高考選擇志愿層次分析數(shù)學(xué)建模

1、高考選擇志愿本論文針對(duì)中學(xué)畢業(yè)生填報(bào)高考志愿問題設(shè)計(jì)一個(gè)根據(jù)學(xué)校的和個(gè)人的若干因 素排出各個(gè)大學(xué)志愿的名次模型。 對(duì)于志愿的選擇排名， 我們采用層次分析法給 出各志愿的排名。 用層次分析法， 我們先確定各因素的的權(quán)系數(shù)， 再建立層次機(jī) 構(gòu)模型，最后進(jìn)行層次分析，確定 ABCD四個(gè)志愿的順序。關(guān)鍵詞：層次分析、確定系數(shù)、層次結(jié)構(gòu)模型一、 提出問題建立數(shù)學(xué)模型， 對(duì)各個(gè)高校的志愿進(jìn)行排名。 排名的目的是根據(jù)考慮因素排出各 個(gè)志愿的的一個(gè)順序， 所以說一個(gè)好的排名算法應(yīng)滿足下面的一些基本要求： 保 序性、穩(wěn)定性、對(duì)數(shù)據(jù)可依賴程度給出較為精確的描述。二、 問題重述 某中學(xué)畢業(yè)生填報(bào)高考志愿，要考慮到報(bào)

2、考學(xué)校的名聲譽(yù)、教學(xué)、科研、文體及 教學(xué)環(huán)境， 同時(shí)又要結(jié)合本人的興趣、 考試成績和畢業(yè)后的出路等因素。 在每一 因素內(nèi)還有若干子因素， 如在教學(xué)因素中要考慮到教師的水平、 學(xué)生的水平、 深造條件等?？忌商?A、 B、C、D四個(gè)志愿。ABCD名校自豪感0.80.750. 70.65錄取風(fēng)險(xiǎn)0.70.750.80.85r 、.、八校譽(yù)獎(jiǎng)學(xué)金0.60.80.70.75就業(yè)前景0.80.770.810.75科研成果0.70.650.70.71實(shí)驗(yàn)室水平0.80.810.760.77科研教師論文0.70.650.710.69國家科學(xué)獎(jiǎng)0.80.780.770.81教師水平0.780.790.760.

3、8教學(xué)學(xué)生水平0.80.790.780.79深造條件0.40.20.450.3文體校園文化0.80.790.810.8體育設(shè)施0.650.70.640.65個(gè)人興趣0.780.840.760.77考試成績0.70.750.80.85畢業(yè)出路0.80.770.810.75三、符號(hào)說明AB1B2B3B4B5B6B7C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13CI學(xué)校選擇r 、.、八校譽(yù) 科研 教學(xué) 文體 個(gè)人興趣 考試成績 畢業(yè)出路 名校自豪感 錄取風(fēng)險(xiǎn) 年獎(jiǎng)學(xué)金 就業(yè)前景 科研成果 實(shí)驗(yàn)室水平 教師論文 國家科學(xué)獎(jiǎng) 教師水平 學(xué)生水平 深造條件 校園文化 體育設(shè)施一致性指標(biāo)四、建

4、立模型（一）構(gòu)造考生高考志愿決策諸多因素的遞階層次結(jié)構(gòu)科研教育選擇學(xué)校文體Lr f名錄獎(jiǎng)尸 r就校取學(xué)業(yè)自風(fēng)金刖豪LJ險(xiǎn)Lj旦 景科實(shí)教國研驗(yàn)師家成室論科果水文學(xué)VA丄LJ設(shè)j #j #（二）構(gòu)造成對(duì)比較陣面臨的決策問題是：要比較n個(gè)因素Xi, X2，Xn,對(duì)目標(biāo)A的影響，我們 要確定它們在A中所占的比重，即這n個(gè)因素對(duì)目標(biāo)A的相對(duì)重要性。我們用兩 兩比較的方法將各因素重要性的定性部分?jǐn)?shù)量化。設(shè)有因素xi, X2，Xn每次取兩個(gè)因素XiXj,用正數(shù)aj表示x與Xj的重要 性之比。由全部比較結(jié)果得到矩陣 A= （a。），稱作成對(duì)比較陣 Aai1, 耳2 , aina21 a22, a2naaaa

5、Uni, an 2, anm顯然有a,j-a。0,仁 i, j 乞 n然后求出成對(duì)比較矩陣A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量 丫W(wǎng)yy,y n)T，定義標(biāo)準(zhǔn)化向量j #丫用標(biāo)準(zhǔn)化向量丫來反應(yīng)x JxhX2,x/這n個(gè)因素對(duì)目標(biāo)A的相對(duì)重要性，丫為同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中某個(gè)因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值。(三) 權(quán)向量對(duì)于已知的成對(duì)比較陣 A來說，有A?Y= max Y。由矩陣運(yùn)算法則可知：當(dāng)n較大時(shí)，精確地計(jì)算成對(duì)比較A=(aj)的最大特征值 max和特征向量比較麻煩， 而又由于A中的元素aj是重要性的比值，而重要性是人們根據(jù)目標(biāo)推測出來的， 精確度并不高，所以沒有必要十分精確地計(jì)算出max

6、和特征向量。因此，可以采用下述方法來近似計(jì)算max和相應(yīng)的特征向量對(duì)成對(duì)比較陣A= (aj )，令n二 akj5nn(k -1,2/ ,n),(*)- aji 4 j =1稱U= (U, U2,，U) T為X=X1, X2,，Xn的權(quán)向量，它反映n個(gè)因素 對(duì)目標(biāo)A的相對(duì)重要性。經(jīng)驗(yàn)證，U與丫誤差很小，所以一般都用U代替Y。對(duì)于公式(*)，對(duì)于一致性矩陣，aj =互，即滿足aj ?ak =akyiUk可以簡化為n XjXjXknj #j #nXjj #XiX2n、Xii 4Xn,-n、Xii 二(i =12 ,n).X代表第i項(xiàng)因素的重要性指標(biāo)。五、模型的改進(jìn)與推廣（1）通過上面的分析與計(jì)算，我

7、們已經(jīng)將填報(bào)高考志愿這一問題，由不定性的模糊判斷轉(zhuǎn)化為定量的分析，并最終通過建立數(shù)學(xué)模型，為兩位學(xué)生各選擇 了四所最有希望考上的學(xué)校。但這只是在理想狀況下的結(jié)果，有很多問題還需要 我們在填報(bào)志愿時(shí)進(jìn)行考慮和分析。例如在填報(bào)志愿時(shí)所報(bào)考的學(xué)校一定要拉開 檔次，這樣即使第一志愿學(xué)校沒被錄取上， 在檔次相差較大的第二志愿會(huì)有更大 希望被錄取。我們前面所做出的模型，只是將學(xué)生所選擇的八個(gè)學(xué)校定量地排了 個(gè)名次，所以學(xué)生在填報(bào)志愿時(shí)不能將得分前四名的學(xué)校全填在最前面，最終具體如何報(bào)考還要看學(xué)生當(dāng)時(shí)的實(shí)際情況和側(cè)重點(diǎn)。（2）在前面的數(shù)學(xué)模型中，我并沒有直接訪問高三學(xué)生每兩個(gè)因素之間的 重要性之比（即aj）

8、，而是分別問了他們心目中的每個(gè)因素的重要性指標(biāo)，然后 再用Xi做出矩陣。這樣做是因?yàn)橹苯釉儐柛呷龑W(xué)生每兩個(gè)因素之間的重要性之Xj比比較困難（人們很難馬上將兩個(gè)關(guān)聯(lián)不大的因素用定量化的數(shù)字之比表示出他 們之間的重要性，而用數(shù)字分別表示每個(gè)因素的重要性比較容易）。如果我們直接詢問高三學(xué)生每兩個(gè)因素之間的重要性之比（即a），而將其所構(gòu)成的成對(duì)比較陣就可能會(huì)出現(xiàn)一致性問題。下面簡要說一下關(guān)于一致性問題的解決方法。對(duì)于成對(duì)比較陣A來說，其中的關(guān)系應(yīng)滿足aij ajk = aik 1 _ i, j,k _ n,這樣的成對(duì)比較陣A為一致矩陣。而由于人的思維活動(dòng)的原因，人們用 ay構(gòu)成的成對(duì)比較陣A往往不是一

9、致 矩陣，即ay ajk =aik ,所以在分析X=xi,X2，,x n對(duì)目標(biāo)A的影響時(shí)，必須對(duì) A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。因?yàn)閚階成對(duì)比較陣A是一致矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的最大特征值 韋aX二n，所 以若A不具有一致性，則maX n。于是我們引入一致性指標(biāo)C| _，max（A） _ n。n 1將Cl作為衡量成對(duì)比較陣A不致程度的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng) maX （A）稍大于n時(shí)，稱A 具有滿意的一致性。此外，用這樣的方法定義一致性是不嚴(yán)格的，還要給出量度。令這里 RI 為 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)（查表可得），CR稱為隨機(jī)一致性比率，可以用 CR代替CI 作為一致性檢驗(yàn)的臨界值。當(dāng)CR 0.1時(shí)，就認(rèn)為A有滿意的一致性，否則就必 須重新調(diào)整成對(duì)比較陣A,直到達(dá)到滿意的一致性為止。（3）關(guān)于報(bào)考風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于因素 B5 （報(bào)考風(fēng)險(xiǎn)）使用了正態(tài)分布的方法進(jìn)行 估算，首先調(diào)查學(xué)生Ai, A的平均成績和最高成績，然后調(diào)查出他們所報(bào)學(xué)校在 去年的錄取分?jǐn)?shù)線，最后利用正態(tài)分布計(jì)算出他們報(bào)考的風(fēng)險(xiǎn) （即考上的概率）， 然后按0%-10%己1, 11%-20%己290