超幾何分布和二項分布的聯(lián)系和區(qū)別

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上超幾何分布和二項分布的聯(lián)系和區(qū)別開灤一中 張智民在最近的幾次考試中,總有半數(shù)的的學(xué)生搞不清二項分布和超幾何分布,二者到底該如何區(qū)分呢?什么時候利用二項分布的公式解決這道概率問題?什么時候用超幾何分布的公式去解決呢?好多學(xué)生查閱各種資料甚至于上網(wǎng)尋找答案,其實這個問題的回答就出現(xiàn)在教材上,人教版新課標(biāo)選修2-3從兩個方面給出了很好的解釋.誠可謂:眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處!一、 兩者的定義是不同的教材中的定義: (一)超幾何分布的定義在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k) =, m,其中m=minM,n,且nN,MN,n

2、,M,NN,稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布(二)獨立重復(fù)試驗和二項分布的定義 1）獨立重復(fù)試驗：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗,且各次試驗試驗的結(jié)果相互獨立,稱為n次獨立重復(fù)試驗,其中A(i=1,2,n)是第次試驗結(jié)果,則 P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2)二項分布 在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P,則P(X=k)=(k=0,1,2,n),此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布,記作XB(n,p),并稱P為成功概率。1.本質(zhì)區(qū)別 (1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,二項分布描述的是放回抽樣問題; (2)超幾何分布中的概率計算

3、實質(zhì)上是古典概型問題;二項分布中的概率計算實質(zhì)上是相互獨立事件的概率問題 2.計算公式 超幾何分布:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k) =, m,二項分布:在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P,則P(X=k)=(k=0,1,2,n),溫馨提示:當(dāng)題目中出現(xiàn)“用樣本數(shù)據(jù)估計XXX的總體數(shù)據(jù)”時,均為二項分布問題。比如2017-2018高三上學(xué)期期末考試19題。二、 二者之間是有聯(lián)系的人教版新課標(biāo)選修2-3第59頁習(xí)題2.2B組第3題：例.某批n件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗,問: (1)當(dāng)n=

4、500,5000,時,分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少? (2)根據(jù)(1)你對超幾何分布與二項分布的關(guān)系有何認(rèn)識?人教版配套的教學(xué)參考上給出了如下的答案與解釋說明【解】(1)在不放回的方式抽取中,每次抽取時都是從這n件產(chǎn)品中抽取,從而抽到次品的概率都為0.02.次品數(shù)XB(3,0.02),恰好抽到1件次品的概率為P(X=1)=×0.02×(1-0.02)2=3×0.02×0.9820.。在不放回的方式抽取中,抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量,X服從超幾何分布,X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)n有關(guān),所以需要分3種情況分別計算n=500時,產(chǎn)品的總

5、數(shù)為500件,其中次品的件數(shù)為500×2%=10,合格品的件數(shù)為490.從500件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為 n=5000時,產(chǎn)品的總數(shù)為5000件,其中次品的件數(shù)為5000×2%=100,合格品的件數(shù)為4900.從5000件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為 n=50000時,產(chǎn)品的總數(shù)為50000件,其中次品的件數(shù)為50000×2%=1000,合格品的件數(shù)為49000.從50000件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概 (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果可以看出,當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時,超幾何分布近似為二項分布.這也是可以理解的,當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)

6、很大而抽出的產(chǎn)品較少時,每次抽出產(chǎn)品后,次品率近似不變,這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨立的,抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項分布【說明】由于數(shù)字比較大,可以利用計算機(jī)或計算器進(jìn)行數(shù)值計算.另外本題目也可以幫助學(xué)生了解超幾何分布和二項分布之間的關(guān)系：第一,n次試驗中,某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布.當(dāng)這n次試驗是獨立重復(fù)試驗時,X服從二項分布;當(dāng)這n次試驗是不放回摸球問題,事件A為摸到某種特性(如某種顏色)的球時,X服從超幾何分布。第二,在不放回n次摸球試驗中,摸到某種顏色的次數(shù)X服從超幾何分布,但是當(dāng)袋子中的球的數(shù)目N很大時,X的分布列近似于二項分布,并且隨著N的

7、增加,這種近似的精度也增加。從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系:當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時,在有放回地抽取與無放回地抽取條件下,計算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項分布下面看相關(guān)例題例1.(2016·漯河模擬)寒假期間,我市某校學(xué)生會組織部分同學(xué),用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉),若幸福度分?jǐn)?shù)不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“幸?！?(1)求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人為“幸?！钡母怕?；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計

8、整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望先不要急于看答案,大家先自己解一下這道題再往下看,會有意想不到的收獲哦錯解(1)由莖葉圖可知,抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人,其他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“幸福”,”為事件A.由題意得（2）的可能取值為0，1，2，3則；所以的分布列為錯解分析第二問的選人問題是不放回抽樣問題,按照定義先考慮超幾何分布,但是題目中又明確給出:“以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人”,說明不是從16人中任選3人,而是從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,所

9、以可以近似看作是3次獨立重復(fù)試驗,應(yīng)該按照二項分布去求解,而不能按照超幾何分布去處理【正解】(1) (1)由莖葉圖可知,抽取的16人中“幸福”的人數(shù)有12人,其他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“幸?！?”為事件A.由題意得2)由莖葉圖知任選一人,該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿椋目赡苋≈禐?,1,2,3,顯然則； 從以上解題過程中我們還發(fā)現(xiàn),錯解中的期望值與正解中的期望值相等,好多學(xué)生都覺得不可思議,怎么會出現(xiàn)相同的結(jié)果呢?其實這還是由于前面解釋過的原因,超幾何分布與二項分布是有聯(lián)系的,看它們的期望公式： (1)在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,隨機(jī)變

10、量服從超幾何分布,超幾何分布的期望計算公式為EX=(可以根據(jù)組合數(shù)公式以及期望的定義推導(dǎo));(2)隨機(jī)變量X服從二項分布,記作XB(n,p), EX=np; 當(dāng)超幾何分布中的時,此時可以把超幾何分布中的不放回抽樣問題,近似看作是有放回抽樣問題,再次說明時,可以把超幾何分布看作是二項分布。總結(jié)：綜上可知,當(dāng)提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項分布。高考解題中,我們還是要分清超幾何分布與二項分布的區(qū)別,以便能正確的解題,拿到滿分。相信各位同學(xué)們手中都應(yīng)該有歷年真題卷和2018的模擬試卷吧,快去找?guī)椎蓝椃植己统瑤缀畏植嫉母怕蚀箢}試試吧,爭取概率滿分，加油！再比如： 18.(本小題滿分

11、12分)（百所名校高考模擬金典卷五） 為了調(diào)查觀眾對某電視娛樂節(jié)目的喜愛程度,某人在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾做問卷調(diào)查(滿分100分),現(xiàn)將結(jié)果統(tǒng)計如下圖所示 (1)計算甲、乙兩地被抽取的觀眾的問卷得分的平均分以及方差,并根據(jù)統(tǒng)計知識簡單說明麗甲、乙兩地觀眾對該電視娛樂節(jié)目的喜愛程度; (2)以頻率估計概率,若從甲地觀眾中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,記問卷分?jǐn)?shù)超過80分的人數(shù)為E,求的分布列與數(shù)學(xué)期望 請看原題答案，居然是錯解：正解：（1）同上。（2）因為題中說：以頻率估計概率,即以該頻率來估計甲地區(qū)的整體情況，“若從甲地觀眾中再隨機(jī)抽取3人”即時強(qiáng)有力的證據(jù)，所以此題應(yīng)為二項分布，而非

12、超幾何分布。超過80分的頻率為，即概率p=，的可能取值為0,1,2,3，；所以X的分布列為X0123PE（X）=np=。而下面這道題，就應(yīng)該是超幾何分布啦！18.(本小題滿分12分)（2018石家莊質(zhì)檢一）某學(xué)校為了解高三復(fù)習(xí)效果,從高三第一學(xué)期期中考試成績中隨機(jī)抽取50名考生的數(shù)學(xué)成績,分成6組制成頻率分布直方圖如圖所示:(1)求m的值;并且計算這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)()該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計劃,從成績在130,150的同學(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談,記成績在140,150的同學(xué)人數(shù)為,寫出的分布列,并求出期望。 18. 解（）由題 解得 3分 6分 （）成績在的同學(xué)人數(shù)為6，

13、,在的同學(xué)人數(shù)為4，從而的可能取值為0,1,2，3， ， 所以的分布列為0123 10分 12分18.(本小題滿分12分)（2018百所名校示范卷五） “共享單車”是城市慢行系統(tǒng)的一種模一A城市 B城市式創(chuàng)新,對于解決民眾出行“最后一公1公里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價格低廉,各種共享單車受到人們的 熱捧.某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵的A城市和交通嚴(yán)重?fù)矶碌腂城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,若評分不低于80分,則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“認(rèn)可”,否則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“不認(rèn)可”,并繪制出莖葉圖如圖。 (1)請根據(jù)此樣本完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否能在犯錯的概率不超過10%的情況下認(rèn)為交通擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān); (2)若以A城抽取的這20個用戶的樣本數(shù)據(jù)來估計整個A城的總體數(shù)據(jù),現(xiàn)從A城任選3名用戶,記X表示抽到用戶為對此種交通方式“認(rèn)可”的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 參考公式:其中n=a