數(shù)學專題————方案設計

1、例例1.1.為創(chuàng)建為創(chuàng)建“國家衛(wèi)生城市國家衛(wèi)生城市”，進一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)，進一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府擬對部分路段的人行道地磚、花池、排水管境，德州市政府擬對部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設施全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要，須在道等公用設施全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要，須在6060天內完成工程，現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個工程，天內完成工程，現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個工程，經(jīng)調查知道：乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單獨完成經(jīng)調查知道：乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單獨完成多用多用2525天，甲、乙兩隊合作完成工程需要天，甲、乙兩隊合作完成工程

2、需要3030天，甲隊每天的天，甲隊每天的工程費用為工程費用為2 5002 500元，乙隊每天的工程費用為元，乙隊每天的工程費用為2 0002 000元元. .方程、不等式型方案設計方程、不等式型方案設計(1)(1)甲、乙兩個工程隊單獨完成各需多少天甲、乙兩個工程隊單獨完成各需多少天? ?(2)(2)請你設計一種符合要求的施工方案請你設計一種符合要求的施工方案, ,并求出所需的工程費并求出所需的工程費用用. .【解析】【解析】(1)(1)設甲工程隊單獨完成該工程需設甲工程隊單獨完成該工程需x x天天, ,則乙工程隊則乙工程隊單獨完成該工程需單獨完成該工程需(x+25)(x+25)天天, ,根據(jù)題

3、意得根據(jù)題意得: :方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以x(x+25),x(x+25),得得30(x+25)+30 x=x(x+25),30(x+25)+30 x=x(x+25),即即x x2 2-35x-750=0.-35x-750=0.解之解之, ,得得x x1 1=50,x=50,x2 2=-15.=-15.30301.xx25經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗,x,x1 1=50,x=50,x2 2=-15=-15都是原方程的解都是原方程的解. .但但x x2 2=-15=-15不符合題意不符合題意, ,應舍去應舍去. .x=50,x=50,當當x=50 x=50時時,x+25=75.,x+25=75.答答: :甲

4、工程隊單獨完成該工程需甲工程隊單獨完成該工程需5050天天, ,乙工程隊單獨完成該工乙工程隊單獨完成該工程需程需7575天天. .(2)(2)此問題只要設計出符合條件的一種方案即可此問題只要設計出符合條件的一種方案即可. .方案一方案一: :由甲工程隊單獨完成由甲工程隊單獨完成. .所需費用為所需費用為: :2 5002 50050=125 000(50=125 000(元元).).方案二方案二: :甲乙兩隊合作完成甲乙兩隊合作完成. .所需費用為所需費用為:(2 500+2 000):(2 500+2 000)30=135 000(30=135 000(元元).).其他方案略其他方案略. .

5、方程、不等式方案設計是指利用方程、不等式知識，通過計方程、不等式方案設計是指利用方程、不等式知識，通過計算比較獲得解決問題的具體方法，方案的多重性來源于方程算比較獲得解決問題的具體方法，方案的多重性來源于方程的解或不等式解集的不確定性的解或不等式解集的不確定性. .涉及到的實際問題，一般與經(jīng)涉及到的實際問題，一般與經(jīng)濟有關，貼近生活，濟有關，貼近生活， 在解題中要考慮到經(jīng)濟因素，此類問題在解題中要考慮到經(jīng)濟因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多. .常把常常把常見的模型化歸為求方程或不等式的正整數(shù)解的問題見的模型化歸為求方程或

6、不等式的正整數(shù)解的問題. .因此，正因此，正確地建立方程、不等式模型是解題的關鍵所在確地建立方程、不等式模型是解題的關鍵所在. .1.“1.“五一五一”期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計期間，為了滿足廣大人民的消費需求，某商店計劃用劃用160 000160 000元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表元購進一批家電，這批家電的進價和售價如下表: :(1)(1)若全部資金用來購買彩電和洗衣機共若全部資金用來購買彩電和洗衣機共100100臺，問商店可以臺，問商店可以購買彩電和洗衣機各多少臺？購買彩電和洗衣機各多少臺？(2)(2)若在現(xiàn)有資金若在現(xiàn)有資金160 000160 000元允許

7、的范圍內，購買上表中三類元允許的范圍內，購買上表中三類家電共家電共100100臺，其中彩電臺數(shù)和冰箱臺數(shù)相同臺，其中彩電臺數(shù)和冰箱臺數(shù)相同, ,且購買洗衣機且購買洗衣機的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù)的臺數(shù)不超過購買彩電的臺數(shù), ,請你算一算有幾種進貨方案請你算一算有幾種進貨方案? ?哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大? ?并并求出最大利潤求出最大利潤.(.(利潤利潤= =售價售價- -進價進價) )【思路點撥】【思路點撥】 【自主解答】【自主解答】(1)(1)設商家可以購買彩電設商家可以購買彩電x x臺臺, ,洗衣機洗衣機y y臺臺

8、, ,根據(jù)根據(jù)題意得題意得 , ,解得解得答答: :商家可以購買彩電商家可以購買彩電6060臺臺, ,洗衣機洗衣機4040臺臺. .xy1002 000 x1 000y160 000 x60y40，(2)(2)設商家可以購買彩電設商家可以購買彩電x x臺臺, ,洗衣機洗衣機y y臺臺, ,根據(jù)題意得根據(jù)題意得 解得解得x37.5,x37.5,由購買洗衣機的臺數(shù)不超過彩電的臺數(shù)得由購買洗衣機的臺數(shù)不超過彩電的臺數(shù)得x33.33,x33.33,33.33x37.5,33.33x37.5,因為因為x x取整數(shù)取整數(shù), ,所以有四種方案所以有四種方案: :x x取取34,35,36,37.34,35,

9、36,37.當當x=34x=34時商店銷售完這批家電后獲得的利潤為時商店銷售完這批家電后獲得的利潤為20020034+20034+20034+10034+10032=16 800(32=16 800(元元););xxy100yx2 000 x1 600 x1 000y160 000，當當x=35x=35時商店銷售完這批家電后獲得的利潤為時商店銷售完這批家電后獲得的利潤為20020035+20035+20035+10035+10030=17 000(30=17 000(元元););當當x=36x=36時，商店銷售完這批家電后獲得的利潤為時，商店銷售完這批家電后獲得的利潤為20020036+200

10、36+20036+10036+10028=17 200(28=17 200(元元););當當x=37x=37時，商店銷售完這批家電后獲得的利潤為時，商店銷售完這批家電后獲得的利潤為20020037+20037+20037+10037+10026=17 400(26=17 400(元元).).因此當商家各購買彩電和冰箱因此當商家各購買彩電和冰箱3737臺臺, ,洗衣機洗衣機2626臺時獲利最大臺時獲利最大, ,最大利潤是最大利潤是17 40017 400元元. .2.2.某電器商城某電器商城“家電下鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)”指定型號冰箱、彩電的進價和售指定型號冰箱、彩電的進價和售價如下表所示：價如下表所示：(

11、1)(1)按國家政策，農民購買按國家政策，農民購買“家電下鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)”產品享受售價產品享受售價13%13%的的政府補貼政府補貼. .農民田大伯到該商城購買了冰箱、彩電各一臺，可農民田大伯到該商城購買了冰箱、彩電各一臺，可以享受多少元的補貼以享受多少元的補貼? ?(2)(2)為滿足農民需求，商場決定用不超過為滿足農民需求，商場決定用不超過85 00085 000元采購冰箱、元采購冰箱、彩電共彩電共4040臺，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的臺，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的 . .若使商場獲若使商場獲利最大利最大, ,請你幫助商場計算應該購進冰箱、彩電各多少臺？請你幫助商場計算應該購進冰箱、彩電各多少

12、臺？最大獲利是多少最大獲利是多少? ?56【解析】【解析】(1)(2 420+1 980)(1)(2 420+1 980)13%=572(13%=572(元元).).(2)(2)設冰箱采購設冰箱采購x x臺，則彩電采購臺，則彩電采購(40-x)(40-x)臺，根據(jù)題意得臺，根據(jù)題意得解不等式組得解不等式組得因為因為x x為整數(shù)，所以為整數(shù)，所以x=19x=19、2020、2121，2 320 x1 900 40 x85 0005x(40 x)62318x21117，方案一：冰箱購買方案一：冰箱購買1919臺，彩電購買臺，彩電購買2121臺臺, ,方案二：冰箱購買方案二：冰箱購買2020臺，彩電

13、購買臺，彩電購買2020臺臺, ,方案三：冰箱購買方案三：冰箱購買2121臺，彩電購買臺，彩電購買1919臺臺, ,設商場獲得總利潤為設商場獲得總利潤為y y元，則元，則y=(2 420-2 320)x+(1 980-1 900)(40-x)=20 x+3 200y=(2 420-2 320)x+(1 980-1 900)(40-x)=20 x+3 20020200,y0,y隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，當當x=21x=21時，時，y y最大最大=20=2021+3 200=3 620(21+3 200=3 620(元元).).3.3.某電腦經(jīng)銷商計劃同時購進一批電腦機箱和液晶顯示器，

14、某電腦經(jīng)銷商計劃同時購進一批電腦機箱和液晶顯示器，若購進電腦機箱若購進電腦機箱1010臺和液晶顯示器臺和液晶顯示器8 8臺，共需資金臺，共需資金7 0007 000元；元；若購進電腦機箱若購進電腦機箱2 2臺和液晶顯示器臺和液晶顯示器5 5臺，共需資金臺，共需資金4 1204 120元元. .(1)(1)每臺電腦機箱和液晶顯示器進價各多少元每臺電腦機箱和液晶顯示器進價各多少元? ?(2)(2)該經(jīng)銷商計劃購進這兩種商品共該經(jīng)銷商計劃購進這兩種商品共5050臺臺, ,而可用于購買這兩而可用于購買這兩種商品的資金不超過種商品的資金不超過22 24022 240元元. .根據(jù)市場行情根據(jù)市場行情,

15、,電腦機箱、液電腦機箱、液晶顯示器銷售一臺獲利分別為晶顯示器銷售一臺獲利分別為1010元、元、160160元元. .該經(jīng)銷商希望銷該經(jīng)銷商希望銷售完這兩種商品后售完這兩種商品后, ,所獲利潤不少于所獲利潤不少于4 1004 100元元, ,試問試問: :該經(jīng)銷商該經(jīng)銷商有幾種進貨方案有幾種進貨方案? ?哪種方案獲利最大哪種方案獲利最大? ?最大利潤是多少最大利潤是多少? ?【解析】【解析】每臺電腦機箱和液晶顯示器進價分別為每臺電腦機箱和液晶顯示器進價分別為x x元、元、y y元，元， 解得解得 所以每臺電腦機箱和液晶顯示器進價分別是所以每臺電腦機箱和液晶顯示器進價分別是6060元、元、8008

16、00元元. .10 x8y7 0002x5y4 120，x60y800，(2)(2)設購進機箱設購進機箱z z臺，則購進顯示器臺，則購進顯示器(50-z)(50-z)臺，臺， 解得解得24z26,24z26,可購買機箱可購買機箱2424臺、顯示器臺、顯示器2626臺或機箱臺或機箱2525臺、顯示器臺、顯示器2525臺臺或機箱或機箱2626臺、顯示器臺、顯示器2424臺，共三種方案臺，共三種方案; ;242410+16010+16026=4 400(26=4 400(元元) )，252510+16010+16025=4 250(25=4 250(元元) )，262610+16010+16024=

17、4 100(24=4 100(元元) )，購買機箱購買機箱2424臺、顯示器臺、顯示器2626臺時利潤最大，最大利潤是臺時利潤最大，最大利潤是4 4004 400元元. .60z800 50z22 24010z160 50z4 100，解此類問題的一般步驟解此類問題的一般步驟1.1.分析題意，明確題目的數(shù)量關系分析題意，明確題目的數(shù)量關系. .注意關鍵字詞句的含義；注意關鍵字詞句的含義；2.2.設未知數(shù)，依據(jù)數(shù)量關系，構建數(shù)學模型設未知數(shù)，依據(jù)數(shù)量關系，構建數(shù)學模型. .把實際問題抽象把實際問題抽象化，符號化，轉化為數(shù)學問題；化，符號化，轉化為數(shù)學問題；3.3.求解模型，結合題意，確立解的范圍

18、求解模型，結合題意，確立解的范圍. .當與實際問題有關時，當與實際問題有關時，符合題意的解一般為正整數(shù)；符合題意的解一般為正整數(shù)；4.4.依據(jù)結果，設計方案依據(jù)結果，設計方案. .注意討論方案的可行性或根據(jù)題意逐注意討論方案的可行性或根據(jù)題意逐一驗證，選擇最優(yōu)方案一驗證，選擇最優(yōu)方案. . 函數(shù)型方案設計函數(shù)型方案設計 【例【例2 2】某辦公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方法：購】某辦公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方法：購1 1個書個書包，贈送包，贈送1 1支水性筆；購書包和水性筆一律按支水性筆；購書包和水性筆一律按9 9折優(yōu)惠書折優(yōu)惠書包每個定價包每個定價2020元，水性筆每支定價元，水性筆每支定價5

19、 5元小麗和同學需買元小麗和同學需買4 4個個書包，水性筆若干支書包，水性筆若干支( (不少于不少于4 4支支) )(1)(1)分別寫出兩種優(yōu)惠方法購買費用分別寫出兩種優(yōu)惠方法購買費用y(y(元元) )與所買水性筆支數(shù)與所買水性筆支數(shù)x(x(支支) )之間的函數(shù)關系式；之間的函數(shù)關系式；(2)(2)對對x x的取值情況進行分析，說明按哪種優(yōu)惠方法購買比較的取值情況進行分析，說明按哪種優(yōu)惠方法購買比較便宜；便宜；(3)(3)小麗和同學需買這種書包小麗和同學需買這種書包4 4個和水性筆個和水性筆1212支，請你設計怎支，請你設計怎樣購買最經(jīng)濟樣購買最經(jīng)濟【思路點撥】【思路點撥】【自主解答】【自主解

20、答】(1)(1)設按優(yōu)惠方法購買需用設按優(yōu)惠方法購買需用y y1 1元，按優(yōu)惠方法元，按優(yōu)惠方法購買需用購買需用y y2 2元元. .y y1 1=(x-4)=(x-4)5+205+204=5x+60,4=5x+60,y y2 2=(5x+20=(5x+204)4)0.9=4.5x+72.0.9=4.5x+72.(2)(2)令令y y1 1yy2 2，即，即5x+604.5x+72,x245x+604.5x+72,x24，購買水性筆大于購買水性筆大于2424支時，選擇優(yōu)惠方法比較便宜支時，選擇優(yōu)惠方法比較便宜. .令令y y1 1=y=y2 2，即，即x=24x=24，所以購買水性筆為，所以購

21、買水性筆為2424支時，選擇優(yōu)惠方法支時，選擇優(yōu)惠方法，均可，均可 令令y y1 1yy2 2，即，即4x244x24，所以購買水性筆大于或等于，所以購買水性筆大于或等于4 4支，小于支，小于2424支時，選擇優(yōu)惠方法比較便宜支時，選擇優(yōu)惠方法比較便宜(3)(3)因為需要購買因為需要購買4 4個書包和個書包和1212支水性筆，而支水性筆，而12241224，購買方案一：用優(yōu)惠方法購買，需購買方案一：用優(yōu)惠方法購買，需5x+60=55x+60=512+60=120(12+60=120(元元) )；購買方案二：采用兩種購買方式，用優(yōu)惠方法購買購買方案二：采用兩種購買方式，用優(yōu)惠方法購買4 4個書包

22、，個書包，需要需要4 420=80(20=80(元元) )，同時獲贈，同時獲贈4 4支水性筆；支水性筆；用優(yōu)惠方法購買用優(yōu)惠方法購買8 8支水性筆，需要支水性筆，需要8 85 590%=36(90%=36(元元) )共需共需80+36=116(80+36=116(元元).).顯然顯然116120116100 x100時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少1010元，元，但售價不得低于但售價不得低于3 5003 500元元/ /個，所以個，所以即即100 x250100250 x250時，購買一個需時，購買一個需3 5003 500元，故元，故y y1 1=3 500 x=3 500 x；所以，所以，若在乙商家購買：若在乙商家購買：