二次函數(shù)和圓的綜合

1、.wd二次函數(shù)與圓的綜合52021濟(jì)南如圖1，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A3，0，B1，0，與y軸相交于點(diǎn)C，O1為ABC的外接圓，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D1求拋物線(xiàn)的解析式；2求cosCAB的值和O1的半徑；3如圖2，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿(mǎn)足BMNBPC，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：1利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；2如答圖1所示，由AOC為等腰直角三角形，確定CAB=45°，從而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定BO1C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長(zhǎng)度；3如答圖

2、2所示，首先利用圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線(xiàn)段BM的長(zhǎng)度；點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)，求出線(xiàn)段BP、BC、PC的長(zhǎng)度；然后利用BMNBPC相似三角形比例線(xiàn)段關(guān)系，求出線(xiàn)段BN和MN的長(zhǎng)度；最后利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)解答：解：1拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A3，0，B1，0，解得a=1，b=4，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2+4x+32由1知，拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C0，3，OC=OA=3，那么AOC為等腰直角三角形，CAB=45°，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答圖1所示，連接

3、O1B、O1C，由圓周角定理得：BO1C=2BAC=90°，BO1C為等腰直角三角形，O1的半徑O1B=BC=3拋物線(xiàn)y=x2+4x+3=x+221，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為2，1，對(duì)稱(chēng)軸為x=2又A3，0，B1，0，可知點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)如答圖2所示，由圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C0，3關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，D4，3又點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，B1，0，M，BM=；在BPC中，B1，0，P2，1，C0，3，由兩點(diǎn)間的距離公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=設(shè)Nx，y，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，解之得，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，或，點(diǎn)評(píng)：此題綜合考察了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待

4、定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，試題難度較大難點(diǎn)在于第3問(wèn)，需要認(rèn)真分析題意，確定符合條件的點(diǎn)N有兩個(gè)，并畫(huà)出草圖；然后尋找線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點(diǎn)N的坐標(biāo)62021遵義拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3a0經(jīng)過(guò)A3，0，B4，1兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C1求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3a0的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；2如圖1，連接AB，在題1中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使PAB是以AB為直角邊的直角三角形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3如圖2，連接AC，E為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)不與A、C重合經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)AB于

5、點(diǎn)F，當(dāng)OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：1根據(jù)A3，0，B4，1兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2從當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°與當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，分別求出符合要求的答案；3根據(jù)當(dāng)OEAB時(shí)，F(xiàn)EO面積最小，得出OM=ME，求出即可解答：解：1拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3a0經(jīng)過(guò)A3，0，B4，1兩點(diǎn)，解得：，y=x2x+3；點(diǎn)C的坐標(biāo)為：0，3；2假設(shè)存在，分兩種情況：當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BMx軸于點(diǎn)

6、M，A3，0，B4，1，AM=BM=1，BAM=45°，DAO=45°，AO=DO，A點(diǎn)坐標(biāo)為3，0，D點(diǎn)的坐標(biāo)為：0，3，直線(xiàn)AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x 23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0不合題意舍去，P點(diǎn)坐標(biāo)為0，3，點(diǎn)P、C、D重合，當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BFy軸于點(diǎn)F，由1得，F(xiàn)B=4，F(xiàn)BA=45°，DBF=45°，DF=4，D點(diǎn)坐標(biāo)為：0，5，B點(diǎn)坐標(biāo)為：4，1，直線(xiàn)BD解析式為：y=

7、kx+b，將B，D分別代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4舍，y=6，P點(diǎn)坐標(biāo)為1，6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：1，6，0，3；3如圖3：作EMAO于M，直線(xiàn)AB的解析式為：y=x3，tanOAC=1，OAC=45°，OAC=OAF=45°，ACAF，SFEO=OE×OF，OE最小時(shí)SFEO最小，OEAC時(shí)OE最小，ACAFOEAFEOM=45°，MO=EM，E在直線(xiàn)CA上，E點(diǎn)坐標(biāo)為x，x+3，x=x+3，解得：x=，E點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函

8、數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這局部考察的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握72021襄陽(yáng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的O'與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，ACCD是O'的切線(xiàn)，AD丄CD于點(diǎn)D，tanCAD=，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)1求證：CAD=CAB；2求拋物線(xiàn)的解析式；判斷拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)E是否在直線(xiàn)CD上，并說(shuō)明理由；3在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形？假設(shè)存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)不寫(xiě)求解過(guò)程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：1

9、連接OC，由CD是O的切線(xiàn)，可得OCCD，那么可證得OCAD，又由OA=OC，那么可證得CAD=CAB；2首先證得CAOBCO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，那么可求得CO，AO，BO的長(zhǎng)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；首先證得FOCFAD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到F的坐標(biāo)，求得直線(xiàn)DC的解析式，然后將拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可求得答案；3根據(jù)題意分別從PABC與PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：1證明：連接OC，CD是O的切線(xiàn)，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=

10、OCA，CAD=CAB；2解：AB是O的直徑，ACB=90°，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO102CO，CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A8，0，B2，0，C0，4，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，c=4，由題意得：，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2x+4；設(shè)直線(xiàn)DC交x軸于點(diǎn)F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，F(xiàn)OCFAD，8BF+5=5BF+10，BF=，F(xiàn)，0；設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y=kx+m，那么，解得：，直線(xiàn)DC的解析式為y=x+4，由y=x2

11、x+4=x+32+得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為3，將E3，代入直線(xiàn)DC的解析式y(tǒng)=x+4中，右邊=×3+4=左邊，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上；3存在，P110，6，P210，36A8，0，C0，4，過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為y=x+4，設(shè)過(guò)點(diǎn)B且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)解析式為：y=x+b，把B2，0代入得b=1，直線(xiàn)PB的解析式為y=x1，解得，舍去，P110，6求P2的方法應(yīng)為過(guò)點(diǎn)A作與BC平行的直線(xiàn)，可求出BC解析式，進(jìn)而求出與之平行的直線(xiàn)的解析式，與求P1同法，可求出x1=8，y1=0舍去；x2=10，y2=36P2的坐標(biāo)10，36點(diǎn)評(píng)：此題考察了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性

12、質(zhì)，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，直角梯形等知識(shí)此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用82021濰坊如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=x+mx3m圖象的頂點(diǎn)為M，圖象交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于D點(diǎn)以AB為直徑作圓，圓心為C定點(diǎn)E的坐標(biāo)為3，0，連接EDm01寫(xiě)出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；2當(dāng)m為何值時(shí)M點(diǎn)在直線(xiàn)ED上？判定此時(shí)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；3當(dāng)m變化時(shí)，用m表示AED的面積S，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論分析：1根據(jù)x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入即可求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；2待定系數(shù)法先求出直線(xiàn)E

13、D的解析式，再根據(jù)切線(xiàn)的判定得出直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；3分當(dāng)0m3時(shí)，當(dāng)m3時(shí)兩種情況討論求得關(guān)于m的函數(shù)解答：解：1令y=0，那么x+mx3m=0，解得x1=m，x2=3m；令x=0，那么y=0+m03m=m故Am，0，B3m，0，D0，m2設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y=kx+b，將E3，0，D0，m代入得：解得，k=，b=m直線(xiàn)ED的解析式為y=mx+m將y=x+mx3m化為頂點(diǎn)式：y=xm2+m頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為m，m代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)在直線(xiàn)DE上連接CD，C為AB中點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為Cm，0OD=，OC=1，CD=2，D點(diǎn)在圓上又OE=3，DE2=OD2+O

14、E2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90°直線(xiàn)ED與C相切3當(dāng)0m3時(shí)，SAED=AEOD=m3mS=m2+m當(dāng)m3時(shí)，SAED=AEOD=mm3即S=m2_ mS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖如右：點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線(xiàn)解析式確實(shí)定，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法注意分析題意分情況討論結(jié)果92021邵陽(yáng)如下圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)A，0，點(diǎn)C0，3，點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)位于點(diǎn)A的右側(cè)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1求ACB的度數(shù)；2拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式；3線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)D，使BOD為等腰三角形？假設(shè)存在，那么求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131專(zhuān)題：綜合題分析：1根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到ACB的度數(shù)2利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求出拋物線(xiàn)的解析式3分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點(diǎn)D的坐標(biāo)解答：解：1以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò) 點(diǎn)C，ACB=90°2AOCCOB，OC2=AOOB