第四章相似三角形復(fù)習(xí)(新浙教版)

1、一.比例的基本性質(zhì)(注：注：a, b, c, d 都不等于零都不等于零)bcaddcba) 1 (acbcbba2)2(b是是a,c的比例中項(xiàng)的比例中項(xiàng))二.比例的基本方法：（1）、交叉相乘法；）、交叉相乘法；（2）、兩邊同加減；）、兩邊同加減；（3）、設(shè)）、設(shè)“t”法法dbcadcba) 1 (ddcbbadcba)2(三.比例的常見(jiàn)證明方法：bafdbecafedcba)3(“更比定理更比定理”“合比定理合比定理”“等比定理等比定理”1. 若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 62、下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（、下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（

2、 ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 四.練習(xí)一：Dmn m= n56已知 ,求 的值.3、；，求）已知、xxxx3: )1 () 1( :1 (4；，求）已知（yxyxyx2132256213337_.(),()_.cmcm+-+-23， 23兩數(shù)的比例中項(xiàng)是兩線段 2323的比例中項(xiàng)是7(),_,_.xyzxyzyxyzxyz-+=+-+1則379344119756、已知、已知1, 2, 3三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，寫(xiě)出一三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)比例式。個(gè)比例式

3、。 1cm1“設(shè)設(shè)t法法”.A AP PB B點(diǎn)點(diǎn)P P把線段把線段ABAB分成兩部分分成兩部分, ,如果如果那么稱線段那么稱線段ABAB被點(diǎn)被點(diǎn)P P黃金分割黃金分割, ,點(diǎn)點(diǎn)P P為線段為線段AB AB 的的 黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn), , APAP與與ABAB的比的比值值 這個(gè)比值稱為這個(gè)比值稱為 黃金比黃金比. .PBAPAPAB=五.黃金分割黃金分割:618. 0215ABAP六、畫(huà)黃金分割點(diǎn)；六、畫(huà)黃金分割點(diǎn)；已知線段已知線段AB=a,用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點(diǎn)作法作法:ABCED如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn)D即為所要求作即為所要求作的線段的線段AB的黃金

4、分割點(diǎn)。的黃金分割點(diǎn)。MABFCDEGH如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn)H即為所要求即為所要求作的線段作的線段AB的黃金分割點(diǎn)。的黃金分割點(diǎn)。一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。1.1.作頂角為作頂角為3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC與腰與腰ABAB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度, ,計(jì)算計(jì)算: : ; ; 2.2.作作B B的平分線的平分線, ,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,量出量出CDCD的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度, , 再計(jì)算再計(jì)算: : . (. (精確到精確到0.001)0.001)DDC CA AB BE EBCABCDBC0.6180.6180.6180.618黃金三角形黃金三角

5、形DD點(diǎn)點(diǎn)D D是線段是線段ACAC的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn). .七.練習(xí)二：l判定兩個(gè)三角形相似的方法判定兩個(gè)三角形相似的方法:1. 1. 定義定義2. 2. 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊平行于三角形一邊的直線截其它兩邊( (或其延長(zhǎng)或其延長(zhǎng)線線),),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似.-“.-“平行平行”3. 3. 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.-“.-“AAAA”4. 4. 兩邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例, ,且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似. . -“ -“SASSAS”5. 5. 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

6、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.-“.-“SSSSSS” 八、回顧與反思ABCDEADEBCEDCBA回顧與反思相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)：1.相似三角形相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。2 .相似三角形相似三角形對(duì)應(yīng)高之比，對(duì)應(yīng)中線比，對(duì)應(yīng)角平分線對(duì)應(yīng)高之比，對(duì)應(yīng)中線比，對(duì)應(yīng)角平分線比比等于等于相似比相似比。3.相似三角形相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方比的平方。4. 三角形的三角形的重心重心分每一條中線成分每一條中線成1：2的兩條線段。的兩條線段。5.相似多邊形相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似周長(zhǎng)

7、比等于相似比，面積比等于相似比的平方比的平方。相似的基本圖形相似的基本圖形ABCDE(1)DEBCABCDEDEBC(2)ABCDE(3)ABCD(4)BAD=CAB2=BDBCABCDACB=90，CDAB(5)ABCDE(6)D=C例例1.已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中，P是是AB邊上的一點(diǎn)，邊上的一點(diǎn)，連結(jié)連結(jié)CP滿足一個(gè)什么條件時(shí)滿足一個(gè)什么條件時(shí) ACPABC 解解:A= A，當(dāng)當(dāng)1= ACB （或（或2= B）時(shí)，時(shí)， ACPABC APBC121、條件探索型、條件探索型答：當(dāng)答：當(dāng)1= ACB 或或2= B 或或AC APAB時(shí)時(shí), ACPABC. A= A，當(dāng)當(dāng)AC:AP

8、AB:AC時(shí)，時(shí)， ACPABC例例2.將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一 一寫(xiě)出一寫(xiě)出來(lái)來(lái).解：有相似三角形，它們是：解：有相似三角形，它們是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）2、結(jié)論探索型、結(jié)論探索型CABDEGF2 G K H F B A E D C第題例例3如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1

9、，則下列圖中的三角形（陰影部分）與，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中左圖中ABC相似的是（相似的是（ ）ABCDABC十一十一. .填空、選擇題填空、選擇題: :1 1、如圖，、如圖，DEBC, AD:DB=2:3, DEBC, AD:DB=2:3, 則則 AED AED和和 ABC ABC 的相似比為的相似比為. .ABCDE2:552cm2、 已知三角形甲各邊的比為已知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它相似的和它相似的三角形乙的最大邊為三角形乙的最大邊為10cm，則三角形乙的最短邊，則三角形乙的最短邊為為_(kāi)cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為，底

10、邊長(zhǎng)為6cm,在腰在腰AC上取點(diǎn)上取點(diǎn)D, 使使ABC BDC, 則則DC=_.4.4.如圖，如圖，ADE ADE ACB,ACB, 則則DE:BC=_ DE:BC=_ 。5.5.如圖，如圖，D D是是ABCABC一邊一邊BCBC 上一點(diǎn)，連接上一點(diǎn)，連接AD,AD,使使 ABC ABC DBADBA的條件是的條件是（ ）. . A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB C. AB2 2=CD=CDBC D. ABBC D. AB2 2=BD=BDBCBC6.D6.D、E E分別為分別為ABC ABC 的

11、的ABAB、ACAC上上的點(diǎn)，且的點(diǎn)，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那么圖中共有相似三角形么圖中共有相似三角形_組。組。ACBDE27331:31:3D DABEDCDCBA7、D點(diǎn)是點(diǎn)是ABC的邊的邊AC上的一點(diǎn)，過(guò)上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)畫(huà)點(diǎn)畫(huà)線段線段DE，使點(diǎn)，使點(diǎn)E在在ABC的邊上，并且點(diǎn)的邊上，并且點(diǎn)D、點(diǎn)點(diǎn)E和和ABC的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC相似。問(wèn)：這樣的三角形可以畫(huà)幾個(gè)？相似。問(wèn)：這樣的三角形可以畫(huà)幾個(gè)？畫(huà)出畫(huà)出DE，并且寫(xiě)出添線方法。，并且寫(xiě)出添線方法。ABC(3)DE1E

12、2E3E4十二、證明題：1. D為ABC中AB邊上一點(diǎn)， ACD=ABC. 求證：AC2=ADAB.E EA AB BC CD DM MABCD2. ABC中中,BAC是直角，過(guò)斜是直角，過(guò)斜 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊而垂直于斜邊BC的直線的直線 交交CA的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于E，交，交AB于于D， 連連AM. 求證：求證： MAD MEA AM2 =MD ME1. 如圖如圖,平行四邊形平行四邊形ABCD中中,AE:EB=2:3, 則則SAPE :SCPD=_.ABCDEP1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對(duì)角線對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面

13、積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同高型同高型”1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對(duì)角線對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同底等高型同底等高型”2.2.等積法等積法: :等底等高的兩三角形面積相等等底等高的兩三角形面積相等. .1.1.直接法直接法: :根據(jù)三角形的面積公式解題

14、根據(jù)三角形的面積公式解題. .12S 底 高相似三角形的相似三角形的面積比面積比等于等于相似比的平方相似比的平方. .3.3.等比法等比法: :將面積比轉(zhuǎn)化為線段比將面積比轉(zhuǎn)化為線段比. .在相似三角形中求面積的常用方法在相似三角形中求面積的常用方法等底等底( (或同底或同底) )的三角形面積之比等于的三角形面積之比等于高高之比之比. .等高等高(或同高或同高)的三角形面積之比等于的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底對(duì)應(yīng)底之比之比. 1.在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)從點(diǎn)A開(kāi)開(kāi)始沿始沿AB邊向邊向B點(diǎn)以點(diǎn)以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)從點(diǎn)B開(kāi)始沿開(kāi)始沿BC向

15、點(diǎn)向點(diǎn)C以以4cm/秒的速度移動(dòng)，如果秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘BPQ與與BAC相似？相似？分析：分析：由于由于PBQ與與ABC有公共角有公共角B；所以；所以若若PBQ與與ABC相似，則有兩種可能一種情況相似，則有兩種可能一種情況為為 ,即即PQAC;另一種情況為另一種情況為 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒 2.如圖，已知：如圖，已知：ABDB于點(diǎn)于點(diǎn)B ，CDDB于于點(diǎn)點(diǎn)D，AB=6，CD=4，BD=14.問(wèn)：在問(wèn)：在DB上是否上是否存在存在P點(diǎn)，使以點(diǎn)，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三

16、角形與以為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，計(jì)算出為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，計(jì)算出點(diǎn)點(diǎn)P的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4614ADCBE解解:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使，使ABPCDP 設(shè)設(shè)PD=x，則，則PB=14x，6：4=（14x）:x則有則有AB:CD=PB:PD或或AB:PD=PB:CDx=5.6P6x14x4ADCB設(shè)設(shè)PD=x，則，則PB=14x，6：x=（14x） :4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6時(shí)，以時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形與以角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似為頂

17、點(diǎn)的三角形相似Px=2或或x=12或或x=5.6時(shí)，以時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形與以角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似為頂點(diǎn)的三角形相似46x14xDBCAp3.如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90，P為為AB上上一點(diǎn)，且點(diǎn)一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)不與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P作作PEAB交交AC邊于邊于E點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)E不與點(diǎn)不與點(diǎn)C重合，若重合，若AB=10，AC=8， 設(shè)設(shè)AP 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為x， 四邊形四邊形PECB的的周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為y，求，求y與與x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式?x?E?A?P?C?B4、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD中，中，AB4，G為為DC中中點(diǎn)，點(diǎn)

18、，E在在BC邊上運(yùn)動(dòng)，（邊上運(yùn)動(dòng)，（E點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)、點(diǎn)C不重合）不重合）設(shè)設(shè)BEx，過(guò)，過(guò)E作作GA平行線交平行線交AB于于F，設(shè)，設(shè)AFEG面積為面積為y，寫(xiě)出，寫(xiě)出y與與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量量x的取值范圍。的取值范圍。ABCDEFG5、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)，點(diǎn)P是是BC邊上不與點(diǎn)邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，連重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作作PQAP交交DC于點(diǎn)于點(diǎn)Q,設(shè)設(shè)BP的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為xcm,CQ的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為ycm. (1)求點(diǎn)求點(diǎn)P在在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中y的最大值的最大值;(2)

19、當(dāng)當(dāng)y = cm時(shí)時(shí),求求x的值的值.41ABCDPQ6.如圖如圖,在線段在線段BA上任取一上任取一P，連結(jié)連結(jié)PC,過(guò)過(guò)P作作PEPC，與線段，與線段DB交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，（1）試確定）試確定AP=2.5時(shí)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)E的位置；的位置；（2）若設(shè)）若設(shè)AP=x，BE=y，試寫(xiě)出，試寫(xiě)出y關(guān)于自關(guān)于自變量變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取的取值范圍值范圍.438ADCBPEFABCDE7.在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=2，點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別以每秒分別以每秒 個(gè)單位和個(gè)單位和每秒每秒1個(gè)單位的速度沿個(gè)單位的速度沿BC和和CA方向方向運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)了幾秒后，運(yùn)動(dòng)，則

20、運(yùn)動(dòng)了幾秒后，ABD和和CDE相似。相似。2ABCDE在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=1，點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別以每秒分別以每秒 個(gè)單位和個(gè)單位和每秒每秒1個(gè)單位的速度沿個(gè)單位的速度沿BC和和CA方向方向運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)了幾秒后，運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)了幾秒后，CDE面面積最大。積最大。28.等腰等腰ABC中，中，AB=AC=8。BAC=120，P為為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含的中點(diǎn)，小慧拿著含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角的頂角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞點(diǎn)，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。ABC（1）如圖，三角板的兩邊分）如圖，三角板的兩邊分別與別與AB、AC交于交于E、F 時(shí)，時(shí)，求證：求證：BPECFPPEF（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)）當(dāng)三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使三角板旋轉(zhuǎn)，使三角板的兩邊分別交的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊的延長(zhǎng)線、邊AC于于E、F時(shí)，時(shí)， BPE與與CFP還相似嗎？（只需還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）寫(xiě)出結(jié)論）ABCPPEFPP（3）連結(jié)）連結(jié)EF， BPE與與PEF相相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由直擊中考直擊中考 （本冊(cè)綜合性問(wèn)題）91923194A B C D1、（2008年廣東茂名市）如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截