數(shù)學(xué)建模題(乒乓球賽)

1、東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模一周論文論文題目： 乒乓球賽問(wèn)題 姓名1：夏國(guó)圖 學(xué)號(hào)：201410040128姓名2：蔡鵬澤 學(xué)號(hào)：201410040103姓名3：呂玉林 學(xué)號(hào)：201410040131專 業(yè)：核工程與核技術(shù)班 級(jí)：1410401指導(dǎo)教師： 黃 濤 2016年1月7日摘要 “乒乓球賽”數(shù)學(xué)模型是根據(jù)參賽人出場(chǎng)順序不同，來(lái)探討如何有效地獲取最大幾率的勝利。就我們所知道的，在奧運(yùn)會(huì)中，乒乓球賽是以五局三勝制來(lái)決定勝負(fù)，因?yàn)槲寰秩齽僦聘荏w現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員的綜合能力。如何最大可能獲取勝利，是每個(gè)隊(duì)共同追求的，建立乒乓球模型，可以幫助我們更快解決這一難題，乒乓球的建模問(wèn)題可以與數(shù)學(xué)的建模問(wèn)題聯(lián)合起來(lái)。以

2、“五局三勝制”進(jìn)行乒乓球賽，雖然兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，但不同的出場(chǎng)順序可能導(dǎo)致不同的結(jié)果，所以合理的安排是取得成功的關(guān)鍵。題中所給矩陣也只是打滿五局A隊(duì)獲勝的預(yù)測(cè)結(jié)果。根據(jù)矩陣來(lái)說(shuō)明兩隊(duì)實(shí)力的強(qiáng)弱，不同的出場(chǎng)方案會(huì)有不同的結(jié)果。當(dāng)站在A隊(duì)的角度，分析采取不同的出場(chǎng)方案。對(duì)“五局三勝制”的乒乓球賽，我們進(jìn)行了假設(shè)、分析、建模、解模。A隊(duì)以i次序出場(chǎng)、B隊(duì)以j次序出場(chǎng)時(shí)，設(shè)這時(shí)A隊(duì)每一局比賽獲勝的概率是一個(gè)不變的常數(shù)，并且假設(shè)各局是否獲勝是相互獨(dú)立的，因此需要對(duì)五場(chǎng)比賽各隊(duì)的輸贏情況進(jìn)行列舉，比較雙方的實(shí)力。從矩陣中可知，A隊(duì)以i次序出場(chǎng)而B隊(duì)以j次序出場(chǎng)，則打滿5局A隊(duì)可勝局，A、B兩支隊(duì)伍實(shí)力的強(qiáng)弱與

3、勝利的次數(shù)有關(guān)，由A隊(duì)在5局比賽中獲勝的概率分布為： , k=0,1,2,3,4,5 ,然后計(jì)算五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率：在矩陣中A隊(duì)以i次序出場(chǎng)、B隊(duì)以j次序出場(chǎng)時(shí)，在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率。建模目的：通過(guò)兩支乒乓球隊(duì)過(guò)去所比賽勝負(fù)的記錄來(lái)預(yù)測(cè)將要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝制的比賽的勝負(fù)情況，并對(duì)該預(yù)測(cè)方式的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，最后以本次預(yù)測(cè)方式為基礎(chǔ)，對(duì)乒乓球比賽賽制方式進(jìn)行分析點(diǎn)評(píng)以及提出了一些新的比賽方式。問(wèn)題重述1. 背景： 兩隊(duì)乒乓球比賽，由于各隊(duì)員的不同出場(chǎng)順序也是不同，導(dǎo)致比賽的結(jié)果也不同。基于以上問(wèn)題，討論不同隊(duì)員出場(chǎng)順序比賽對(duì)于比賽結(jié)果的影響。2. 問(wèn)題： A、B兩

4、乒乓球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝制的乒乓球賽，兩隊(duì)各派3名選手上場(chǎng)，并各有3種選手的出場(chǎng)順序（分別記為 和）。根據(jù)過(guò)去的比賽記錄，可以預(yù)測(cè)出如果A隊(duì)以次序出場(chǎng)而B隊(duì)以次序出場(chǎng)，則打滿5局A隊(duì)可勝局。由此得矩陣如下：（1） 根據(jù)矩陣R 能看出哪一隊(duì)的實(shí)力較強(qiáng)嗎？（2） 如果兩隊(duì)都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？（3） 如果你是A隊(duì)的教練，你會(huì)采取何種出場(chǎng)順序？（4） 比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測(cè)方式有何優(yōu)缺點(diǎn)？ 問(wèn)題分析    乒乓球比賽對(duì)陣雙方誰(shuí)獲勝可以看作是概率問(wèn)題。根據(jù)題目意思，兩隊(duì)各派3名選手上場(chǎng)，并各有

5、3種出場(chǎng)順序（分別記為和）。而且根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)給出了打滿5局A隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)構(gòu)成的矩陣（如題圖）。我們可以通過(guò)這個(gè)矩陣求出在雙方某種出場(chǎng)順序下，A隊(duì)每一局獲勝的概率，并求出對(duì)應(yīng)矩陣。由于是五局三勝制，獲勝情況包括：1.前三局獲勝，整場(chǎng)結(jié)束。 2.打完四局后才結(jié)束，即前三局只贏了兩局。 3.打完第五局后才結(jié)束，即前四局只贏了兩局。我們進(jìn)而可以求出整場(chǎng)比賽下來(lái)，A隊(duì)獲勝的概率。      對(duì)于問(wèn)題一，我們可以通過(guò)比較對(duì)陣雙方在各種出場(chǎng)順序情況下，贏得整場(chǎng)比賽的概率平均值來(lái)判斷哪一方的實(shí)力更強(qiáng)。    &

6、#160; 對(duì)于問(wèn)題二，我們可以求出每隊(duì)在選擇某一出場(chǎng)順序下，贏得整場(chǎng)比賽的概率，這其實(shí)可以看成是條件概率的問(wèn)題。概率平均值大的即為所求的穩(wěn)妥方案。例如A隊(duì)選擇a1出場(chǎng)方案的情況下贏得整場(chǎng)比賽的概率，求出在B隊(duì)以各種出場(chǎng)方案情況下，A隊(duì)獲勝概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情況下大，則對(duì)A隊(duì)來(lái)說(shuō)，a1方案即為穩(wěn)妥方案。在這里，還要求出B隊(duì)的各種矩陣。  對(duì)于問(wèn)題三，與問(wèn)題二類似，較為穩(wěn)妥的方案即為所要的方案。 對(duì)于問(wèn)題四，由于比賽存在還沒(méi)有打滿五場(chǎng)就結(jié)束的情況，因?yàn)楸荣愂遣扇∥寰秩齽僦频?，如果在還沒(méi)打完五局的情況下比賽就結(jié)束了，那么接下來(lái)的比賽就沒(méi)有進(jìn)行下去的必要了。

7、模型的假設(shè)和約定1. 假設(shè)各隊(duì)的隊(duì)員都正常發(fā)揮。2. 不考慮外界因素對(duì)于各隊(duì)員發(fā)揮的影響。3. 雙方各隊(duì)員的出場(chǎng)順序都互補(bǔ)影響，相互獨(dú)立。符號(hào)說(shuō)明 ：A隊(duì)的選手：B隊(duì)的選手：A隊(duì)獲勝的概率 ：A隊(duì)最后獲勝的概率：在打滿5局，A隊(duì)可勝局?jǐn)?shù)的矩陣。： 在打滿5局，B隊(duì)可勝局?jǐn)?shù)的矩陣。: 在打滿5局，A隊(duì)每局可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，A隊(duì)最終可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，B隊(duì)每局可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，B隊(duì)最終可勝概率的矩陣。模型的建立A隊(duì)打滿五局時(shí)A隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)局的矩陣已知：由此我們可知B隊(duì)打滿五局時(shí)B隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)局的矩陣如下：對(duì)于A隊(duì)，由R矩陣可以求得矩陣R1，= 同理對(duì)于B隊(duì)：

8、 比賽是五局三勝制，要在五局三勝制比賽中最后獲勝，才是真正獲勝。 下面我們來(lái)計(jì)算在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率：一、A隊(duì)最后獲勝，可以分成下列幾種情況：令（1）A隊(duì)前三局獲勝。這種情況的概率為 ；(圖中為A隊(duì)贏)贏贏贏（2）在前三局中A隊(duì)勝二局，B隊(duì)勝一局，第四局A隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為；贏贏輸贏贏輸贏贏輸贏贏贏（3）在前四局中A隊(duì)勝二局，最后A隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為；贏贏輸輸贏贏輸贏輸贏贏輸輸贏贏輸贏贏輸贏輸輸贏贏贏輸贏輸贏贏把這三種情況加起來(lái)，就得到在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率 。將 各數(shù)值代入上式，可以計(jì)算出A隊(duì)最后獲勝的一個(gè)矩陣二、對(duì)于B隊(duì)，最后獲勝，可以分成

9、下列幾種情況：令;同理由上可知B隊(duì)獲勝情況可分為三種。（1）B隊(duì)前三局獲勝。這種情況的概率為 ；（2）在前三局中B隊(duì)勝二局，A隊(duì)勝一局，第四局B隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為 ；（3）在前四局中B隊(duì)勝二局，最后B隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為 ；把這三種情況加起來(lái)，就得到在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率 。將 各數(shù)值代入上式，可以計(jì)算出B隊(duì)最后獲勝的一個(gè)矩陣。問(wèn)題1： 最后平均獲勝概率為：A隊(duì) B隊(duì) 取p1,p2中大者所屬隊(duì)即為實(shí)力更強(qiáng)的。問(wèn)題2： 對(duì)于A隊(duì)，若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝概率為； 若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝概率為； 若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝概率為； 對(duì)于B隊(duì)，若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝

10、概率為 ； 若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝概率為 ； 若選用出場(chǎng)順序，平均獲勝概率為 ； 穩(wěn)妥方案即為選平均獲勝概率最大的那種出場(chǎng)方案。 即：A隊(duì)選用，中較大的那種出場(chǎng)順序。 B隊(duì)選用，中較大的那種出場(chǎng)順序。問(wèn)題3： 此問(wèn)題類似問(wèn)題2，選用較為穩(wěn)妥的方案即是。問(wèn)題4：此問(wèn)題將在模型優(yōu)缺點(diǎn)分析中講述。 模型求解問(wèn)題1： 依題目所給的數(shù)據(jù)，, 。 問(wèn)題2： 依題目A隊(duì)所給的數(shù)據(jù)， 所以A隊(duì)最穩(wěn)妥的方案是出場(chǎng)順序。 依題目B隊(duì)所給的數(shù)據(jù) 所以B隊(duì)最穩(wěn)妥的出場(chǎng)順序是出場(chǎng)順序。所以當(dāng)A隊(duì)以，B隊(duì)以出場(chǎng)順序，時(shí)，找到對(duì)應(yīng)的R2，或者Q2矩陣，得知，最終將是A隊(duì)獲勝。問(wèn)題3： 由問(wèn)題2，知在穩(wěn)妥的方案下，A隊(duì)獲勝

11、的概率為1，所以會(huì)選用以 的出場(chǎng)順序參賽。問(wèn)題4： 此問(wèn)題將在模型優(yōu)缺點(diǎn)分析中講述。模型優(yōu)缺點(diǎn)分析比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測(cè)方式優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)： 雖是在打滿五局的情況下得到的，但是可以推測(cè)兩隊(duì)的實(shí)力情況，進(jìn)而指導(dǎo)出場(chǎng)方案。缺點(diǎn)： 這只是在打滿五局的情況下得到的，并不符合實(shí)際參賽規(guī)格，因此以上處理也僅供參考，但并不能完全憑借。 建模的推廣及進(jìn)一步討論 數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會(huì)的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來(lái)越豐富。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)對(duì)推動(dòng)素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教

12、育中的地位被提到了新的高度，通過(guò)數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。眾所周知，任何項(xiàng)目的體育比賽，其結(jié)果都會(huì)受到許多有關(guān)因素的影響，而這些因素又可以分為兩類：一類是隨機(jī)因素，例如參賽各方的臨場(chǎng)發(fā)揮，比賽時(shí)的天氣情況等；另一類是確定性因素，例如參賽各方的總體實(shí)力，比賽所采用的規(guī)則、賽制等。由于隨機(jī)因素是人們無(wú)法控制的，所以人們總是在確定性因素例如比賽規(guī)則方面經(jīng)常改進(jìn)，以使得比賽更加精彩合理。作為體育賽事的組織者，除了盡可能地使參賽各方在平等條件下進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)之外，很重要的目標(biāo)之一就是設(shè)法使比賽結(jié)果最大限度地體現(xiàn)出各隊(duì)的真實(shí)水平。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，就是要使得比賽中強(qiáng)隊(duì)獲勝的概率達(dá)到最大。就比賽中采用

13、的規(guī)則而言，許多項(xiàng)目的比賽經(jīng)常采用五局三勝制。而在“乒乓球賽”數(shù)學(xué)模型是通過(guò)參賽人出場(chǎng)順序來(lái)探討如何有效地獲取更大幾率的勝利，在奧運(yùn)會(huì)中，乒乓球賽是以五局三勝制來(lái)決定勝負(fù)，五局三勝制更能體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員的綜合能力, 乒乓的建模問(wèn)題與數(shù)學(xué)的建模問(wèn)題聯(lián)合起來(lái)看的，可以通過(guò)以往的經(jīng)驗(yàn)，在憑借以往的數(shù)據(jù)上通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)對(duì)方和自身的實(shí)力，這樣從而更好指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)中生活，有計(jì)劃、準(zhǔn)備的訓(xùn)練隊(duì)員，這在現(xiàn)實(shí)生活中是非常有必要的。 針對(duì)其他賽事，如網(wǎng)球，排球，以及其他的，我們也可以采取上述類似的方案，建立相應(yīng)的模型，從而找到優(yōu)解。 九、參考文獻(xiàn)【1】陳汝棟,于延榮. 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模（第2版）國(guó)防工業(yè)出版社2009.5 【2】羅萬(wàn)成. 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選 M.成都：西南交通大學(xué)出版社，2007。 【3】李尚志. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽教程 M.江蘇：江蘇教育出版社 1996 【4】馬莉. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模清華大學(xué)出版社 2010.1 【5】百度文庫(kù)。4、 附錄數(shù)學(xué)建模評(píng)分表學(xué)生姓名：_、_、_ 班級(jí)：_學(xué)號(hào)：數(shù)學(xué)建模題目：項(xiàng)目?jī)?nèi)容滿分實(shí)評(píng)選題能結(jié)合所學(xué)課程知識(shí)、有一定的能力訓(xùn)練。符合選題要求。（3人一題）5工作量適中，難易度合理10能力水平能熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，有一定查閱文獻(xiàn)及運(yùn)用文獻(xiàn)資料能力10理論依據(jù)充分，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，公式推導(dǎo)正確10能編程，資料搜集錄入、加