放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用-鄭州第四十四中學(xué)

1、放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用-鄭州第四十四中學(xué)恰當(dāng)采用放縮法巧證導(dǎo)數(shù)不等式鄭州市第四十四中學(xué)蘇明亮放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到.由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸題中，尤其是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩.下面試舉幾例，以供大家參考.一、利用基本不等式放縮，化曲為直例1(2012年高考遼寧卷理科第21題(口)設(shè)f(x)g1)G1.證明：當(dāng)°x2時(shí)，f(x)片證明：由基本不等式，當(dāng)x0時(shí)，2Glx2,f(x)ln(x1)x一x11ln(x1)-記h(x)則h,(x)故又由h(x)h(0)0)所以l

2、n(x1)x急)即ln(x1),x119xx9xln(x1)-2x6._,2_1154x(x15x36)_2rx12(x6)2(x1)(x6)當(dāng)0x2時(shí)，h'(x)0,所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù).故當(dāng)0x2時(shí)f(x)生.x6評(píng)注：本題第(n)問若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)凡，對(duì)h(x)進(jìn)行求導(dǎo)由于h'(x)中既有根x6式又有分式，因此h,(x)的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)很難確定，而通過對(duì)m進(jìn)行放縮處理，使問題得到解決.上面的解法中，難點(diǎn)在用基本不等式證明GI1,亦即是將拋物線弧yQ放大化簡為直線段y；1,而該線段正是拋物線弧y、父!在左端點(diǎn)(0,1)處的切線，這種“化曲

3、為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮，化動(dòng)為靜例2(2013年新課標(biāo)全國H卷第21題(II)已知函數(shù)f(x)exln(xm).當(dāng)m2時(shí),證明f(x)0.證法1：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?m,),則f'(x)ex-xm(xm)ex1xm設(shè)g(x)(xm)ex1,因?yàn)間'(x)(xm1)ex0)所以g(x)在(m,)上單調(diào)遞增.又g(m)10,g(2m)2e2m12110)故g(x)0在(m,)上有唯一實(shí)根x0.當(dāng)x(m,X0)時(shí),g(x)0,f'(x)0；當(dāng)x(X0,)時(shí),g(x)0,f'(x)0)從而當(dāng)x刈時(shí))f(x)取得最小值為f

4、(%).由方程g(x)0的根為x。得ex0ln(x0m)%,x°m7故f(x0)1xx0m1x0m(x0m)m2m(當(dāng)且僅當(dāng)xm1取等號(hào))，又因?yàn)閙2時(shí),所以f(x0)0.取等號(hào)的f(x0)0條件是x°m1e"-1及m2x0m同時(shí)成立，這是不可能的，所以f(x0)0,故f(x)0.證法2：因yInX在定義域上是增函數(shù)，而m2,所以ln(x2)ln(xm),故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0即可.當(dāng)m2時(shí))f'(x)ex，在(2,)上單調(diào)遞增.7x2又f'(1)0,f'(0)0)故f'(x)0在(2,)上有唯一實(shí)根x0)且x°(

5、1,0).當(dāng)x(2,x0)時(shí))f'(x)0；當(dāng)x(x0,)時(shí))f'(x)0)從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值.由f'(x)0得e1)ln(x02)x0%272故f(x)f(xc)x0J)-0.x02x02綜上)當(dāng)m2時(shí))f(x)0.評(píng)注：借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法.證法1直接求導(dǎo)證明，由于其含有參數(shù)m,因而在判斷g(x)的零點(diǎn)和求f(x)取得最小值f(%)顯得較為麻煩；證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù)ylnx的單調(diào)性化動(dòng)為靜，證法顯得簡單明了.此外，本題也是處理函數(shù)隱零點(diǎn)問題的一個(gè)經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡兩個(gè)常用的函數(shù)不等式:exx1(x

6、R)lnxx1(x0)兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材(人教A版選修2-2,%2)的一組習(xí)題，曾多次出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章叫例3(2014年高考新課標(biāo)I卷理科第21題)x1設(shè)函數(shù)f(x)aexlnx-？曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切x7線方程為ye(x1)2.求a,b(II)證明：f(x)1.分析：本題以曲線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第(I)問較容易，般學(xué)生都能做出來，只需求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),易得a1,b2.第(II)問難度較大，主要考查考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式的能力及運(yùn)算求解能力，是近年來高

7、考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問題.本題第(II)問證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來進(jìn)行證明.證明：由exx1,得ex1x,即exex,故工ex(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))ex1又由ex1x,得。e1x,故e.ex,兩邊取自然對(duì)/x數(shù)得ln(ex)1ex)即lnx10(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))ex、e由于、式等號(hào)不能同時(shí)成立，兩式相加得lnx-ex,兩邊同乘以ex,得f(x)1.評(píng)注：本題證明中利用函數(shù)不等式exx1,并進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，從而避免了繁雜的計(jì)算，過程簡潔自然，易于理解.例4(2016年高考山東卷理科第20題(II)已知f(x)axlnx2x1一廠，ax當(dāng)a1時(shí))證明f(x)f(x

8、)3對(duì)于任意的x1,2成立.(ax22)(x1)a1時(shí),f(x)f'(x)lnx2x12-x(122x2)xInxx1,2)由Inx得f(x)f'(x)Inxx1,2.即只需證1,2h(x)1,2,則h'(x)3x22x64x(x)3x22x則(x)在x1,2單調(diào)遞減,因?yàn)?,證明：f(x)的定義域?yàn)?0,)af'(x)ax所以在1,2上存在x0使得x(1,x0)時(shí),(x)0,x(%,2)時(shí),(x)0,所以函數(shù)h(x)在(1,%)上單調(diào)遞增，在(x°,2)上單調(diào)遞減，由于h(1)2,h(2)2，因此當(dāng)x1,2時(shí)，h(x)h(2)|,當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取得等

9、號(hào)，所以"'(x)h四即f(x)f'(x)3對(duì)于任意的x1,2恒成立.評(píng)注：要證明f1比較麻煩的是式子中有l(wèi)nx,如果能讓它消失，問題勢(shì)必會(huì)簡單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式lnxx1進(jìn)行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式：ex1x(xR)，j(xx1ln1x11(xxInxx1(x1)0)0)四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5(2016年高考新課標(biāo)III卷文科21題)設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(I)證明當(dāng)x(1,)時(shí),(II)設(shè)c1,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1(c1)xcx證明：(I)易證當(dāng)x1,時(shí))lnxx1)11In1xx7即1

10、x.Inx(II)由題設(shè)c1,設(shè)g31c1xcx,則g(x)c1cxlnx)1nc1令,gx0解得x0nc.當(dāng)x%時(shí)g'x0gx單lnc調(diào)遞增；當(dāng)XX0時(shí),g'x0,gx單調(diào)遞減.由(I)知lU*故0%1又g(0)g(1)0故當(dāng)0x1時(shí),IncgX0.所以當(dāng)X0,1時(shí))1c1xcx.評(píng)注：本題第(II)問利用第(I)中已證,c1In明的不等式1nx及1巧妙地求出0%1InxInc進(jìn)而利用gx在0x1單調(diào)性及端點(diǎn)值g(0)g(1)0證明出gx0.利用已證不等式(或結(jié)論)服務(wù)后面問題的情況，在高考和?？荚囶}中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務(wù)意識(shí)”不僅可以避開復(fù)雜的計(jì)算，往往也為解題思路

11、指明了方向.下面再看一例：例6(2013年高考遼寧卷理科21題)已知函數(shù)fx1xe2x,gxaxx-12xcosx,當(dāng)x0,1時(shí)，(I)證明:(II)確定a的所有可能取值，使得fxgx恒成立證明：(I)證明：要證x0,1時(shí))1xe2x1x,只需證明1xex(1x)ex.記h(x)1xex(1x)ex,貝Uh'(x)x(exex).當(dāng)x(0,1)時(shí),1h(x)0因此h(x)在0,1上是增函數(shù),故h(x)h(0)=0.所以fX1x,x0,1.要證x0,1時(shí),只需證明exx1綜上,(II)解：3r,2x,x/c、,fxgx1xe(ax12xcosx)13xax12xcosx22一xx(1a2

12、cosx).221,、iCG(x)2cosx)貝UG(x)x2sinx.己H(x)x2sinx)則H(x)12cosx.當(dāng)x(0,1)時(shí))H'(x)0)于是G'(x)在0,1上是減函數(shù),從而當(dāng)x(0,1)時(shí),G'(x)G'(0)0)故G(x)在0,1上是減函數(shù).于是G(x)G(0)2)從而a1G(x)a3.所以，當(dāng)a3時(shí)，fxgx在0,1上恒成立.下面證明，當(dāng)a3時(shí)，fxgx在0,1上不恒成3_xax2xcosx23xxax-1x22xcosxx(2xa一22cosx),記I(x)aI28sxaG(x)，則I(x)G(x)當(dāng)X(0,1)時(shí),I'(X)。)

13、故I(x)在0,1上是減函數(shù),于是I(x)在0,1上的值域a12cos1,a3.因?yàn)楫?dāng)a3時(shí)，a30,所以存在x0(0,1),使得I(x0)0,止匕時(shí)f%gx°,即fxgx在0,1上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，3.評(píng)注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學(xué)知識(shí)無法解決(筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了“£型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則)；若直接構(gòu)造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大.本題解法中兩次巧妙利用第一問的結(jié)論，通過分類討論和假設(shè)反正，使問題得到解決.上述幾道導(dǎo)數(shù)不等式都不是考查某個(gè)單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(尤其與“ex”和“l(fā)nx”有關(guān))、三角函數(shù)以及帶根號(hào)的嘉函數(shù)和其它函數(shù)綜合在一起，如果直接求導(dǎo)