清華第五版數(shù)值分析第二章課件

1、上頁上頁下頁下頁 1. 函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計(jì)算，且又需函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計(jì)算，且又需要計(jì)算眾多點(diǎn)處的函數(shù)值；要計(jì)算眾多點(diǎn)處的函數(shù)值； 2. 已知由實(shí)驗(yàn)（測量）得到的某一函數(shù)已知由實(shí)驗(yàn)（測量）得到的某一函數(shù) y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b中互異的中互異的n+1個個xi ( i=0, 1, . ,n)處的值處的值yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 須知道其他點(diǎn)的值。須知道其他點(diǎn)的值。需要構(gòu)造一個需要構(gòu)造一個簡單易算的函數(shù)簡單易算的函數(shù)P(x)作為作為y=f(x)的近的近似表達(dá)式似表達(dá)式 第第2章章 插插 值值 法法必要性必要性上頁上頁下頁下頁x0 x1x2x3x4xP(x)

2、 f(x)f(x) y=f(x)P(x) , 使得使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ., n) 其它點(diǎn)其它點(diǎn) P(x) f(x) = y 這類問題就稱為這類問題就稱為插值問題插值問題， P(x)稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)， P(x)一般取最簡單又便于計(jì)算得函數(shù)。（多項(xiàng)式，一般取最簡單又便于計(jì)算得函數(shù)。（多項(xiàng)式，三角函數(shù)，分段多項(xiàng)式等）三角函數(shù)，分段多項(xiàng)式等）上頁上頁下頁下頁2.1.1 插值問題插值問題 設(shè)設(shè) y= f(x) 是區(qū)間是區(qū)間a , b 上的一個實(shí)函數(shù)上的一個實(shí)函數(shù), xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1個互異實(shí)數(shù)個互異實(shí)數(shù),已知已知 y=f

3、(x) 在在 xi 的的值值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一個求一個次數(shù)不超過次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式Pn(x)使其滿足使其滿足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (5-1)這就是這就是多項(xiàng)式插值問題多項(xiàng)式插值問題.2.1 引言引言上頁上頁下頁下頁其中其中Pn(x) 稱為稱為 f(x) 的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式, f(x) 稱為稱為被插函被插函數(shù)數(shù), xi(i=0,1, .,n)稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn), (xi, yi) (i=0,1, ,n) 稱為稱為插值點(diǎn)插值點(diǎn), a,b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間, 式式(5-1)稱為稱為插值條件插值條件。 從幾何

4、意義來看從幾何意義來看,上上述問題就是要求一條多述問題就是要求一條多項(xiàng)式曲線項(xiàng)式曲線 y=Pn(x), 使它使它通過已知的通過已知的n+1個點(diǎn)個點(diǎn)(xi,yi) (i=0,1, ,n),并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x).上頁上頁下頁下頁即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中其中ai為實(shí)數(shù)，就稱為實(shí)數(shù)，就稱P(x) 為為 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插，相應(yīng)的插值法稱為值法稱為多項(xiàng)式插值。多項(xiàng)式插值。上頁上頁下頁下頁問題 1.多項(xiàng)式是否存在？ 2.若存在，是否唯一？ 3.誤差是多少？ 4.若存在唯一，如何構(gòu)造？上頁上頁下頁下頁定理定理1 設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn) xi (i=0,

5、1, ,n)互異互異, 則則滿足插值條件滿足插值條件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次數(shù)不超過的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)的多項(xiàng) 式存在且唯一式存在且唯一.證證 設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn則由插值條件式則由插值條件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得可得關(guān)于系數(shù)關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , ,an的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組 插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性上頁上頁下頁下頁 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程組有此方程組有n+1個方程

6、個方程, n+1個未知數(shù)個未知數(shù), 其系數(shù)行列式是其系數(shù)行列式是范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式：20002111211()01nnjij innnnxxxxxxxxxxx 由克萊姆法則知方程組由克萊姆法則知方程組 (5-3) 的解存在唯一的解存在唯一. 證畢。證畢。 上頁上頁下頁下頁 定理定理2 設(shè)設(shè) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a ,b上存在上存在 n+1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), xi a, b (i=0,1, , n) 為為 n+1個互異節(jié)點(diǎn)個互異節(jié)點(diǎn), 則對任何則對任何x a ,b, 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xP xxn 誤差誤差

7、( , )a b 且與且與x有關(guān)有關(guān))10( )()nniixxx 其其中中上頁上頁下頁下頁證證 由插值條件和由插值條件和 n+1(x) 的定義的定義, 當(dāng)當(dāng)x=xk 時時 , 式子顯式子顯然成立然成立, 并且有并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 這表明這表明x0 , x1, , xn 都是函數(shù)都是函數(shù) n+1(x) 的零點(diǎn)的零點(diǎn), 從而從而 n+1(x) 可表示為可表示為 1( )( )( )( )( )nntf tP tK xt 1( )( )( )( )( )nnnRxf xP xK xx 其中其中K(x)是是待定函數(shù)待定函數(shù)。 對于對于任意固定的任意固定的x a,b,

8、 x xk ,構(gòu)造自變量構(gòu)造自變量 t 的輔的輔助函數(shù)助函數(shù)上頁上頁下頁下頁1( )( )( )( )( )nntf tP tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Pn(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xP xK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn 和和 x 是是 (t) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的 n+2個個互異零點(diǎn)互異零點(diǎn), 因此根據(jù)羅爾因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) = (x) (a,b),使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)1( )

9、( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xP xxn 所以所以上頁上頁下頁下頁Lagrange法法1736- -1813 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值上頁上頁下頁下頁0 01 10( )( )( )( )( )nnn ni iiLxy lxy l xy lxy l x 可知其滿足可知其滿足2.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式利用拉格朗日基函數(shù)利用拉格朗日基函數(shù)l i(x), 構(gòu)造次數(shù)構(gòu)造次數(shù)不超過不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式njyxLjjn, 1 , 0)( )()(xLxPnn 稱為稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式,再再由插值多項(xiàng)式的唯一性由插值多項(xiàng)式的唯一性

10、,得得 特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) n =1時又叫時又叫線性插值線性插值,其幾何意義為其幾何意義為過兩點(diǎn)的直線過兩點(diǎn)的直線. 當(dāng)當(dāng) n =2時又叫時又叫拋物（線）插值拋物（線）插值, 其幾其幾何意義為過三點(diǎn)的拋物線何意義為過三點(diǎn)的拋物線.上頁上頁下頁下頁1)(0 niixl注意注意 :(1) 對于插值節(jié)點(diǎn)對于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異只要求它們互異,與大小次序無關(guān)與大小次序無關(guān); 以以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn), 函數(shù)函數(shù) f(x) 1作插值多作插值多項(xiàng)式項(xiàng)式, 由插值多項(xiàng)式的唯一性即得由插值多項(xiàng)式的唯一性即得基函數(shù)的一個性質(zhì)基函數(shù)的一個性質(zhì)(2) 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x)

11、 僅由插值節(jié)點(diǎn)僅由插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n)確定確定, 與被插函數(shù)與被插函數(shù) f(x)無關(guān)無關(guān);(3) 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x) 的順序與的順序與插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n) 的順序一致的順序一致.上頁上頁下頁下頁1)(0 niixl這是因?yàn)槿羧∵@是因?yàn)槿羧?(x)=xk (k=0,1,n),由插值多項(xiàng)式的唯由插值多項(xiàng)式的唯一性有一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特別當(dāng)特別當(dāng)k=0k=0時時, ,就得到就得到上頁上頁下頁下頁所以所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(

12、9)3(4)55L xy lxy lxxx 1137(7)2.65L01,4,9,yx xx 7例例1 已知已知 用線性插值用線性插值(即一次插即一次插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式)求求 的近似值。的近似值。012,3,yy 基函數(shù)分別為基函數(shù)分別為:解解插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為23(9)(4)55xx 1(6)5x( )上頁上頁下頁下頁4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(

13、1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6), (4,3)的拋物線插值的拋物線插值(即即三次插值多項(xiàng)式三次插值多項(xiàng)式).解解 以以以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)分別為分別為:上頁上頁下頁下頁)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43

14、)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()則拉格朗日則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為的三次插值多項(xiàng)式為上頁上頁下頁下頁 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差Rn(x)=f (x) - -Ln(x)也稱為也稱為n n次次LagrangeLagrange插插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理拉格朗日余項(xiàng)定理。(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 2.2.3 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)( , )a b 且與且與x有關(guān)有關(guān))10( )()nniixxx 其其中中上頁上頁下頁下頁),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn 或或),(,

15、 )(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 。其中：其中：)(max)1(1xfMnbxan niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 上頁上頁下頁下頁25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy)45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx15. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的拋物插值多

16、項(xiàng)式的拋物插值多項(xiàng)式,且計(jì)算且計(jì)算f (3)的近似值并估計(jì)誤差。的近似值并估計(jì)誤差。例例3 設(shè)設(shè)解解 插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為上頁上頁下頁下頁,6)(4xxf 83| )2(| )(|max4, 23 fxfMx21 3|(3)| |(3)(3)|(32)(32.5)(34)|6 80.03125RfL 因?yàn)橐驗(yàn)楣使蕓 )4)(5 . 2)(2( |8361| )4)(5 . 2)(2( |!3| )(|33 xxxxxxMxR325. 0)3()3(2 Lf于是于是上頁上頁下頁下頁用二次插值計(jì)算用二次插值計(jì)算ln11.25ln11.25的近似值的近似值, ,并估計(jì)誤差并估計(jì)誤差. .例例4

17、給定函數(shù)表給定函數(shù)表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解解 取節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)x x0 0=10,x=10,x1 1=11,x=11,x2 2=12,=12,作二次插值有作二次插值有302585. 2)1210)(1110()1225.11)(1125.11( 397895. 2)1211)(1011()1225.11)(1025.11( 484907. 2)1112)(1012()1125.11)(1025.11( 420426. 2 ln11.25ln11.25 L L2 2(11.25)(11.25)上頁上頁下頁下頁在區(qū)間在區(qū)間10,121

18、0,12上上lnx lnx 的三階導(dǎo)數(shù)的上限的三階導(dǎo)數(shù)的上限M M3 3=0.002,=0.002,可得誤差估計(jì)式可得誤差估計(jì)式00007. 0| )1225.11)(1125.11)(1025.11( |! 3)25.11(32 MR實(shí)際上實(shí)際上,ln11.25=2.420368,ln11.25=2.420368, |R |R2 2(11.25)|=0.000058.(11.25)|=0.000058.上頁上頁下頁下頁2.3.1 均差及其基本性質(zhì)均差及其基本性質(zhì)定義定義1 稱稱100110()(),f xf xf xxxx為為 f (x)在在x0、x1點(diǎn)的點(diǎn)的一階均差一階均差.一階均差的均差

19、一階均差的均差(差商差商)120101220 ,f x xf x xf x x xxx稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)在在x0、x1 、x2 點(diǎn)的點(diǎn)的二階均差二階均差.英英1642-1727 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式上頁上頁下頁下頁一般地，一般地，n-1階均差的均差階均差的均差1101010 , , , ,nnnnnf xxxf xxf x xxxx 稱為稱為f (x)在在x0 , x1 , , xn點(diǎn)的點(diǎn)的 n 階均差階均差。 一般一般f(xi) 稱為稱為f(x) 在在xi點(diǎn)的點(diǎn)的零階均差零階均差，記作，記作fxi。上頁上頁下頁下頁 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfx

20、xxf011010)()()()(,它表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)它表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 性質(zhì)性質(zhì)1 均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為稱之為均差的對稱性（也稱為對稱性質(zhì)）均差的對稱性（也稱為對稱性質(zhì)）。上頁上頁下頁下頁性質(zhì)性質(zhì)2 n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式f(x)的的k階階差商差商, ,當(dāng)當(dāng)k n時是一個時是一個n- -k次多次多項(xiàng)式項(xiàng)式; ;當(dāng)當(dāng)kn時恒等于時恒等于0.性質(zhì)性質(zhì)3 若若f(x)在在a,b上

21、存在上存在n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)且節(jié)點(diǎn)x0 , x1 , xna,b ,則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn) a, b 滿足下式滿足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f (x)=6x8+7x510, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.上頁上頁下頁下頁2.3.2 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式設(shè)設(shè)x是是a，b上一點(diǎn)，由一階均差定義得上一點(diǎn)，由一階均差定義得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二階均差定義同理，由二階均差定義)(,110100 xxxx

22、xfxxfxxf 如此繼續(xù)下去，可得一系列等式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得得得上頁上頁下頁下頁01010 , ,()nnnnf x xxf x xxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf

23、 xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx上頁上頁下頁下頁00100101001001201012012( )() ,() ,()()() ,() ,()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xx xf x x xx xx xf xf x xx xf x x xx xx xf x x x xx xx xx xN xR x 00100120101010011( )( ) , () , ,()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkN xf xf x x x xf x x xx xx xf x xxx xx

24、xf xf x xxx 其中其中00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx 上頁上頁下頁下頁( )( )( )nnf xN xR x 可見可見, Nn(x)為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 滿足插值條件滿足插值條件, 故其為插值問題的解故其為插值問題的解, Nn(x)稱為稱為牛頓牛頓插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式。001001201001( )( ) , () , ,()() ,()()nnnN xf xf x xx xf x x xx xx xf

25、xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)稱為稱為牛頓型插值余項(xiàng)牛頓型插值余項(xiàng)。上頁上頁下頁下頁由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式是等價的是等價的,即即 Ln(x) Nn(x)且有如下且有如下遞推形式遞推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和和余項(xiàng)公式余項(xiàng)公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性質(zhì)由此即得性質(zhì)3。上頁上頁下頁下頁xk f(xk)一階均差一階均差 二階均差二階均差三階均差三階均差

26、 四階均差四階均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例例1 已知已知f(x)=shx的數(shù)表的數(shù)表,求二次牛頓插值多項(xiàng)式求二次牛頓插值多項(xiàng)式,并由并由 此計(jì)算此計(jì)算f(0.596)的近似值。的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得過前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為由上表可得過前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為上頁上頁下頁下

27、頁632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf又又1970. 0,3210 xxxxf可得過前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式可得過前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN故故6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截?cái)嗾`差的截?cái)嗾`差631034. 0)596. 0( R0344. 0

28、,40 xxf上頁上頁下頁下頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在等距節(jié)點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上的函數(shù)值為的函數(shù)值為fi=f(xi)(h為為步長步長)定義定義2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1分別稱為函數(shù)分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi處的處的一階向前差分一階向前差分和和一階向一階向后差分后差分。 一般地一般地, f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) xi 處的處的 m 階向前差分階向前差分和和 m 階向階向后差分后差分分別為分別為 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi - m-1fi-12.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值差分與等距節(jié)點(diǎn)插值2.4.

29、1 差分及其性質(zhì)差分及其性質(zhì)上頁上頁下頁下頁函數(shù)值函數(shù)值一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分四階差分四階差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3)f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4). 4f0 ( 4f4) .構(gòu)造構(gòu)造差分表差分表5-2上頁上頁下頁下頁容易證明，差分有如下容易證明，差分有如下基本性質(zhì)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 各階差分均可用函數(shù)值表示各階差分均可用函數(shù)值表示. 即即jinjnnjjinn

30、ninnininfcfcfcff 011) 1() 1(jijnnjjninnniniinfcfcfcff 011) 1() 1(且有等式且有等式 nfi= nfi+n .上頁上頁下頁下頁性質(zhì)性質(zhì)3 均差與差分的關(guān)系式為均差與差分的關(guān)系式為111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h 性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)值均可用各階差分表示函數(shù)值均可用各階差分表示. 即即injjjninnniniinfcfcfcff 01(可由數(shù)學(xué)歸納法證明可由數(shù)學(xué)歸納法證明)且有差分與微商的關(guān)系式為且有差分與微商的關(guān)系式為),()()(nkknnnnxxfhf 上頁上頁下頁下頁代入

31、牛頓插值公式代入牛頓插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn稱為稱為牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式，其，其余項(xiàng)余項(xiàng)為為),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要計(jì)算如果要計(jì)算 x0附近附近點(diǎn)點(diǎn) x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t n)2.4.2 等距節(jié)點(diǎn)差值公式等距節(jié)點(diǎn)差值公式上頁上頁下頁下頁 類似地類似地, 若計(jì)算若計(jì)算 xn 附近的函數(shù)值附近的函數(shù)值 f(x), 可

32、令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得，可得牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其及其余項(xiàng)余項(xiàng)上頁上頁下頁下頁例例2 設(shè)設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多項(xiàng)用三次插值多項(xiàng) 式求式求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下:xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分

33、四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146上頁上頁下頁下頁求求f(1.2)用用牛頓前插公式牛頓前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差

34、分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146上頁上頁下頁下頁求求f(2.8)用用牛頓后插公式牛頓后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得t= -0.43(2.8)(2.8)fN xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.

35、76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.481463.1096220.08554 7.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2! 1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.4 2)15.76808723! 求求f(1.8)呢呢?上頁上頁下頁下頁2.5.1 三次埃爾米特插值多項(xiàng)式三次埃爾米特插值多項(xiàng)式 設(shè)設(shè) y=f(x)是區(qū)間是區(qū)間a, b上的實(shí)函數(shù)上的實(shí)函數(shù), x0, x1 是是a, b上相異兩點(diǎn)上相異兩點(diǎn), 且且 x0 x1, y=f (x) 在在xi上的函數(shù)值和一階導(dǎo)

36、數(shù)值分別為上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為 yi=f (xi) (i=0,1)和和mi = f (xi) (i=0,1), 求三次多項(xiàng)式求三次多項(xiàng)式 H3(x), 使其使其滿足：滿足：33()(0,1)()iiiiHxyiHxm H3(x)稱為稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。法法1822 -1901 2.5 埃爾米特埃爾米特(Hermite)插值插值上頁上頁下頁下頁構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下:定理定理3 滿足條件式滿足條件式 的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxm i

37、 300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 條條 件件函函 數(shù)數(shù)函數(shù)值函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001上頁上頁下頁下頁由由0)()(1010 xx 可將它寫成可將它寫成2100)()(xxxxbax 21000)(11)(xxax ，得，得由由 ，所所以以）（，得得再再由由3100020)(xxbx 21010100)(21)(xxxxxxxxx 20101011)(21)(xxxxxxxxx ）（將將同同理理10 xx 上頁上頁下頁下頁，可可令令同同樣樣由由0)()()(101000 x

38、xx 2100)()(xxxxcx ，再再由由1)(00 x 210)(1xxc 得得,)()(210100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 上頁上頁下頁下頁210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2201000022101111( )12 ( ) ( )( )()( )( )12 ( ) ( )( )()( )xlx lxxxx lxxlx lxxxx lx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011xxxxxxxxx 即即)(),(10 xlxl插值點(diǎn)的插值點(diǎn)的Lagrange),(),(110

39、0yxyx為為以以一次基函數(shù)一次基函數(shù). 上頁上頁下頁下頁可得滿足條件的可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為為300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 220011011001011022010011011012()12()()()()()xxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxm xxm xxxxxx 上頁上頁下頁下頁定理定理4 設(shè)設(shè)f(x)在包含在包含x0、x1的區(qū)間的區(qū)間a,b內(nèi)存在四階內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)xa,b時有時有余項(xiàng)余項(xiàng)(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfx xx x 設(shè)

40、設(shè))(max)4(410 xfMxxx 則當(dāng)則當(dāng)x(x0 , x1)時時,余項(xiàng)有如下估計(jì)式（余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限誤差限）443384)(hMxR 2.5.2 誤差估計(jì)誤差估計(jì)( , )a b 且與且與x有關(guān)有關(guān))上頁上頁下頁下頁例例2 已知已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用埃爾用埃爾米特插值公式計(jì)算米特插值公式計(jì)算1251/2的近似值的近似值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差并估計(jì)其截?cái)嗾`差. x121144 f(x)1112 f (x)1/22 1/24解解23121144( )1112144121121144xxHx 2144121121212114414412

41、1xx2112114422144121121144xx 2114412124121144144121xx 上頁上頁下頁下頁得得3125(125)11.18035H由由2/7)4(1615)(xxf 可求得可求得223323151(125)419384 1615190.000012384 12111R 2233322221112( )2219144265212123231112114414412122 2324 23H xxxxxxxxx 上頁上頁下頁下頁2.6 分段低次插值分段低次插值先看下面的例子先看下面的例子 對對(x)=(1+25x2)-1,在區(qū)間在區(qū)間-1,1上取等距節(jié)點(diǎn)上取等距節(jié)點(diǎn)

42、xi=- -1+ih, i=0,1,10,h=0.2,作作(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)關(guān)于節(jié)點(diǎn) xi(i=0,1,10)的的10次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 L10(x), 如圖所示如圖所示上頁上頁下頁下頁xyo1-10.511.522511yy=L10(x)這個現(xiàn)象被稱為這個現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象現(xiàn)象. 表明高次插值的不穩(wěn)定性表明高次插值的不穩(wěn)定性. 實(shí)際上實(shí)際上, 很少采用高于很少采用高于7次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式.上頁上頁下頁下頁2.6.1 分段線性插值分段線性插值01()(0,1,., ),iinyf xin axxxb 已已知知求一個分段函數(shù)求一個分段函數(shù)P(x), 使其滿足使其滿足: P(xi

43、)=yi (i=0,1, ., n); 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi，xi+1 上是線性函數(shù)上是線性函數(shù).稱滿足上述條件的函數(shù)稱滿足上述條件的函數(shù)P(x)(1)為為分段線性插值函數(shù)分段線性插值函數(shù).上頁上頁下頁下頁),.,1 , 0)(nixfyii分別作線性插值得分別作線性插值得,在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi，xi+1已知已知11111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiixxxxP xyyxx xxxxxin 1111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiiixxxxP xyyxx xhhhxxin 或或上頁上頁下頁下頁由線性插值的誤差即得分段線性插值在區(qū)間由線性插值的誤差即得分段線

44、性插值在區(qū)間xi, xi+1上的上的余項(xiàng)估計(jì)式余項(xiàng)估計(jì)式為為1122( )()()()()2!max()max()88iiiiixxxaxbff xP xxxxxhhfxfx 201max,max()iinaxbhhMfx 因此因此,在插值區(qū)間在插值區(qū)間a,b上有余項(xiàng)上有余項(xiàng)22()(), , 8hf xP xMxa b 上頁上頁下頁下頁2.6.2 分段拋物線插值分段拋物線插值(2) 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi-1, xi+1 上，上，L(x)是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過2的的 多項(xiàng)式多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)稱滿足上述條件的函數(shù)L(x)為為分段拋物線插值函數(shù)分段拋物線插值函數(shù). L(xi)=

45、yi (i=0,1, ., n);對對01naxxxb 求一個分段函數(shù)求一個分段函數(shù)L(x), 使其滿足使其滿足:即將區(qū)間即將區(qū)間a, b分為小區(qū)間分為小區(qū)間xi-1, xi+1 (i=1,2, ,n)上頁上頁下頁下頁2.6.3 分段三次分段三次Hermite插值插值(),()(0,1, ),iiiiyf xmfxin 已知已知01naxxxb 求一個分段函數(shù)求一個分段函數(shù)H(x), 使其滿足使其滿足:(2) 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間xi, xi+1 上，上，H(x)是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過3的的 多項(xiàng)式多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)稱滿足上述條件的函數(shù)H(x)為為分段三次分段三次Hermite

46、插值插值函數(shù)函數(shù).(1)(),()(0,1, ),iiiiH xyHxmin 上頁上頁下頁下頁2211122111( )1 2()1 2()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxH xyyhhhhxxxxm xxmxxhh 22111332211122( )1 2()()1 2()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiyyH xxxxxxxxxhhmmxxxxxxxxhh 1(0,1,1)iiihxxin 或或xi，xi+1上上(),()(0,1, ),iiiiyf xmfxin 得在每個子區(qū)間得在每個子區(qū)間由由上頁上頁下頁下頁分段三次埃爾米特插值在

47、區(qū)間分段三次埃爾米特插值在區(qū)間xi, xi+1上的上的余項(xiàng)估計(jì)式余項(xiàng)估計(jì)式為為1(4)2214(4)1( )( )( )() ()4!max( ) ,384iiiiiiixxxff xH xxxxxhfxxxx 因此，因此，在插值區(qū)間在插值區(qū)間a, b上有余項(xiàng)上有余項(xiàng)44()(), , 384hf xH xMxa b (4)401max,max()iinaxbhhMfx 上頁上頁下頁下頁例例3 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx在在1x10上的數(shù)表上的數(shù)表, 應(yīng)如何應(yīng)如何選取步長選取步長h,才能使利用數(shù)表進(jìn)行分段插值時誤差不才能使利用數(shù)表進(jìn)行分段插值時誤差不超過超過0.510-4 。解解2211

48、01( ),max( )1.xfxMfxx 欲使欲使2241101( )( )max( )10882xhhf xP xfx 即進(jìn)行分段線性插值時，應(yīng)取即進(jìn)行分段線性插值時，應(yīng)取h210-2，誤差不，誤差不超過超過0.510-4。22 10h 得得上頁上頁下頁下頁(4)(4)441106( ),max( )6.xfxMfxx 欲使欲使44(4)41101( )( )max( )10384642xhhf xH xfx 142 210h 得得即進(jìn)行分段三次埃爾米特插值時即進(jìn)行分段三次埃爾米特插值時,應(yīng)取應(yīng)取誤差不超過誤差不超過0.510-4 。142 210h 上頁上頁下頁下頁2.7.1 問題的提出

49、問題的提出定義定義 給定區(qū)間給定區(qū)間a,b的一個劃分的一個劃分 a=x0 x1xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函數(shù)如果函數(shù)S(x)滿足：滿足： S(xi )=yi (i=0,1,n); 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次數(shù)不超上是次數(shù)不超過過3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式;(3) 在每個內(nèi)節(jié)點(diǎn)在每個內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi (i=1,2,.,n-1)上具有上具有二階連續(xù)導(dǎo)二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)數(shù), 則稱則稱 S(x) 為關(guān)于上述劃分的一個為關(guān)于上述劃分的一個三次多項(xiàng)式樣三次多項(xiàng)式樣條條 函數(shù)函數(shù)，簡稱，簡稱三次樣條三次樣條。2.7 三次樣條插值三次樣條插值上頁上頁下

50、頁下頁 S(x)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi , xi+1上是一個次數(shù)不超過上是一個次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式, 因此需確定因此需確定四個待定常數(shù)四個待定常數(shù), 一共有一共有n個小個小區(qū)間區(qū)間,故應(yīng)故應(yīng)確定確定4n個系數(shù)個系數(shù), S(x)在在n-1個內(nèi)節(jié)點(diǎn)上個內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)滿足條件二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)滿足條件)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii即有即有3n-3個連續(xù)條件，再加上個連續(xù)條件，再加上S(x) 滿足的插值條件滿足的插值條件n+1個，共計(jì)個，共計(jì)4n-2個，因此還需要個，因此還需要2個條件才能確定個條件才能確

51、定S(x)，通常補(bǔ)充兩個，通常補(bǔ)充兩個邊界條件邊界條件。上頁上頁下頁下頁2.7.2 三彎矩方程三彎矩方程Mi來求來求S(x)的方法稱為的方法稱為三彎矩法三彎矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 為參數(shù)為參數(shù),這種通過這種通過確定確定設(shè)設(shè)iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在在xi , xi+1上是一次多項(xiàng)式上是一次多項(xiàng)式, 且可表示為且可表示為 )(xS 對對 積分兩次并利用積分兩次并利用S(xi)=yi和和S(xi+1)=yi+1定出積定出積分常數(shù)得分常數(shù)得)(xS 321112111()()( )()666() , (0,1,1)6iiiiiiiiiiiiiiiix

52、xxxM hxxS xMMyhhhM hyxx xin hxxi 上頁上頁下頁下頁321112111()()( )()666() , (0,1,1)6iii iiiiiiiiiiiiixxx xMhxxS xMMyhhhM hyxx xin 對對S(x)求導(dǎo)得求導(dǎo)得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 1,(0,1,1)iixx xin hxxi 上頁上頁下頁下頁所以所以11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh (i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由由ii

53、iiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 上頁上頁下頁下頁111111111166 ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhyyyydf xx xhhhh 112(1,2,1)iiiiiiMMMdin 得得其中其中11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 上頁上頁下頁下頁由公式由公式nnmxSmxS) )( (, ,) )( (001. 邊界條件邊界條件為為11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiih

54、hyyS xMMhhhyyS xMMh 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 得得上頁上頁下頁下頁即即010122nnnMMdMMd 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 10100001166()()nnnnnnyyyydmdmhhhh 其其中中上頁上頁下頁下頁0011111111212212nnnnnnMdMdMdMd 從中解出從中解出Mi (i=0,1,.,n) 得三次樣條得三次樣條S(x).010122nnnMMdMMd 112(1,2,1)iiiiiiM