微分方程的maple求解

1、1、常用函數(shù)1）求解常微分方程的命令dsolve.dsolve（常微分方程）dsolve（常微分方程，待解函數(shù)，選項）dsolve（常微分方程，初值,待解函數(shù)，選項）dsolve（常微分方程組，初值,待解函數(shù),選項）其中選項設置解得求解方法和解的表示方式。求解方法有type=formal_series（形式幕級數(shù)解）、type=formal_solution（形式解）、type=numeric（數(shù)值解）、type=series（級數(shù)解）、method=fourier（通過Fourier變換求解）、method=laplace（通過Laplace變換求解）等。解的表示方式有explicit（顯式

2、）、implicit（隱式）、parametric（參數(shù)式）。當方程比較復雜時，要想得到顯式解通常十分困難，結(jié)果也會相當復雜。這時，方程的隱式解更為有用，一般也要簡單得多。dsolve為標準庫函數(shù)。2）求解一階線性常微分方程的命令linearsol.在Maple中求解一階線性方程既可以用dsolve函數(shù)求解，也可以用Detools函數(shù)包中的linearsol函數(shù)求解。linearsol是專門求解線性微分方程的命令，使用格式為：linearsol（線性方程，待解函數(shù)）linearsol的返回值為集合形式的解。3）偏微分方程求解命令pdsolve.pdsolve（偏微分方程，待解變量，選項）pds

3、olve（偏微分方程，初值或邊界條件，選項）pdsolve為標準庫函數(shù)，可直接使用。如果求解成功，將得到幾種可能結(jié)果：方程的通解；擬通解（包含有任意函數(shù)，但不足以構(gòu)造通解）；一些常微分方程的集合；2、方法1)一階常微分方程的解法a分離變量法I直接分離變量法。如曳=f(x)g(y),方程右端是兩個分別只含x或y的函數(shù)因式乘積，dx其通解為f-dy-=ff(x)dx+C。g(y)II換元法之后再用分離變量法。對于以上為中間變量的函數(shù)，如苴=g。)，令u=),xdxxx則原方程變?yōu)?g(u)u,再用分離變量法可得du=Jdx+C。dxxg(u)-uxb常數(shù)變易法I對于線性非齊次方程來說，線性非齊次方

4、程的通解=它所對應的齊次方程的通解+非齊次方程的一個特解。P(x)dx如y+P(x)y=f(x)，若f(x)三0,y+P(x)y=0為一階線性齊次萬程，其通解為y=Ce，P(x)dx令y=C(x)e)代入非齊次萬程，求出C(x),再的特解。II對于伯努利方程(非線性一階)來說，先將其化為線性。如y+P(x)y=f(x)yn(n=0,1)，兩端除以yn,得yy+P(x)yj=f(x),令z=y1，則原1dz方程可化為()+P(x)z=f(x)。1 -ndx2)二階線性常微分方程的解法a二階線性齊次方程，y”+p(x)y+q(x)y=0若y1(x)與y2(x)是方程的解，且把x，常數(shù)(即線性無關(guān))

5、，則y(x)=cy#)CyX)是Y2(x)通解，考慮常系數(shù)，即p.q都是常數(shù)，y+py+qy=0。其特征方程為k2+pk+q=0。解為p.4k2.-p-p2T4qo2 2Ip2-4q0,兩個不等實根，且常數(shù)時，y=eklX+ek2X。e1IIp2-4q eq:=diff(y(x),x)=sin(x)/sin(y(x);sin(x)eq:=一y(x)xsin(y(x) DEtoolsodeadvisor(eq);.separable dsolve(eq);y(x)=n-arccos(-cos(x)+_C1) dsolve(eq,implicit);-cos(x)+cos(y(x)+_C1=0 d

6、solve(eq,y(0)=1);y(x)=arcco$cos(x)-1cos(1) dsolve(eq,y(0)=1,numeric,range=-2.2);proc(rkf45_x).endproc plotsodeplot(%);2、齊次方程例2:dy=ytan(y)dxxx eq:=D(y)(x)=y(x)/x+tan(y(x)反);eq:=D(y)(x) DEtoolsodeadvisor(eq);_homogeneousclassA,_dAlembert dsolve(eq);y(x)=arcsin(x_C1)xdsolve(eq,y(1)=1);y(x)=arcsin(xsin(

7、1)xdsolve(eq,y(1)=3);y(x)=arcsin(xsin(3)xdsolve(eq,y(1)=3,numeric,range=1.6);proc(rkf45_x).endprocplotsodeplot(%);3、線性方程例35產(chǎn)(x)-ydxx eq:=D(y)(x)=(sin(x)-y(x)/x; DEtoolsodeadvisor(eq);sin(x)-y(x)eq:=D(y)(x)二x_linear dsolve(eq);y(x)=-cos(x)+C1DEtoolslinearsol(eq);-cos(x)+C1y(x)一dsolve(eq,y(1)=2,numeri

8、c,range=-5.5);proc(rkf45_x).endprocplotsodeplot(%);4、Bernoulli方程dy12例4:=6xy-xydxeq:=D(y)(x)=6*y(x)/x-x*y(x)A2;2-xy(x)y(x)eq：=D(y)(x)=6xDEtoolsodeadvisor(eq);_homogeneousclassG,_rational,_Bernoullidsolve(eq);6Xy(x)=88x88C1plotsodeplot(dsolve(eq,y(1)=1,numeric,range=-5.-1);第二部分：二階線性常微分方程1、二階常系數(shù)線性齊次方程例

9、5:y+2y+y=0eq:=diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+y(x)=0;dsolve(eq);(4)Dy(x)=_C1e+_C2exDEtoolsconstcoeffsols(eq);.(-x)(-x).e,explotsodeplot(dsolve(eq,y(0)=0,D(y)(0)=1,numeric,range=-2.2);2、二階常系數(shù)線性非齊次方程例6:yy=2x2-3eq:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)=2*xA2-3;eq:=.212y(x)-3dsolve(eq,y(x);232(二)y(x)=-x3-2x2-e_C1+x

10、+_C23plotsodeplot(dsolve(eq,y(0)=0,D(y)(0)=1,numeric,range=-3.3);3、Euler方程（變系數(shù)）例7:x2y+5xy+13y=0eq:=xA2*diff(y(x),x$2)+5*x*diff(y(x),x)+13*y(x)=0;2eq:=xy(x)l+5x!jxy(x)+13y(x)=0DEtoolsodeadvisor(eq);_Emden,_Fowlerdsolve(eq);y(x)_C1sin(3ln(x)2xp_C2cos(3ln(x)2xplotsodeplot(dsolve(eq,y(1)=0,D(y)(1)=1,num

11、eric,range=1.5);第三部分：偏微分方程1、波動方程-2c=.2u(x,t)二tpde:=diff(u(x,t),x$2)=diff(u(x,t),t$2);.2Cpde:=2u(x,t)二xpdsolve(pde);u(x,t)=_F1(tx)_F2(t-x)這里給出了通解，其中_F1,_F2是任意兩個具有二階連續(xù)導數(shù)的一元函數(shù)2、熱傳導方程例9:ut-uxx=0,t0pde:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x$2);一.2pde:=:u(x,t)=2u(x,t)二tfxpdsolve(pde);(u(x,t)=_F1(x)_F2(t)&where-2-5

12、_F2(t)=_C1_F2(t),j_F1(x)=_c-F1(x)ctexC1為常數(shù)I這里只給出了分離變量形式的特解，其中_F1,_F2為滿足給定方程的任意解,3、作圖例10:zx,zzy=0pde:=D1(z)(x,y)+z(x,y)*D2(z)(x,y)=0;pde:=D1(z)(x,y)z(x,y)D2(z)(x,y)=0PDEtoolsPDEplot(pde,0,y,sech(y),y=-5.5);四、總結(jié)1、解微分方程按照不同的標準可以分為很多種類：按照階數(shù)的不同：一階，二階，高階；按照是否線性：線性，非線性；按照未知數(shù)個數(shù)：常微分，偏微分；按照是否齊次：齊次，非齊次；2、各種常微分

13、方程具體的解法：1)若一階微分方程具有形式dy=f(x)g(x),則稱為可分離變量方程。一般可以通過對方dx程dy=f(x)dx兩邊分別積分，得到方程的隱式解。g(y)2)若常微分方程具有形式dy=f(?),則稱為齊次方程。通常用變量代換u=)將齊次方dxxx程轉(zhuǎn)換為可分離變量方程業(yè)=。dxx3)形如y(x)+p(x)y=q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程，在Maple中既可以用dsolve函數(shù)求解，也可以用Detools函數(shù)包中的linearsol函數(shù)求解。4)形如dy+p(x)y=q(x)yn的微分方程稱為Bernoulli方程。當n#0,1時，變量代換dxduu=y將Bernoull

14、i方程轉(zhuǎn)化為線性方程一=(n-1)(p(x)u-q(x)。dx5)形如y(n)+Gy(n/)+cny=f(x),其中G,cn為常數(shù)的微分方程稱為n階常系數(shù)線性微分方程。當f(x)=0時，稱為齊次方程；當f(x)#0時，稱為非齊次方程。6)齊次Euler方程的一般形式為：xny+a1xny(n,)+anxy+any=0,其中司e2鼻都是常數(shù)。求解方法是做變換x=et,求出y(t),然后再將t=lnx代入，即可得到原方程的解y(x)。3、偏微分方程的形式1)一維波動方程：=a2亙竽二t:x2)二維波動方程：utt-a2(uxx+uyy)=0p3)泊松方程：2u=-4)拉氏方程：V2u=025）一維熱傳導方程：2=a2色之ft；x_2_26）二維熱傳導方程：擔=a2（旦?+W）ft；x；y_