線性代數(shù)各章要點整理

1、第一章行列式主要知識點一、行列式的定義和性質(zhì)1 .余子式竭,和代數(shù)余子式4的定義2 .行列式按一行或一列展開的公式ftI更1） -I-I1 ,丁卜邑2）用數(shù)k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù).推論4）如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等二、行列式的計算1 .二階行列式和三角形行列式的計算.2 .對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形（或?qū)切危┬辛惺降?/p>

2、計算3 .對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開4 .行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5 .范德蒙行列式的計算公式第二章矩陣主要知識點一、矩陣的概念1 .要分清矩陣與行列式的區(qū)別2 .幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運算1 .矩陣A,B的加、減、乘有意義的充分必要條件2 .矩陣運算的性質(zhì)比較矩陣運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點（加法、乘法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的公式的不同點）（力士5）'=幺?也8+朋+獷；

3、（力+為（2-3）=#+朋（AB）k=ABAB二4士2A+£3 .轉(zhuǎn)置對稱陣和反對稱陣1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（A±Bf=Ar±Br,伏利=戌H2）若AT=A（At=-A）,則稱A為對稱（反對稱）陣4 .逆矩陣1）方陣A可逆（也稱非異，非奇異，滿秩）的充分必要條件是I.44=&期4_。重要公式用二乂4=1£；#與a-1的關(guān)系2）方陣A的伴隨陣#的定義4曼（當(dāng)方陣a可逆時，從二1）3）重要結(jié)論：若n階方陣A,B滿足AB=E則A,B都可逆，且A-1=B,B-1=A.4）逆矩陣的性質(zhì)：（A-1）-1=文林）"=為t；（超尸=宜45）消去律：設(shè)方陣A可逆

4、，且AB=AC（BA=CA,則必有B=Co（若不知A可逆,僅知AWO結(jié)論不一定成立。）5 .方陣的行列式區(qū)卜陣|趙二利琳幽|二網(wǎng)跳斗心4，；團=即'6 .分快矩陣矩陣運算時分快的原則；分快矩陣的運算規(guī)則；分快矩陣的轉(zhuǎn)置444r4：MAi44止兒-發(fā)-q3.a.凡1凡（3'4?無一一相見4三、矩陣的初等變換和初等矩陣1 .初等變換的定義和性質(zhì)方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能£0-將矩陣A化為標(biāo)準(zhǔn)形°，其中r為矩陣A的秩.

5、2 .初等矩陣的定義和性質(zhì)1）初等矩陣的定義2）初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3）對彳E意mxn階矩陣A,總存在一系列m階初等陣凡&禺和一系列n階初等陣必使得國。1月旦,YHQ1aQ產(chǎn)；八四、矩陣的k階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法五、矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形及解的公式斯二二力-1反XA=BX=B其用=8=>兄=矛睡1第三章向量空間主要知識點一、n維向量線性運算白定義和性質(zhì)；設(shè)Q，%廣，&是一組n維向量構(gòu)成的向量組。如果存在一組不全為零的數(shù)4使得4洶+4%+4%二。則稱向量組線性相關(guān)。否則，稱向量組電跖q線性無關(guān)。二、n維向量組的線性相關(guān)性1 .向量組的線性相關(guān)性的定義和關(guān)于線

6、性相關(guān)的幾個定理；(1) m個n維向量即，4(滿之力線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個q是其余向量的線性組合.')線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合如果向量組Q，跖，&線性無關(guān)，而£線性相關(guān)，則3可由線性表示，且表示法唯一.(3)線性相關(guān)的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關(guān).(部分相關(guān)，則整體相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān))若向量組4=(41岡?，*1/)/=12*一,兩線性無關(guān)，則接長向量組育=(的修力儲藤修(利)，i=LZ，耀必線性無關(guān).2 .判斷向量組的線性相關(guān)性的方法(1) 一個向量a線性相關(guān),(2)含有零向量的向量組

7、必線性相關(guān)；(3)向量個數(shù)=向量維數(shù)時，n維向量組4線性相關(guān)引小四的-訃0；(4)向量個數(shù)>向量維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)；(5)若向量組的一個部分組線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)；(6)若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；(7)向量組線性無關(guān)Q向量組的秩=所含向量的個數(shù)，向量組線性相關(guān)Q向量組的秩所含向量的個數(shù)；(8)向量組線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是齊次方程組工遇+&%+/1=Q有(沒有)非零解.三、向量組的極大無關(guān)組及秩1 .極大無關(guān)組的定義2 .向量組的秩求向量組的秩和極大無關(guān)組，并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下

8、的坐標(biāo)第四章線性方程組、線性方程組的三種表示方法產(chǎn)mi的+生柩巧+-+&Jr=%0ii(2).4x=B,其中/=_/l（3）毛,+毛+%=二、齊次線性方程組1 .齊次方程組解的性質(zhì)設(shè)a,3都是Ax=0的解，則Ga+C23也是Ax=0的解（C,G為任意常數(shù)）2 .齊次方程組有非零解的條件3 ）齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是r（A）未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣A的列數(shù)）.2）n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組AX0有非零解的充分必要條件是|A|=0.3）設(shè)A是mxn階矩陣.若m<n,則齊次方程組AX0必有非零解.（這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要）3.齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊

9、次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的概念重要結(jié)論：齊次方程組AX0的任意n-r（A）個線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；2）齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的求法3）齊次方程組AX=0的通解公式三、非齊次方程組1 .非齊次方程組解的性質(zhì)（1）設(shè)Y1,Y2都是Ax=b的解，則Y1Y2是它的導(dǎo)出組Ax=0的解.（2）設(shè)刀1,刀2都是Ax=b的解，則當(dāng)k1+k2=1時，kf1+k2rl2也是Ax=b的解.（3）設(shè)刀是Ax=b的一個解，6是它的導(dǎo)出組Ax=0的解，則E+乃是Ax=b的解.2 .關(guān)于非齊次方程組解的討論定理：n個未知數(shù)，m個方程的線性方程組AX3中，（系數(shù)矩陣A是mxn階矩陣）工土戶是增廣矩

10、陣.則1）當(dāng)且僅當(dāng)r（用=/（*）=即（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組AX3有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)尸（無=«用<"（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組AU3有無窮多解;3）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程組AX=3無解.從以上定理可見1）線性方程組AX=3有解的充分必要條件是尸=»（/）.2）當(dāng)線性方程組在3方程的個數(shù)=未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|w0.3 .非齊次方程組AX3的通解的結(jié)構(gòu)丈=才+。盍+G身+T其中/是方程AX3的一個特解，r=r（A）為系數(shù)矩陣的秩，亂菰為它的導(dǎo)出組（與它對應(yīng)的）齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系；第五章特征值與特征向量主要知識

11、點一、特征值與特征向量1 .特征值與特征向量的定義要點：入是n階方陣A的特征值，是指存在非零向量a,使得Aa=X”這時，稱a為矩陣A屬于特征值入的特征向量.由此知，入是n階方陣A的特征值0區(qū)正一聞二。，這時，齊次方程組（入E-A）x=0的非零解都是矩陣A屬于特征值入的特征向量.2 .關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1） AT與A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)ai,a2都是矩陣A屬于特征值入的特征向量，ki,k2是數(shù)，只要用藥+用則kia1+k2a2也是矩陣A屬于特征值入的特征向量；3）設(shè)n階方陣A的n個特征值為入1,入2,，入n,則Q）4+4+。心小a曲；4%=4=國4）矩陣A屬于

12、不同特征值的特征向量線性無關(guān)；5）設(shè)a是矩陣A屬于特征值入的特征向量，則a是矩陣f（A）屬于牛1征值f（入）的特征向量，其中/（X）=婚+限/一】+F/.£6）設(shè)入是可逆矩陣A的特征值.則入W0,且刃是矩陣A的特征值.3 .特征值、特征向量的求法二、相似矩陣1 .相似矩陣的定義2 .相似矩陣的性質(zhì)1）反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣A與B相似，則聞=間，且配4=仁8=A+&+4,trA表示矩陣A的跡，即d4=%十%+口叫入1入2,，入n為方陣A的n個特征值；3）若方陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；1or1工/二產(chǎn)B=注

13、意：反之，若A與B有相同的特征值，A與B不一定相似；例如J。11-有相同的特征值，但A與B不相似.3.方陣A的對角化問題1）n階方陣A能與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量；設(shè)入1,入2,，入n是方陣A的n個特征值，pi,P2,，pn依次是方陣A的屬于特征值入1,入2,，入n的n個線性無關(guān)的特征向量.若令尸=EPiP«,則2）若方陣A有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能與對角陣相似.（這是A能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）三、向量的內(nèi)積和正交矩陣1.向量內(nèi)積的定義:設(shè)2 .向量的長度4 .正交向量組的定義及其性質(zhì)5 .施密特正交化手續(xù)6 .正交矩

14、陣1）正交矩陣的定義；如果n階方陣A滿足AA=E,則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)方陣A為正交陣，則|A|=±1;A必可逆，且A1=AT;如果A,B都是n階正交陣，則AB也是正交陣；A是正交陣的充分必要條件是A的列（行）向量組構(gòu)成R的標(biāo)準(zhǔn)正交基.四.實對稱矩陣1 .實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2 .實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3 .實對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣P,使得P-1AP為對角形.4 .任給實又稱陣A,如何求出正交陣P,使得P-1AP為對角形.第六章實二次型、二次型及其矩陣表示、矩陣的合同三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1）定理對任意實二次型和巧本，總存在正交變換x=Py,使得該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型其中入1,入2,，入n為實對稱矩陣A的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣A,總存在正交陣P,使得飛。一0外p=»00志-一其中入1,入2,，入n為實對稱矩陣A的n個特征值.（即實對稱矩陣A必能與對角陣14oo040A=.,00-鼻合同.2）要掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法4 .配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.5 .慣性定律6 .正定二次型與正定矩陣1）定義2）二次型正定（方陣正定）的充