馬柯維茨均值-方差模型

1、馬柯維茨均值-方差模型在豐富的金融投資理論中，組合投資理論占有非常重要的地位，金融產(chǎn)品本質上各種金融工具的組合?，F(xiàn)代投資組合理論試圖解釋獲得最大投資收益與避免過分風險之間的基本權衡關系，也就是說投資者將不同的投資品種按一定的比例組合在一起作為投資對象，以達到在保證預定收益率的前提下把風險降到最小或者在一定風險的前提下使收益率最大。從歷史發(fā)展看，投資者很早就認識到了分散地將資金進行投資可以降低投資風險，擴大投資收益。但是第一個對此問題做出實質性分析的是美國經(jīng)濟學家馬柯維茨(Markowitz)以及他所創(chuàng)立的馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論。1952年馬柯維茨發(fā)表了證券組合選擇，標志著證券組合理論的正式誕生

2、。馬柯維茨根據(jù)每一種證券的預期收益率、方差和所有證券間的協(xié)方差矩陣，得到證券組合的有效邊界，再根據(jù)投資者的效用無差異曲線，確定最佳投資組合。馬柯維茨的證券組合理論在計算投資組合的收益和方差時十分精確，但是在處理含有較多證券的組合時，計算量很大。馬柯維茨的后繼者致力于簡化投資組合模型。在一系列的假設條件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等學者推導出了資本資產(chǎn)定價模型，并以此簡化了馬柯維茨的資產(chǎn)組合模型。由于夏普簡化模型的計算量相對于馬柯維茨資產(chǎn)組合模型大大減少，并且有效程度并沒有降低，所以得到了廣泛應用。1 模型理論經(jīng)典馬柯維茨均值-方差模型為：其中，；是第i種資產(chǎn)的預

3、期收益率；是投資組合的權重向量；是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；和分別是投資組合的期望回報率和回報率的方差。點睛：馬柯維茨模型以預期收益率期望度量收益；以收益率方差度量風險。在教課書中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的均值作為未來期望收益率，可能會造成“追漲的效果”，在實際中這些收益率可能是由研究員給出；在計算組合風險值時協(xié)方差對結果影響較大，在教課書中通常以資產(chǎn)的歷史收益率的協(xié)方差度量資產(chǎn)風險與相關性，這種計算方法存在預期誤差，即未來實際協(xié)方差矩陣與歷史協(xié)方差矩陣間的存在偏差。例1以華北制藥、中國石化、上海機場三只股票，如何構使用馬柯維茨模型構建投資組合模型？資產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表：表2.1 三只股票的日回報率、風

4、險數(shù)據(jù)及協(xié)方差矩陣收益率均值(%)收益率標準差(%)協(xié)方差矩陣（×0.0001）華北制藥0.05402.305.27 2.80 1.74中國石化0.02752.062.80 4.26 1.67上海機場0.02361.701.74 1.67 2.902 收益與風險計算函數(shù) portstats函數(shù)計算公式：其中，；是第i種資產(chǎn)的預期回報率；是投資組合的權重向量；是n種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣；和分別是投資組合的期望回報率和回報率的方差。函數(shù)語法：PortRisk, PortReturn = portstats(ExpReturn, ExpCovariance, PortWts)輸入?yún)?shù)：Exp

5、Return：資產(chǎn)預期收益率ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣PortWts：資產(chǎn)權重輸出參數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風險（標準差）PortReturn：資產(chǎn)組合預期收益（期望）例：在例1中，假設等權重配置華北制藥、中國石化、上海機場，則資產(chǎn)組合的風險與收益為多少？ M文件：Portstatstest.mExpReturn = 0.000540 0.000275 0.000236; ExpCovariance = 0.0001* 5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ;PortWts=1/3*ones(1,3);PortRi

6、sk, PortReturn = portstats(ExpReturn, ExpCovariance,PortWts)>>PortRisk = 0.016617PortReturn = 3.5033e-004注釋： ones(n,m)為生產(chǎn)元素都為1的n×m矩陣, ones(1,3)=1,1,1. PortWts=1/3*1,1,1=1/3, 1/3, 1/33 有效前沿計算函數(shù)馬柯維茨均值-方差模型為經(jīng)典的帶約束的二次優(yōu)化問題，在給定期望收益時，方差最小解唯一(可行解域為凸)，frontcon使用，matlab優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)進行求解，fmincon函數(shù)

7、說明請參看附錄。frontcon函數(shù)算法：給定計算相應風險最小的組合，即得到有效前沿上一點（有效組合），給定一系列可以有效描繪出有效前沿。組合的收益介于單個資產(chǎn)的最大收益與最小收益之間，例如示例中最大收益為0.0540%、最小收益為0.0236%，為根據(jù)NumPorts在最大收益與最小收益間進行等分即可。函數(shù)語法：PortRisk, PortReturn, PortWts = frontcon(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, AssetBounds, Groups, GroupBounds, varargin)輸入?yún)?shù)：ExpRe

8、turn：資產(chǎn)預期收益率；ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣；NumPorts：（可選）有效前沿上輸出點的個數(shù)，默認為10；PortReturn：（可選）給定有效前沿上輸出回報點個數(shù)；AssetBounds：（可選）每種資產(chǎn)權重的上下限，例如，上海機場的最大持倉比例為10%；Groups：（可選）資產(chǎn)分組，Groups（i,j）=1表示第j個資產(chǎn)屬于第i個群（例如，行業(yè)）；GroupBounds：每個資產(chǎn)群約束(例如，某個行業(yè)配置能超過20%)輸出函數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風險（標準差）PortReturn：資產(chǎn)組合預期收益（期望）PortWts：資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)權重例: 在例

9、1中，如何配置華北制藥、中國石化、上海機場，則資產(chǎn)組合為有效組合？ M文件：frontcontest.m程序源碼：ExpReturn = 0.000540 0.000275 0.000236; ExpCovariance =0.0001* 5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ;NumPorts =10;PortRisk, PortReturn, PortWts = frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts)>> PortRisk =1.0e-002* 1.5653 1.5759 1

10、.6074 1.6586 1.7277 1.8128 1.9129 2.0284 2.1567 2.2956PortReturn = 1.0e-003 * 0.2843 0.3127 0.3411 0.3695 0.3980 0.4264 0.4548 0.4832 0.5116 0.5400PortWts = 0.1274 0.2456 0.6270 0.2270 0.1979 0.5751 0.3265 0.1503 0.5232 0.4261 0.1026 0.4713 0.5257 0.0549 0.4194 0.6253 0.0072 0.3675 0.7196 0 0.2804 0

11、.8131 0 0.1869 0.9065 0 0.0935 1.0000 -0.0000 0.0000 圖1 投資組合有效前沿圖直接運行frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts)則可畫出圖1；如果各個資產(chǎn)投資上限為50%，求解有效前沿？程序源碼：ExpReturn = 0.000540 0.000275 0.000236; ExpCovariance = 0.0001* 5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ;NumPorts =10;AssetBounds=0,0,0;0.5,0.5,0.5

12、%設置資產(chǎn)上限PortRisk, PortReturn, PortWts = frontcon(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts,AssetBounds)計算結果：1.0e-002*PortRisk = 1.5818 1.5842 1.5914 1.6034 1.6200 1.6408 1.6649 1.6920 1.7412 1.9449PortReturn = 1.0e-003 * 0.3024 0.3140 0.3257 0.3374 0.3491 0.3608 0.3725 0.3841 0.3958 0.4075PortWts = 0.1768 0.

13、3232 0.5000 0.2209 0.2791 0.5000 0.2650 0.2350 0.5000 0.3091 0.1909 0.5000 0.3532 0.1468 0.5000 0.3954 0.1173 0.4873 0.4363 0.0977 0.4660 0.4773 0.0781 0.4446 0.5000 0.2005 0.2995 0.5000 0.5000 0.00004 約束條件下有效前沿在實際構建投資組合時候要考慮到合法合規(guī)或者風險管理等限制條件，這樣會給組合構建帶來約束，例如基金“雙百分只十規(guī)則”：基金投資于一證券的市值不能超過基金資產(chǎn)的10%，基金投資于一上

14、市公司股票不能超過該公司市值的10%；Matlab求解約束條件下有效前沿的為portopt函數(shù)；函數(shù)語法：PortRisk, PortReturn, PortWts = portopt(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, ConSet, varargin)輸入?yún)?shù)：ExpReturn：資產(chǎn)預期收益率ExpCovariance：資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣NumPorts：（可選）有效前沿上輸出點的個數(shù)，默認為10PortReturn：（可選）給定有效前沿上輸出點回報ConSet：組合約束，一般通過portcons進行設置Varargin: 主要為

15、優(yōu)化算法中的一些參數(shù)輸出函數(shù)：PortRisk：資產(chǎn)組合風險（標準差）PortReturn：資產(chǎn)組合預期收益（期望）PortWts：資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)權重注釋：portcons函數(shù) ConSet = portcons(varargin)portcons該函數(shù)比較復雜，本書使用舉例的方式進行說明。例如:例配置華北制藥、中國石化、上海機場三個資產(chǎn)，華北制藥最大配置50%，中國石化最大配置90%，上海機場最大配置80%，華北制藥為資產(chǎn)集合A，中國石化、上海機場組成資產(chǎn)計劃B，集合A的最大配置為50%，集合B的最大配置為80%，集合A的配置不能超過集合B的1.5倍，則如何配置。M文件為portoptte

16、st.M約束條件設置如下：AssetNum=3；資產(chǎn)數(shù)量三個PVal = 1; 配置比例，100%表示滿倉配置，若80%，則設PVal = 0.8; AssetMin = 0; 各資產(chǎn)最低配置AssetMax = 0.5 0.9 0.8; 各資產(chǎn)最高配置GroupA = 1 0 0; 資產(chǎn)集合A（例如，行業(yè)）GroupB = 0 1 1; 資產(chǎn)集合B（例如，行業(yè)）GroupMax = 0.50,0.80; 資產(chǎn)集合A最大配置50%，B最大80%AtoBmax = 1.5; 集合A的配置不能超過集合B的1.5倍ConSet = portcons('PortValue', PVal

17、, NumAssets,'AssetLims',. AssetMin, AssetMax, NumAssets, 'GroupComparison',GroupA, NaN,. AtoBmax, GroupB,GroupMax );M編程求解：NumAssets = 3;ExpReturn = 0.000540 0.000275 0.000236; ExpCovariance = 5.27 2.80 1.74; 2.80 4.26 1.67; 1.74 1.67 2.90 ;NumPorts =5;PVal = 1; AssetMin = 0;AssetMax

18、= 0.5 0.9 0.8;GroupA = 1 0 0;GroupB = 0 1 1;GroupMax = 0.50,0.8;AtoBmax = 1.5;ConSet = portcons('PortValue', PVal, NumAssets,'AssetLims',. AssetMin, AssetMax, NumAssets, 'GroupComparison',GroupA, NaN,. AtoBmax, GroupB,GroupMax );PortRisk, PortReturn, PortWts = portopt(ExpReturn, ExpCovariance,. NumPorts, , ConSet)>> PortRisk =1.0e-002* 1.5653 1.5778 1.6147 1.6744 1.9449PortReturn = 1.0e-003 * 0.2843 0.3151 0.3459 0.3767 0.4075PortWts = 0.1274 0.2456 0.6270 0.2353 0.1939 0.5707 0.3433 0.1423 0.5145 0.4512 0.0906 0.4582 0.5000 0.5000 0