考研數(shù)學(xué)真題答案(數(shù)一)#(精選.)

1、2021年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在做題紙指定位置上.1、設(shè)函數(shù)/(X)在(-8,+s)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù)/"(x)的圖形如以下圖所示,那么曲線y=/(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】(C)【考點(diǎn)】拐點(diǎn)的定義【難易度】【詳解】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0,或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上,并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號,因此,由/(x)的圖形可知,曲線y=/(x)存在兩個(gè)拐點(diǎn),應(yīng)選(C).2、+%-!卜是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程+少&

2、#39;+外=ce'的一個(gè)特解,<3)那么()(A)a=-3,Z?=-1,c=-1.(B).=3,=2,.=一1.(C)a=-3.b=2,c=1.(D)a=3,Z?=2,c=L【答案】(A)【考點(diǎn)】常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法【難易度】【詳解】1/、,為齊次方程的解,所以2、1為特征方程分+1+.=0的根,從而23.=一(1+2)=-3/=以2=2,再將特解),=%/代入方程),一39+2)'=.靖得：c=-l.3、假設(shè)級數(shù)£%條件收斂,n-1那么x=與x=3依次為事級數(shù)£為x1的:H-1A收斂點(diǎn),收斂點(diǎn)B收斂點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)C發(fā)散點(diǎn),收斂點(diǎn)D發(fā)散點(diǎn),發(fā)散

3、點(diǎn)【答案】B【考點(diǎn)】級數(shù)的斂散性【難易度】【詳解】由于fq,條件收斂,故x=2為箱級數(shù)的條件收斂點(diǎn),進(jìn)而得n-1n-11的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為0,2,又由于事級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間,故n-1xxW>/xT的收斂區(qū)間仍為.,2,因而x=JT與x=3依次為事級數(shù)>>/工一1的收斂】/r-l點(diǎn)、發(fā)放點(diǎn).4、設(shè)D是第一象限中曲線2個(gè)=1,4沖=1與直線y=Ky=J八圍成的平而區(qū)域,函數(shù)/X,在D上連續(xù),那么D(A) f(rcossin0)rdr42sin2tf£(B) 7河西麗/(rcos6>,rsin(9)rt/r4(C) 書/(rcos<9,rsin

4、Wr(D) 叩.f(rcos8,rsin6)(/r23n26【答案】D【考點(diǎn)】二重積分的極坐標(biāo)變換【難易度】【詳解】由,=x得,6=£：由'="¥得,夕=:由2沖=1得,2rcos6sin6=1,r=L一Jsin26由4xy=1得,4r2cos6sin6=Lr=,2sin26所以Jj/(x,ylxdy=產(chǎn)f(rcos0,rsin0)rdrD彳©n28,15、設(shè)矩陣A=,b=d,假設(shè)集合C=1,2,那么線性方程組Ar=有無窮多個(gè)解的充分必要條件為A.任(C)【答案】D【考點(diǎn)】非齊次線性方程組的解法【難易度】1【詳解】Ab=I1a2d214-11J-

5、lAy=/?有無窮多解oR(A)=R(A,b)<3=.=1或=2且4=1或1=26、設(shè)二次型/對為小在正交變換工=4下的標(biāo)準(zhǔn)形為2城+式一£,其中P=q,62,%,假設(shè).=.,一彳,與,那么/芭,士,七在正交變換x=.'下的標(biāo)準(zhǔn)形為A2y；-y；+y；B2；+y-y；C2才-£-三D2y：+£+又【答案】A【考點(diǎn)】二次型【難易度】-200【詳解】由*=玲,故/=/4.丫=/'07P丫=2,；+££且：P,AP=01000-110Q=P000-11=PC.QrAQ=C1(P1AP)C=00-10所以/=,Ax=yT(QTAA

6、)y=2y；-,應(yīng)選7、假設(shè)A8為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,那么(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)(C)P(AB)J(A)+P(D)p(AB)A)+P22【答案】(C)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】vP(A)>P(AB),P(B)>P(AB)P(A)+P(B)>2P(AB)丁應(yīng)選©8、設(shè)隨機(jī)變量X,丫不相關(guān),且m=2,七丫=1,.乂=3,那么石(乂+丫2)=(A)-3(B)3(C)-5(D)5【答案】(D)【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】EX(X+r-2)=EX2+Xr-2X=£(X2)+£(Xr)-2E(X)=D(X

7、)+E2(X)+E(X)E(r)-2E(X)=5二、填空題：914小題,每題4分,共24分.請將答案寫在做題紙指定位置上.999八Incosx9、hni-=【答案】2【考點(diǎn)】極限的計(jì)算【難易度】1,加1-Incosx.ln(l+cosx-l).cos.v-1r?1詳解】lim；=lim=11m；=Inn=-/T)廠.(一15)X'lU2F/sinx-1+cosx+國&=2【答案】4【考點(diǎn)】積分的計(jì)算【難易度】【詳解】踴黑TkM=2良公11、假設(shè)函數(shù)z=zx,y由方程/+a>?+x+cosx=2確定,那么"z停尸.【答案】【考點(diǎn)】隱函數(shù)求導(dǎo)【難易度】【詳解】令尸乂

8、/=/+a>'Z+x+cosx-2,那么耳=yz+1-sinx,FJ=xz,F"=xy,又當(dāng)x=O,=l時(shí),Z=0,所以土=一二=一1,dx0.1F；12、設(shè)c是由平面x+,+z=l與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域,那么jjj(x+2y+3z)dxdydz,n【答案】-4【考點(diǎn)】三重積分的計(jì)算【難易度】【詳解】由輪換對稱性,得jjj(x+2y+3z)dxdydz=6JJzdxdydz=6.zdz(xdyww2其中2為平面z=z截空間區(qū)域W所得的截面,其面積為:(1-z)2.所以JJJ(x+2j,+3z)dxdydz=6JJJzdxdydz=6Qz>J-(1-z)-d

9、z=3Q(z5-2z2+zdz=ww24020222-12=20-12.00.13、n階行列式00【答案】2w+,-2【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算20.02-1202a=n002200-12【難易度】【詳解】按第一行展開得=2Dj+f-ir1=2D.+2/fl-J=2202+2+2=22&_2+22+2=2+2%.+2=2向-214、設(shè)二維隨機(jī)變量x,y服從正態(tài)分布ni,o,i,i,o,那么夕xy-y<o=【答案】-2【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】.一恤1,丫征0,1,且乂,丫獨(dú)立X-1N(0,l),PXY-Y<0=P(X-)Y<0=px-i<o,r>o+px-i&g

10、t;o,y<o=ix|+lxi=i三、解做題：1523小題,共94分.請將解答寫在做題紙指定位置上,解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)f(x)=x+an(+x)+bx-sinx,g(x)=Ax',假設(shè)/(x)與g(x)在X>0是等價(jià)無窮小,求b,值.【考點(diǎn)】等價(jià)無窮小量,極限的計(jì)算【難易度】【詳解】f(x)=x+aln(l+x)+bx-sinx-3"XTX/U.=x+ax一+ox+bx23')+4)X+一3+b卜2+.(丁,/(X)與g(X)=辰"是等價(jià)無窮小+a=0a=-1-+/?=0=12b=-2-=k3

11、k=-316、(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)在/(X)定義域/上的導(dǎo)數(shù)大于零,假設(shè)對任意的與eI,曲線),=/(X)在點(diǎn)(%,/(公)處的切線與直線X=%及X軸所圍成的區(qū)域的面積為4,且/(0)=2,求/*)的表達(dá)式*【考點(diǎn)】微分方程【難易度】【詳解】如以下圖：X=X0處的切線方程為/-y=/'(Xo)(X-Xo)+/(Xo),與x軸的交點(diǎn)為：丁=0時(shí),工=/一4匕那么口叫=察=*一小,/*0)/(與)因此,S=3a8|/(x0)=少叱/(%)=4.即滿足微分方程：:=1,解得:2Q又因y(0)=2,所以c=,故102/Vo)y81 1=X+C.y8dF=2(1+x)+2Ay+Ay=0ox

12、QF令<=2(1+y)+2Ay+Ax=0可得(1,1),(一1,一1),(2,-2),(1,2)§=/+丁2+盯-3=0其中z(l,l)=4,z(T,-l)=o,z(2-l)=9=Z(-192)綜上根據(jù)題意可知/x,y在曲線C上的最大方向?qū)?shù)為3.18、此題總分值10分【設(shè)函數(shù)x#x可導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)定義證實(shí)m(x)v(x)f=wf(x)v(x)+w(x)v(x),1【設(shè)函數(shù)10,2*>.露外可導(dǎo),/x=%x4xx,寫出/X的求導(dǎo)公式.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義【難易度】【詳解】IW(x)-v(x)=lim(X+%)y(X+%)-w(x)-v(x)Xh(X+%)-(x)V(X+aX)+

13、M(x)-v(x+,¥)-V(X)X=(X)u(x)+(x)v(x)(口)f(x)=%(x).M(x)%(x)=%(x)2(x)(x)+Wj(x)M(X)(X)=%(x)/(x)(x)+%(x)4(x).%(x)(x)=%x2XUnX+MIX.姓2X11+%X犯工明W19、(此題總分值10分)i一曲線L的方程為1=2一廠一廠,起點(diǎn)為40,也,0),終點(diǎn)為B(O,-點(diǎn),0),計(jì)算曲線積Z=x,分/=工(y+z)dx+(z2-x2+y)cly+(x2+y2)dz【考點(diǎn)】曲線積分的計(jì)算【難易度】x=cos8,【詳解】曲線L的參數(shù)方程為卜,=JIsin6,8從三到一三22Z=cosd,/=J

14、(y+z)dx+(z2-/+y)dy+(x2+y2)4z=JJ-(V?sin6+cos0)sin0+>/2sin6忘c(diǎn)os0-(cos26+2sin,6)sin0y10=L2s/2sin2+sin2-sin0-sin'010T2)££i/T=JV2sin2OdO=2jysin2OdO=272-=-$022220、(此題總分值11分)設(shè)向量組,%,%是3維向量空間及3的一個(gè)基,4=2q+2攵,4=2%,&=%+(攵+1)«3o(I)證實(shí)向量組4,外,四是肢3的一個(gè)基：(II)當(dāng)k為何值時(shí),存在非零向量J在基%,4,火與基丹,A,四下的坐標(biāo)相同,

15、并求出所有的.【考點(diǎn)】線性無關(guān),基下的坐標(biāo)【難易度】01、200k+J(2【詳解】(I)(4血血)=(%,%)0、2k201,2由于020=22k1=400所以4血血線性無關(guān),4A,A是唆的一個(gè)基.201、n設(shè)尸=o2o、2k0k+1,尸為從基%,4,見到基四,A,河的過渡矩陣,又設(shè)4在基%下的坐標(biāo)為=(%,"31,那么在基下,魚血下的坐標(biāo)為尸-匕由犬=夕-',得=即(P-E)x=0101由|尸一詞=0102k0k112kk=k=0,得4=0,并解得X=c110,.為任意常數(shù).<1)'02-3、<1-20、設(shè)矩陣A=-13-3相似于矩陣8=0Z?0Ja)1

16、031；從而J=-cq+c%c為任意常數(shù).21、(此題總分值11分)(I)求的值.02-3、1-20、【詳解】由人=-13-3相似于B=0b011-2U)1°3b(II)求可逆矩陣P,使得PTAP為對角陣.【考點(diǎn)】相似矩陣,相似對角化【難易度】2k0k+10+3+a=+b+0-111-2/A(/l)=12E-A1=21-1,解得.=4力=5-22-32332-4=(2-1)2(2-5)=0當(dāng)4=4=1,花一A=11-2-223、3一3,0<0-2003'0°,特征向量4=1苫2=0當(dāng)4=5,(2E-A)=那么特征向量&=一1,所以p=q&4=1

17、io-3-n00、0-1,得P"AP=01011JN.5,222、此題總分值11分設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為2vln2x>00x<0對x進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測,直到第2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)時(shí)停止,記y為觀測次數(shù).I求y的概率分布;II求EY.【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】p%>3=£rxdx=-i717(I)尸丫=公=.L()2()1=(攵_1)()2(產(chǎn)2«=2,3,4-.oooo(n)c等伙_拈?尸二玉("I)"K-264女.281*x112設(shè)級數(shù)5貫)=一»(左一1)3-2=»人=X64fe164GJ64(I"5()=16所以£丫=5(1)=1623、(此題總分值11分)設(shè)總體X的概率密度為1-0<x<X/(尤夕)=<1一夕0其他其中8為未知參數(shù),X,X2.X為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本.I求d的矩估計(jì).II求e的最大似然估計(jì).【考點(diǎn)】【難易度】【詳解】由題可得IEX=1x2a1+6>182,21+61g22Gln聯(lián)合概率密度/(xpx2,.sxn)=-J-<xr.<l(1一0)Inf=-n=>0,故取doie<9=minxpx2,-sxn最新文件僅供參考已改成word文本.方.便更改2'4-x17