(xiàn)設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。圖像的正交變換作為圖像處理技術(shù)的重要工具, 通過(guò)正交變換改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù), 給圖像處理工作帶來(lái)了極大的方便。利用這個(gè)工具, 可以對(duì) 圖像的頻譜進(jìn)行各種各樣的處理, 如濾波、降噪等。由于傅里葉變換和余弦變換的變換核由正弦、余弦函數(shù)組成,