多邊形及其內(nèi)角和講義(老師用)

1、第一部分知識(shí)點(diǎn)回顧多邊形內(nèi)角和定翼：由三條或三條以上的線(xiàn)段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。凸多邊形分類(lèi)1 :Y凹多邊形分類(lèi)2: 多邊形 多邊形的定理正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。I非正多邊形：1 1、n邊形的內(nèi)角和等于 180° (n-2)。2、任意凸也多邊形的外角和等于360°。3、n邊形曲角線(xiàn)條數(shù)等于1/2 n (n-3)只用一正多邊形：3、4、6/。鑲嵌 J只用飛非正多邊形(全等)：3、4。知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念拼成360度的角1、多邊形的定義：在同一平面內(nèi)。多邊形的分類(lèi)：不叫三邊形2、鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全

2、覆蓋，通常把這類(lèi)問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360 ° ;相鄰的多邊形有公共邊。3、 常 見(jiàn) 的 一 些 正 多 邊 形 的 鑲 嵌 問(wèn) 題：(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面：只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無(wú)空隙的地板， 用任意相 同 的三角形也可 以鋪滿(mǎn)地面。(3) 用 兩 種 或

3、 兩 種 以 上 的 正 多 邊 形 鑲 嵌 地 面用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問(wèn)題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見(jiàn)下圖：又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿(mǎn)地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)規(guī)律方1 .內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少 .每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180° (反過(guò)來(lái)也成立)，且多邊形的內(nèi)角和必須是 180 ° 的整數(shù)倍2 .多邊形外角和恒

4、等于360° ,與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)3 .多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角 (如矩形)；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少?zèng)] 有 鈍 角4 .在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)問(wèn)題的常用方法5 .在解決多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來(lái)解決.三角形是一種基本圖形，是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.第二部分 經(jīng)典習(xí)題類(lèi)型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的 形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用 程，求出月的值即可，5倍，它是幾邊形？ 總結(jié)升華：本題是多邊 .

5、只要設(shè)出邊數(shù)fi ,根據(jù)條件列出關(guān)于 出的方 這是一種常用的解題思路-2 - / 5【變式1】若個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800【變式2】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為【答案】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為火，【變式3】個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為多邊形對(duì)角線(xiàn),求這個(gè)多邊形的邊數(shù).這個(gè)內(nèi)角1350° ,2750 ° ,求這個(gè)多o公式的運(yùn)用2.某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制(即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽).你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？ 學(xué)科的綜合，解題方法參照多邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)的求法,思路點(diǎn)撥：本題體現(xiàn)與體育 即多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)加總結(jié)

6、升華：對(duì)于其他學(xué)科問(wèn)題要善于把它與數(shù)學(xué)知求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少？啕便于解決.【變式 1A .6舉一個(gè)多邊形共B變 式 2】有 20 條對(duì)7總結(jié)升華：對(duì)于一個(gè)反則C形曲-3)n邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律2 一條,的邊數(shù)n的值代入即可求出對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)類(lèi)型三：可轉(zhuǎn)化為多邊問(wèn)題+/ F 的度數(shù).思路點(diǎn)撥：設(shè)法將這幾個(gè)角轉(zhuǎn)到一個(gè)多邊形中，然后利用邊形內(nèi)角和公式求解.總結(jié)升華：本題通過(guò)作輔助線(xiàn)，把/ A與/的和轉(zhuǎn)化為/ 1與/ 2的和，從而把問(wèn)題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和運(yùn)算,舉【變式1】如圖所示，/1+/2+/-8 -

7、/ 54.如圖，一輛小汽車(chē)從 角P市出發(fā)，先到 B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車(chē)共轉(zhuǎn)了多少度?360總結(jié)升華本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線(xiàn)五出用相同邊長(zhǎng)鑲嵌正多邊形組合鋪滿(mǎn)地題設(shè)計(jì)圖。(2)八 邊 形十 二 邊 形和 正 六 邊 形思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。思路點(diǎn)撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決. 解 讀： 如 圖，總結(jié)升華：旋轉(zhuǎn)的角度是指原來(lái)前進(jìn)的方向與轉(zhuǎn)彎后的 方向的夾角.小汽車(chē)沿任意多邊形行駛一周回到原處，轉(zhuǎn)過(guò)的 角度都舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從 A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15

8、。，再前進(jìn)10m,又向右轉(zhuǎn)15° ,，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)， 一共走了m.【變式2】小華從點(diǎn) A出發(fā)向前走10M ,向右轉(zhuǎn)36° ,然后繼續(xù)向前走 A10M,再向右轉(zhuǎn)36° ,他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn) A 時(shí)共走了多少 M?若不能，寫(xiě)出理由。【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊 AB /CF,CD/AE.按規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說(shuō)明理由思路點(diǎn)撥：本

9、題中將 AB、CD延長(zhǎng)后會(huì)得到一個(gè)五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540° ,又由 AB /CF, CD/AE,可知/ BAE+ ZAEF+ Z EFC=360° ,從540°中減去80°再減去360° ,乘U下/ C的度數(shù)為100° ,所以只需測(cè) / C 的 度 數(shù) 即 可， 同 理 還 可 直 接 測(cè)/ A 的 度 數(shù)60° 、 90° 、 120° 、 135解讀：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角分別是150°。因?yàn)?0 + 2 X 135 = 360 ,所以一個(gè)頂點(diǎn)

10、處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，如圖（1）所示。（2）因?yàn)?0 + 2X150 = 360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖（2）所示。（3）因?yàn)?0 + 2X 90+ 120= 360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、1個(gè)正六邊形和 2個(gè)正方形，如圖 所示?？偨Y(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成 一個(gè)周角”的問(wèn)題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同 的三角形木板；四邊形木板；正五邊 形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中 不能鑲嵌成地板的是（）A、B、C、D、解讀：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形

11、、正六 邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板， 故【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是（）A、4B、5C、6D、8【答案】A（提示：先算出正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2,然后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到第三塊木板的邊數(shù)）7.3多邊形及其內(nèi)角和（請(qǐng)?jiān)?0分鐘內(nèi)完成，按考試要求自己 ）一、選擇題：（每小題3分，共24分）1 .一個(gè)多邊形的外角中，鈍角的個(gè)數(shù)不可能是（）A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .不能作為正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的是（）A.120 B.（10

12、8）° C.144 D.145 °3 .若一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，則一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比不可能是（）A.2:1B.1:1C.5:2D.5:44 .一個(gè)多邊形的內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多有（）A.3 個(gè)B.4個(gè)C.5 個(gè)D.6 個(gè)5 .四邊形中，如果有一組對(duì)角都是直角，那么另一組對(duì)角可能（）A.都是鈍角。B.都是銳角C.是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角D.是一個(gè)銳角、一個(gè)直角6 .若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引10條對(duì)角線(xiàn)，則它是（）A.十三邊形 B.十二邊形C.十一邊形D.十邊形7 .若一個(gè)多邊形共有十四條對(duì)角線(xiàn)，則它是（）A.六邊形 B. 七邊形 C.八邊形 D.九邊

13、形8 .若一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570° ,則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）A.90°B.105C.130°D.120°二、填空題：（每小題3分，共15分）1 .多邊形的內(nèi)角中，最多有 個(gè)直角.2 .從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引 條對(duì)角線(xiàn)，這些對(duì)角線(xiàn)可以將這個(gè)多邊形分成 個(gè)三角形.3 .如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等4 .已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都大于135。，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)最少為 .，一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為9:2,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 5.每個(gè)內(nèi)角都為144°的多邊形為 邊形.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練:（每小題12分，共24分）1 .如圖所示，用火柴桿擺出一系列 三角形圖案，按這種方式擺下去 當(dāng)擺到20層（n=20）時(shí)，需要多少 根火柴？2 . 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于24。，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)四、提高訓(xùn)練：（共15分）一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等 的邊數(shù)（用m,n表示）及n的值.,一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為m:n,其中m,n是互質(zhì)的正整數(shù)，求這個(gè)多邊形五、探索發(fā)現(xiàn):（共18分）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引多少條條