常微分方程A卷及答案

1、考生答題不得超此線安 慶 師 范 學(xué) 院常微分方程A卷得分一、判斷題（8分，每題2分） 1、階常微分方程的通解包含了它的所有解。 （ ）2、函數(shù)是微分方程 的通解。（ ）3、階線性齊次微分方程的個解在上線性無關(guān)的充要條件是。 （ ）4、設(shè)為的基解矩陣，則為其基解矩陣存在階常數(shù)矩陣，使。 （ ）得分二、選擇題（10分，每題2分）1、 微分方程是（ ）。A 三階非線性方程 B 三階線性方程C 四階非線性方程D 四階線性方程2、 下列方程中為齊次方程的是 （ ）。A B CD 3、階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個（ ）維線性空間。ABCD4、Lipschitz條件是一階微分方程初值問題存在唯一解的

2、（ ）條件。A 充分條件B 必要條件C 充分必要條件 D 既不是充分也不是必要條件5. 方程的奇點的類型是 （ ）。A 結(jié)點 B 焦點 C 中心 D 鞍點得分三、填空題（12分，每空2分）1、向量函數(shù)是線性方程組的基本解組的充要條件是：（1）；（2）。2、方程存在只與有關(guān)而與無關(guān)的積分因子的充分必要條件是。3、方程的奇解是。4、伯努利方程通過變量替換可化為線性方程。5、歐拉方程的通解為。得分四、求下列方程的通解（40分，每題10分） (考 生 答 題 不 得 超 過 此 線) 1、2、3、4、得分五、計算與證明題（30分，每題10分）1、試用皮卡逐步逼近法求方程通過點(1,0)的第二次近似解。

3、2、已知方程的一個解為試求此方程的通解。3、設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)，上任一點M處的切線與軸總相交，交點記為，已知且過點，求的方程.安 慶 師 范 學(xué) 院常微分方程A卷（本答案僅供參考，若有多種解法，則按相應(yīng)標準酌情評分）一、判斷題（8分，每題2分） 1、錯； 2、錯；3、對； 4、錯二、選擇題（10分，每題2分）1、A ；2、 B ；3、A ；4、A ；5、C三、填空題（12分，每空2分）1、（1）是方程組的解；（2）線性無關(guān)；2、； 3、； 4、；5、(其中為任意常數(shù))四、求下列方程的通解（40分，每題10分）1、解：改寫方程為: 先求齊次線性方程的通解,分離變量得: -3分積分得通解為

4、 -5分再利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解,令,代入得: ,積分得 -8分從而所求通解為(其中為任意常數(shù)). -10分2、解: 由于，所以原方程是恰當方程-4分原方程可化為或-8分故原方程的通解為，其中為任意常數(shù). -10分3、解：原方程化為：（2分） 兩邊同除以“” 得： 即： (7分)化簡得： （C為任意常數(shù)） 故原方程的通解為： （10分）注：用其他方法解得正確結(jié)果給滿分。4、解：特征方程為，即， 所以特征根為 ， - 3分對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足可確定出 - 6分同樣可算出對應(yīng)的特征向量為 -8分所以，原方程組的通解為 -10分五、計算與證明題（30分，每題10分）1、解: -3分-6分-10分2、解：將代入原方程得即.從而原方程化為, -4分對應(yīng)齊次方程的特征值為，（二重）-6分所以原方程的通解為-10分3、設(shè)曲線L位于XOY平面的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與Y軸總相交，交點記為A，已知且L過點，求L的方程。解：設(shè)點M的坐標為（x,y）,則切線MA的方程為：（2分）令，則，