第四章相似三角形復(fù)習(xí)(新浙教版)

1、一.比例的基本性質(zhì)(注：注：a, b, c, d 都不等于零都不等于零)bcaddcba) 1 (acbcbba2)2(b是是a,c的比例中項的比例中項)二.比例的基本方法：（1）、交叉相乘法；）、交叉相乘法；（2）、兩邊同加減；）、兩邊同加減；（3）、設(shè)）、設(shè)“t”法法dbcadcba) 1 (ddcbbadcba)2(三.比例的常見證明方法：bafdbecafedcba)3(“更比定理更比定理”“合比定理合比定理”“等比定理等比定理”1. 若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 62、下列各組線段的長度成比例的是（、下列各組線段的長度成比例的是（

2、 ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 四.練習(xí)一：Dmn m= n56已知 ,求 的值.3、；，求）已知、xxxx3: )1 () 1( :1 (4；，求）已知（yxyxyx2132256213337_.(),()_.cmcm+-+-23， 23兩數(shù)的比例中項是兩線段 2323的比例中項是7(),_,_.xyzxyzyxyzxyz-+=+-+1則379344119756、已知、已知1, 2, 3三個數(shù)，請你再添上一個數(shù)，寫出一三個數(shù)，請你再添上一個數(shù)，寫出一個比例式。個比例式

3、。 1cm1“設(shè)設(shè)t法法”.A AP PB B點點P P把線段把線段ABAB分成兩部分分成兩部分, ,如果如果那么稱線段那么稱線段ABAB被點被點P P黃金分割黃金分割, ,點點P P為線段為線段AB AB 的的 黃金分割點黃金分割點, , APAP與與ABAB的比的比值值 這個比值稱為這個比值稱為 黃金比黃金比. .PBAPAPAB=五.黃金分割黃金分割:618. 0215ABAP六、畫黃金分割點；六、畫黃金分割點；已知線段已知線段AB=a,用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點用直尺和圓規(guī)作出它的黃金分割點作法作法:ABCED如圖所示，點如圖所示，點D即為所要求作即為所要求作的線段的線段AB的黃金

4、分割點。的黃金分割點。MABFCDEGH如圖所示，點如圖所示，點H即為所要求即為所要求作的線段作的線段AB的黃金分割點。的黃金分割點。一條線段有兩個黃金分割點。一條線段有兩個黃金分割點。1.1.作頂角為作頂角為3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC與腰與腰ABAB的長度的長度, ,計算計算: : ; ; 2.2.作作B B的平分線的平分線, ,交交ACAC于點于點D,D,量出量出CDCD的長度的長度, , 再計算再計算: : . (. (精確到精確到0.001)0.001)DDC CA AB BE EBCABCDBC0.6180.6180.6180.618黃金三角形黃金三角

5、形DD點點D D是線段是線段ACAC的黃金分割點的黃金分割點. .七.練習(xí)二：l判定兩個三角形相似的方法判定兩個三角形相似的方法:1. 1. 定義定義2. 2. 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊平行于三角形一邊的直線截其它兩邊( (或其延長或其延長線線),),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似.-“.-“平行平行”3. 3. 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.-“.-“AAAA”4. 4. 兩邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例, ,且夾角相等的兩個三角形相似且夾角相等的兩個三角形相似. . -“ -“SASSAS”5. 5. 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

6、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.-“.-“SSSSSS” 八、回顧與反思ABCDEADEBCEDCBA回顧與反思相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)：1.相似三角形相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。2 .相似三角形相似三角形對應(yīng)高之比，對應(yīng)中線比，對應(yīng)角平分線對應(yīng)高之比，對應(yīng)中線比，對應(yīng)角平分線比比等于等于相似比相似比。3.相似三角形相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方比的平方。4. 三角形的三角形的重心重心分每一條中線成分每一條中線成1：2的兩條線段。的兩條線段。5.相似多邊形相似多邊形周長比等于相似比，面積比等于相似周長

7、比等于相似比，面積比等于相似比的平方比的平方。相似的基本圖形相似的基本圖形ABCDE(1)DEBCABCDEDEBC(2)ABCDE(3)ABCD(4)BAD=CAB2=BDBCABCDACB=90，CDAB(5)ABCDE(6)D=C例例1.已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中，P是是AB邊上的一點，邊上的一點，連結(jié)連結(jié)CP滿足一個什么條件時滿足一個什么條件時 ACPABC 解解:A= A，當(dāng)當(dāng)1= ACB （或（或2= B）時，時， ACPABC APBC121、條件探索型、條件探索型答：當(dāng)答：當(dāng)1= ACB 或或2= B 或或AC APAB時時, ACPABC. A= A，當(dāng)當(dāng)AC:AP

8、AB:AC時，時， ACPABC例例2.將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相假設(shè)圖形中的所有點、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一 一寫出一寫出來來.解：有相似三角形，它們是：解：有相似三角形，它們是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）2、結(jié)論探索型、結(jié)論探索型CABDEGF2 G K H F B A E D C第題例例3如圖，每個小正方形邊長均為如圖，每個小正方形邊長均為1

9、，則下列圖中的三角形（陰影部分）與，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中左圖中ABC相似的是（相似的是（ ）ABCDABC十一十一. .填空、選擇題填空、選擇題: :1 1、如圖，、如圖，DEBC, AD:DB=2:3, DEBC, AD:DB=2:3, 則則 AED AED和和 ABC ABC 的相似比為的相似比為. .ABCDE2:552cm2、 已知三角形甲各邊的比為已知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它相似的和它相似的三角形乙的最大邊為三角形乙的最大邊為10cm，則三角形乙的最短邊，則三角形乙的最短邊為為_cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰長為的腰長為18cm，底邊長為，底

10、邊長為6cm,在腰在腰AC上取點上取點D, 使使ABC BDC, 則則DC=_.4.4.如圖，如圖，ADE ADE ACB,ACB, 則則DE:BC=_ DE:BC=_ 。5.5.如圖，如圖，D D是是ABCABC一邊一邊BCBC 上一點，連接上一點，連接AD,AD,使使 ABC ABC DBADBA的條件是的條件是（ ）. . A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB C. AB2 2=CD=CDBC D. ABBC D. AB2 2=BD=BDBCBC6.D6.D、E E分別為分別為ABC ABC 的

11、的ABAB、ACAC上上的點，且的點，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每兩個相似的三角形稱為一組，那把每兩個相似的三角形稱為一組，那么圖中共有相似三角形么圖中共有相似三角形_組。組。ACBDE27331:31:3D DABEDCDCBA7、D點是點是ABC的邊的邊AC上的一點，過上的一點，過D點畫點畫線段線段DE，使點，使點E在在ABC的邊上，并且點的邊上，并且點D、點點E和和ABC的一個頂點組成的小三角形與的一個頂點組成的小三角形與ABC相似。問：這樣的三角形可以畫幾個？相似。問：這樣的三角形可以畫幾個？畫出畫出DE，并且寫出添線方法。，并且寫出添線方法。ABC(3)DE1E

12、2E3E4十二、證明題：1. D為ABC中AB邊上一點， ACD=ABC. 求證：AC2=ADAB.E EA AB BC CD DM MABCD2. ABC中中,BAC是直角，過斜是直角，過斜 邊中點邊中點M而垂直于斜邊而垂直于斜邊BC的直線的直線 交交CA的延長線于的延長線于E，交，交AB于于D， 連連AM. 求證：求證： MAD MEA AM2 =MD ME1. 如圖如圖,平行四邊形平行四邊形ABCD中中,AE:EB=2:3, 則則SAPE :SCPD=_.ABCDEP1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對角線對角線AC、BD相交于點相交于點O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面

13、積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同高型同高型”1.如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,對角線對角線AC、BD相交于點相交于點O,設(shè)設(shè)OCD, OAD ,OAB, OCB的面積分別為的面積分別為S1,S2,S3,S4,且且 試探求試探求S1,S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)量關(guān)系.AODCB13CDABS1S2S3S4“同底等高型同底等高型”2.2.等積法等積法: :等底等高的兩三角形面積相等等底等高的兩三角形面積相等. .1.1.直接法直接法: :根據(jù)三角形的面積公式解題

14、根據(jù)三角形的面積公式解題. .12S 底 高相似三角形的相似三角形的面積比面積比等于等于相似比的平方相似比的平方. .3.3.等比法等比法: :將面積比轉(zhuǎn)化為線段比將面積比轉(zhuǎn)化為線段比. .在相似三角形中求面積的常用方法在相似三角形中求面積的常用方法等底等底( (或同底或同底) )的三角形面積之比等于的三角形面積之比等于高高之比之比. .等高等高(或同高或同高)的三角形面積之比等于的三角形面積之比等于對應(yīng)底對應(yīng)底之比之比. 1.在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,點點P從點從點A開開始沿始沿AB邊向邊向B點以點以2cm/秒的速度移動，點秒的速度移動，點Q從點從點B開始沿開始沿BC向

15、點向點C以以4cm/秒的速度移動，如果秒的速度移動，如果P、Q分別從分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘BPQ與與BAC相似？相似？分析：分析：由于由于PBQ與與ABC有公共角有公共角B；所以；所以若若PBQ與與ABC相似，則有兩種可能一種情況相似，則有兩種可能一種情況為為 ,即即PQAC;另一種情況為另一種情況為 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒 2.如圖，已知：如圖，已知：ABDB于點于點B ，CDDB于于點點D，AB=6，CD=4，BD=14.問：在問：在DB上是否上是否存在存在P點，使以點，使以C、D、P為頂點的三

16、角形與以為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似？如果存在，計算出為頂點的三角形相似？如果存在，計算出點點P的位置；如果不存在，請說明理由。的位置；如果不存在，請說明理由。4614ADCBE解解:假設(shè)存在這樣的點假設(shè)存在這樣的點P，使，使ABPCDP 設(shè)設(shè)PD=x，則，則PB=14x，6：4=（14x）:x則有則有AB:CD=PB:PD或或AB:PD=PB:CDx=5.6P6x14x4ADCB設(shè)設(shè)PD=x，則，則PB=14x，6：x=（14x） :4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6時，以時，以C、D、P為頂點的三為頂點的三角形與以角形與以P、B、A為頂點的三角形相似為頂

17、點的三角形相似Px=2或或x=12或或x=5.6時，以時，以C、D、P為頂點的三為頂點的三角形與以角形與以P、B、A為頂點的三角形相似為頂點的三角形相似46x14xDBCAp3.如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90，P為為AB上上一點，且點一點，且點P不與點不與點A重合，過點重合，過點P作作PEAB交交AC邊于邊于E點，點點，點E不與點不與點C重合，若重合，若AB=10，AC=8， 設(shè)設(shè)AP 的長為的長為x， 四邊形四邊形PECB的的周長為周長為y，求，求y與與x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式?x?E?A?P?C?B4、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD中，中，AB4，G為為DC中中點，點

18、，E在在BC邊上運動，（邊上運動，（E點與點點與點B、點、點C不重合）不重合）設(shè)設(shè)BEx，過，過E作作GA平行線交平行線交AB于于F，設(shè)，設(shè)AFEG面積為面積為y，寫出，寫出y與與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量量x的取值范圍。的取值范圍。ABCDEFG5、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD的邊長為的邊長為4cm，點，點P是是BC邊上不與點邊上不與點B、C重合的任意一點，連重合的任意一點，連結(jié)結(jié)AP，過點，過點P作作PQAP交交DC于點于點Q,設(shè)設(shè)BP的長為的長為xcm,CQ的長為的長為ycm. (1)求點求點P在在BC上運動的過程中上運動的過程中y的最大值的最大值;(2)

19、當(dāng)當(dāng)y = cm時時,求求x的值的值.41ABCDPQ6.如圖如圖,在線段在線段BA上任取一上任取一P，連結(jié)連結(jié)PC,過過P作作PEPC，與線段，與線段DB交于點交于點E，（1）試確定）試確定AP=2.5時點時點E的位置；的位置；（2）若設(shè)）若設(shè)AP=x，BE=y，試寫出，試寫出y關(guān)于自關(guān)于自變量變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取的取值范圍值范圍.438ADCBPEFABCDE7.在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=2，點，點D、E分別以每秒分別以每秒 個單位和個單位和每秒每秒1個單位的速度沿個單位的速度沿BC和和CA方向方向運動，則運動了幾秒后，運動，則

20、運動了幾秒后，ABD和和CDE相似。相似。2ABCDE在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=1，點，點D、E分別以每秒分別以每秒 個單位和個單位和每秒每秒1個單位的速度沿個單位的速度沿BC和和CA方向方向運動，則運動了幾秒后，運動，則運動了幾秒后，CDE面面積最大。積最大。28.等腰等腰ABC中，中，AB=AC=8。BAC=120，P為為BC的中點，小慧拿著含的中點，小慧拿著含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角的頂角的頂點落在點點落在點P，三角板繞點，三角板繞點P旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。ABC（1）如圖，三角板的兩邊分）如圖，三角板的兩邊分別與別與AB、AC交于交于E、F 時，時，求證：求證：BPECFPPEF（2）當(dāng)三角板繞點）當(dāng)三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，使三角板旋轉(zhuǎn)，使三角板的兩邊分別交的兩邊分別交BA的延長線、邊的延長線、邊AC于于E、F時，時， BPE與與CFP還相似嗎？（只需還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）寫出結(jié)論）ABCPPEFPP（3）連結(jié)）連結(jié)EF， BPE與與PEF相相似嗎？請說明理由似嗎？請說明理由直擊中考直擊中考 （本冊綜合性問題）91923194A B C D1、（2008年廣東茂名市）如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截