特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(二)

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項（二） 三、(分式遞推式)定理3：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中例3、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例5已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理

2、2的第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當(dāng)4，時，.(3)令則對于(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，則有令則得且2.當(dāng)（其中且N2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時，無窮數(shù)列都不存在.練習(xí)題：求下列數(shù)列的通項公式：1、 在數(shù)列中，求。（key：）2、 在數(shù)列中，且，求。（key：）3、 在數(shù)列中，求。（key：）4、 在數(shù)列中，求。（key：）5、 在數(shù)列中，求。（key：）6、 在數(shù)列中，且.求.（key：時，；時，）7、 在數(shù)列中，（是非0常數(shù)）.求.（ke

3、y： ()； ）()8、在數(shù)列中，給定，.求.(key:；若，上式不能應(yīng)用，此時，附定理3的證明定理3(分式遞推問題)：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則 是特征方程的根，將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是 當(dāng)，即=時，由式得故當(dāng)即時，由、兩式可得此時可對式作如下變化： 由是方程的兩個相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.其中當(dāng)時，當(dāng)存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個相異的根、，其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得 由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對