線性代數(shù)行列式-習(xí)題課

1、 1212111212122212n121nnntnpppp ppnnnnaaaaaaDa aaaaa ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對(duì)表示對(duì)個(gè)排列的逆序數(shù)個(gè)排列的逆序數(shù)為這為這的一個(gè)排列的一個(gè)排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn .,)1(21212121的逆序數(shù)的逆序數(shù)為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn (1);(2);(3);(4):;(5);(6)TijiijijijijijDDrrrkrrkabcrkr）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)11

2、,;0,.,;0,.1,;0,.nkjkiijknjkikijkijD ijDijD ijDijijija Aa A 或或其其中中1 ) 余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng)列列中第中第）是把系數(shù)行列式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 由此可得由此可得（對(duì)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的對(duì)方程

3、個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的方程組來(lái)說(shuō)）方程組來(lái)說(shuō)）（1）若非齊次線性方程組無(wú)解或多解，則）若非齊次線性方程組無(wú)解或多解，則其系數(shù)行列式必為零。其系數(shù)行列式必為零。（2）若齊次線性方程組有非零解，則其）若齊次線性方程組有非零解，則其系系數(shù)行列式必為零。數(shù)行列式必為零。1、當(dāng)、當(dāng)i= ，j= 時(shí)，時(shí)，19的排列的排列1i25j4897為為奇排列；奇排列；2、四階行列式中，含有、四階行列式中，含有a11a23的項(xiàng)為的項(xiàng)為 ；3、如果行列式、如果行列式D中的零元素的個(gè)數(shù)大于中的零元素的個(gè)數(shù)大于n2-n個(gè)，則個(gè)，則D= ；4、若行列式每行元素之和為零，則、若行列式每行元素之和為零，則D= ；5.已知四階行列

4、式已知四階行列式D的第二列元素為的第二列元素為-1,2,0,1，它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為5,3,-7,4,則則D= 。 1112131111121321222321212223313233313132334236.1,423423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若若則則1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa 7、n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)= ；= ；8、已知四階行列式、已知四階行列式1224222214351427D Mij是元素是元素aij的余子式，則的余子式，則M41-M42+M43+M44= .9. 已知已知 121112

5、3111211xxxxxf 則則x3 的系數(shù)為的系數(shù)為 。 方法一：三角形法方法一：三角形法12111111(0)111ninaaDaa 例例1112111100naaaaa 11211221110000niiinacciianaaaaa 解：原式解：原式=111(1)nniiaaa 另解：原式另解：原式=1112221111111111111nnnnaaaaaaaaaaa 方法二：拆項(xiàng)法方法二：拆項(xiàng)法?？蠢？蠢?解：原式解：原式=112211011111011111111naaaaa 1211nnna aaa D12112212()nnnnna aaa a aaaD方法三：升級(jí)法方法三：升

6、級(jí)法。看例。看例1解：原式解：原式=11110 11011naa11111010naa 11211111110000niiincciianaaaa 222244441111abcdDabcdabcd 例例2 計(jì)算計(jì)算22222333334444411111( )abcdxabcdxf xabcdxabcdx 解：構(gòu)造解：構(gòu)造（這是一個(gè)范德蒙行列式）（這是一個(gè)范德蒙行列式）=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外另外f(x)按最后一列展開(kāi)，可得按最后一列展開(kāi)，可得2341525354555( )f xAA xA xA xA x 上

7、兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)相等。上兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)相等。而而D=-A45，故，故D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)方法四：降級(jí)法方法四：降級(jí)法。（行列式中某一行（列）只有一、（行列式中某一行（列）只有一、二個(gè)非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）二個(gè)非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）1221111100001000001nnnnnnnnxxDxaaaaxaxa xaxa 例例3 證明證明證法一：按最后一行展開(kāi)證法一：按最后一行展開(kāi)1211211 0000001000100( 1)( 1)0010011001000

8、00000( 1)( 1) ()0001000nnnnnn nn nxxDaaxxxxxxax ax =右邊右邊證法二：按第一列展開(kāi)，得證法二：按第一列展開(kāi)，得Dn=xDn-1+an再根據(jù)上面的遞推公式或數(shù)學(xué)歸納再根據(jù)上面的遞推公式或數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)果。法可得結(jié)果。1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxa xaaaax a 證證法法三三：按第一列展開(kāi)即可得結(jié)果。按第一列展開(kāi)即可得結(jié)果。證法四：從第一列開(kāi)始，前一列乘證法四：從第一列開(kāi)始，前一列乘1/x加加到后一列上去，化成下三角行列式到后一列上去，化成下三角行列式方法五遞推法方法五遞推法如例如例1的第二種

9、解法；例的第二種解法；例3的第二種解法的第二種解法方法六用數(shù)學(xué)歸納法方法六用數(shù)學(xué)歸納法例例4證明證明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD 證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開(kāi)開(kāi)按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對(duì)對(duì)的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn1cos100012cos100012cos00( 1)0002cos0

10、00011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosn nnD ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)論成立結(jié)論成立所以對(duì)一切自然數(shù)所以對(duì)一切自然數(shù)n.cos221DDDnnn 練習(xí)練習(xí)1、計(jì)算、計(jì)算.333222111222nnnDnnnn 解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2

11、)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin2、計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加

12、加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(222222221111113.111111aaaabbbbDccccdddd 1 abcd已知已知解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 212322 21 22 234.33 32 45 35443

13、57 43xxxxxxxxDxxxxxxxx 1121100011005.000100011nnnaaaDaaa 證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點(diǎn)點(diǎn)設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM 0,0,00.ax by cbx cy acx ay ba b c 證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的直直線線相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分必必要要條條件件是是例例4 4 . 0)()()( )(21(222 accbbacbabaca

14、cbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因?yàn)槿龡l直線互不相同因?yàn)槿龡l直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個(gè)個(gè)方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個(gè)個(gè)方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方

15、程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba例例6有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥每千克含克；乙種化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮克；丙種化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要克若把此三種化肥混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問(wèn)三種化克，問(wèn)三種化肥各需多少千克？肥各需

16、多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設(shè)甲、乙、丙三種化肥設(shè)甲、乙、丙三種化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥第一章第一章 測(cè)試題測(cè)試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3636分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1

17、 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個(gè)根的三個(gè)根是方程是方程設(shè)設(shè)行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四階行列式四階行列式 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)四階行列式設(shè)四階行列式的的符符號(hào)號(hào)為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數(shù)是的系數(shù)是中中在函數(shù)在函數(shù)321112 . 7xxxxxxxf 8. ,a bab若為實(shí)數(shù)則當(dāng)且時(shí)010100 abba1 2112 19. .nnn niii ii ii i排列可經(jīng)次對(duì)換后變?yōu)榕帕卸?、?jì)算下列行列式二、計(jì)算下列行列式( (每小題每小題1010分，共分，共2020分分) )0112210321011322211313211 . 15 DxzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齊次方程組齊次方程組取何值取何值問(wèn)問(wèn), 0200321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答題三、解答題(10(10分分)四、證明四、證明( (每小題每小題1212分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbba