全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題含答案

1、2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題（本大題共 5小題，每小題7分，滿分35分）（1）已知1x +一 =7 ( 0 <x <1),貝U Jx1 一 一的值為（B ） .x(A)-.7(B) -75(C) 77(D) 55= -75.故選(B).又.0:x7(VX1 - L=x + -2 =5 ,.1x=±J5.（2）若關(guān)于x的方程2x2 _3x+m =0的一個(gè)根大于 -2且小于-1,另一個(gè)根大于 2且小于3,則m的取值(C) -9 < m < -5(D) -14<m<-2范圍是(C(A) m 989(B) -14 &

2、lt; m < -8m根據(jù)題意,由根的判別式A=9-8m>0 ,得m <9 .由已知，畫出該二次函數(shù)的大致圖象，觀察圖象,=-2 時(shí)，有 8+6+m>0,即 m>4 ;=一1 時(shí)，有 2+3 +m <0 ,即 m <-5 ;=2 時(shí)，有 86+m<0,即 m<-2;=3時(shí)，有 189+m>0,即 mA9.綜上，-9 <m <-5.故選（C）.（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三個(gè)等長的路段組成,設(shè) y =2x2 -3x + m ,已知一輛汽車在三個(gè)路段上行駛的平均速度分D ).別為Vi , V2 , V3 ,則此輛汽車在這段

3、公路上行駛的平均速度為（111十 +v1v2v3(D)工1(C) Xv(A) M +v2 +v3 3v3-3【解】設(shè)這段公路長為3s,則三個(gè)不同路段的長度均為s,此輛汽車在各路段上行駛的時(shí)間分別為tVi（i =1,2,3 ）,則此輛汽車在這段公路上行駛的平均速度為一 3sv 二t1t2t33s£ ± .上V1V2 V3工1 1V1V2 V3故選（D）.（4）已知邊長為1的正方形ABCD, E為CD邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD邊上沿At Bt Ct E運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x, APE的面積為y ,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（ A ）.【解】由已知，在邊長為 1的正方

4、形ABCD中,如圖，當(dāng)點(diǎn)1P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=x （0<xE1）,，y=，x;2如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),AB+BP=x ,即 BP =x _1 ( 1 Mx M2 ),有 CP =2-x,y =S正方形 ABCD -S ABP S.£CP S. ADE1113=1 (x -1)(2 - x) 1 - = x 1, 'PDECA圖B如圖，當(dāng)點(diǎn) P在線段CE上運(yùn)動(dòng)時(shí),5AB +BC +CP =x ,有 EP = -x1 ,5一 y 二一 ( x) 1 二21-x .2一 5(2 <x <-)2D G PC故選（A）.（5）已知矩形 ABCD中，AB

5、= 72, AD = 56,若將A圖6 * BAB邊72等分，過每個(gè)分點(diǎn)分別作 AD的平行線；將AD邊56等分，過每個(gè)分點(diǎn)分別作 AB的平行線，則這些平行線把整個(gè)矩形分成了邊長為1的72為6個(gè)小正方形.于是，被對(duì)角線 AC從內(nèi)部穿過的小正方形（小正方形內(nèi)部至少有AC上的兩個(gè)點(diǎn)）共有(D ).(A) 130 個(gè)(B) 129 個(gè)(C) 121 個(gè)(D) 120 個(gè)【解】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，使得A(0,0), B(72,0), D(0,56),則 C(72,56).（含 AD與BC）中的每一條都相交,因?yàn)锳C與水平線（含 AB與DC）、豎直線 所以有57 + 73 = 130個(gè)交點(diǎn)（含重

6、合的交點(diǎn)）由表示直線 AC的正比例函數(shù)為 y='x,于是重合的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （9k, 7k） （k = 0, 1, 2,，8）.即9有9個(gè)重合的交點(diǎn).因此共有130-9=121個(gè)彼此不同的交點(diǎn)，它們將對(duì)角線AC分成120段，每段僅穿過1個(gè)小正方形,于是AC共穿過120個(gè)小正方形.故選（D）.二、填空題（本大題共5小題，每小題7分，滿分35分）（6）將一枚骰子擲兩次，若第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 x ,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 y ,則由x , y所確定的點(diǎn)M （x, y）在雙曲線y=6上的概率等于 x1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,

7、2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(7)計(jì)算n 網(wǎng)匹99施工池口9 ( n22的整數(shù))的值等于 100, nnn【解】根號(hào)內(nèi)的被開方數(shù)可化為甲 里 10n 9949 =992(取31) 10nnnnnn二99監(jiān) 10n 10n =102n. n所以：9工百畫函7199fn9 = nWn'=100. nn、n(8)若p是質(zhì)數(shù)，且p +3整除5p

8、,則p2009的末位數(shù)字是2 .【解】當(dāng)p=2時(shí)，p+3=5, 5P =10, 5能整除10;當(dāng)p是奇質(zhì)數(shù)時(shí)，p+3為偶數(shù)，5P為奇數(shù)，而偶數(shù)不能整除奇數(shù)，此時(shí) p不滿足“ p +3整除5P 的條件.2009 -20094、502502綜上，p=2.于 zp=2=(2) 父2=2父16 .由16502的末位數(shù)字是6,所以p2009的末位數(shù)字是2.(9)如圖，四邊形 ABCD 中，/ACB =NBAD =105%【解】如圖，過點(diǎn) A作EA_LAB與BC的延長線交于點(diǎn) E, 則.EAB =90 .ZABC =/ADC =45)若 AB =2 ,則 CD 的長為 2.在 ABC 中，由 ZABC=4

9、5°, ZACB=105°,得 NCAB = 30°.ZEAC =ZEAB -ZCAB =60*., ZBAD =105°,ZDAC =ZDAB -CAB =75°,又/ACE =180°一/ACB =75口,ZDAC =/ACE .又在AACD 中，/ACD=180。NDAC /ADC=60。，/ACD=/EAC. ACEA CAD ,有 CD=AE.而在 RtAABE 中，. /ABC =45口，AE=AB=2,，CD =2.(10)如圖所示，在圓環(huán)的 10個(gè)空格內(nèi)分別填入 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

10、這10個(gè)數(shù)字，將所有相鄰兩個(gè)格子(具有公共邊)內(nèi)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值相加，若使這個(gè)和最大，則此最大值為50.【解】設(shè)相鄰格子內(nèi)的兩數(shù)為a , b,且aAb,則a-b=a-b,共有10個(gè)差，要使這10個(gè)差的和最大，其中10個(gè)被減數(shù)a應(yīng)當(dāng)盡量大，10個(gè)減數(shù)b應(yīng)當(dāng)盡量小，而每個(gè)數(shù)僅與兩個(gè)數(shù)相鄰，所以，將10, 9, 8, 7, 6各當(dāng)作兩次被減數(shù)，5, 4, 3, 2, 1各當(dāng)作兩次減數(shù)，可滿足條件，所以要求的最大值為2(10+9 +8 +7 +6) -2(5 +4 +3 +2 +1) =50 .如圖，是滿足條件的一種填數(shù)字的方法.三、解答題（本大題共（11）（本小題滿分4小題，每小題滿分20分）20

11、分，共80分）已知xy =2 , _xz-=3, yZ =4 , 求 7x+5y_2z 的值.x-y x-z y -z【解】: 旦 =2，.-1 =1 +1 ,x y2 x y111同理一=一十一，3 x z4 y z10分由+-，得2 =1 +1 -1,解得x =蘭.x2347由+-，得2=1_1 ,解得y =注y2435由+-，得2 =1+ 解得z =24.z34220分所以，7x 5y _2z=0.（12）（本小題滿分20分）從一個(gè)等邊三角形（如圖）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個(gè) 小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫

12、出更小的等邊三角形，形成一個(gè)有18個(gè)尖角的圖形（如圖）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三 角形（如圖），繼續(xù)下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數(shù)學(xué)家科赫將雪花理 想化得到的科赫雪花曲線. * * *圖圖圖圖如果設(shè)原等邊三角形邊長為 a,不妨把每一次的作圖變化過程叫做“生長”，例如，第1次生長后，得1圖，每個(gè)小等邊二角形的邊長為-a ,所形成的圖形的周長為 4a.3請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚海ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）第1次 生長后第2次 生長后第3次 生長后第n次 生長后每個(gè)小等邊 三角形的邊長1-a 3所形成的 圖形的周長4a第1次 生長后第2次 生長后第3次 生長后第n次

13、 生長后每個(gè)小等邊 三角形的邊長1 一a 31 -a91 -a 271n (3)a10分20分所形成的 圖形的周長4a16 a364 a9n4Tnn a 3 .(13)(本小題滿分20分) =mn, 九則。=m+n.已知m , n為正整數(shù)，關(guān)于 x的方程x2 -mnx+(m+n) = 0有正整數(shù)解，求【解】設(shè)方程 x2 mnx+(m+n) =0的兩個(gè)根為 a ,n , a , P均為正整數(shù)，不妨設(shè) a > P >1, m > n > 1, a +P HtP =mn _(m +n) .10分即(a _1)件 _1) +(m _1)(n -1) =2 .當(dāng)(a _1)(P1

14、)=2時(shí),(m 1)(n -1)=0,有 n = 1.只有a =3, P=2,此時(shí) 當(dāng)(a -1)(P -1) =1 時(shí)， 只有a =2, P=2,此時(shí)m =5 ;(m -1)(n 1) =1 ,當(dāng)(a1)(P1)=0時(shí)，有 p=1, 得 m =3, n = 2.n =2 ;(m -1)(n -1)=2,所以,m =5, n =1;m =2,或 ；n =2;m =3,或 cn = 2.20分(14)(本小題滿分20分)已知點(diǎn)P是銳角ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且使 PA+ PB+ PC最小，試確定點(diǎn) P的位置，并證明你的結(jié)論.【解】如圖，分別以 AC,BC為邊向外作正 ACB ,正 BCA ,連接BB

15、,AA交于點(diǎn)P ,則點(diǎn)P即為所求.證明如下:易證 BCB'A ACA .有/B'BC =/AA'C .* ' * _ ' /BPA =/BCA =60 .5分d' 、 d_' /APB與/ BPA為對(duì)頂角, /APB, =/BPA' =60 二10分在PB上可截取PD=AP,連接AD,CP ,有 APD為正三角形.易證 APCA ADB ,可得 CP = B D .15分PA + PB + PC = PD + PB + B D = BB 為定值.在 ABC內(nèi)任取一點(diǎn) M （不同于點(diǎn)P）, 連接 MA , MB , MC .將 AMC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60：AC與AB'重合，得 AGB