四邊形存在性問題2

1、四邊形存在性問題2四邊形的存在性（習(xí)題）? 例題示范例 1：如圖 1，以一塊等腰直角三角板的兩條直角邊為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知 OA=OB=3，過點 A，B 的拋物線對稱軸為直線 x=1，拋物線與 x 軸的另一交點為 D（1）求該拋物線的解析式（2）如圖 2，如果將三角板的直角頂點 C 在 x 軸上滑動，一直角邊所在直線過點 B，另一條直角邊所在直線與拋物線的交點為 E，其橫坐標(biāo)為 4，試求點 C 的坐標(biāo)（3）如圖 3，點 P 為拋物線對稱軸上一動點， M 為 x 軸上方拋物線上一點， N 為平面內(nèi)一動點，是否存在點 M ，使得以A，P，M ，N 為頂點的四邊形為正方形？若存在，求出點

2、 M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由yBDCOAxE圖 2yBDAO (C)x圖 1yBDAOxyBDAOx2yBDAOx圖 3第一問：研究背景圖形【思路分析】將已知線段長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，可知A， B 兩點坐標(biāo)；再結(jié)合拋物線對稱性，利用對稱軸直線x=1，可以求得 D 點坐標(biāo)由三點坐標(biāo)求出拋物線解析式【過程示范】解：（1） OA=OB=3A(3，0)， B(0，3)又對稱軸為直線 x=1D(- 1，0)可設(shè)拋物線解析式為 y=a(x+1)(x- 3)將 B(0， 3)代入，可得 a=- 1y=- x2+2x+3第二問：整合信息、分析特征、設(shè)計方案【思路分析】要求 C 點坐標(biāo)，已知其在 x 軸上，縱坐標(biāo)為

3、0，求出橫坐標(biāo)即可已知點 B(0，3)，點 E 坐標(biāo)（由橫坐標(biāo)可得），點 C 為y直角頂點；考慮直角特征在坐標(biāo)系下的用法過點E 作 x 軸垂線，構(gòu)造三等角，利用 BCO 與 CEF 的相似關(guān)系， 建等B式求解【過程示范】DF（2）如圖，過點 E 作 EF x 軸于點 FCOAx3E將 x=4 代入 yx22x3 ，可得 E(4， - 5)設(shè)點 C 的橫坐標(biāo)為 m ，則 C(m，0) 當(dāng)點 C 在 y 軸的左側(cè)時， m0，如圖OC=- m，CF=4- m由 BOC CFE ，可得3mm 54解得， m1219， m2 219m4 OC=m， CF=m- 4由 BOC CFE ，可得3m4 5m解

4、得， m1 219， m2 219m0 C2 (2 19，0)第三問：正方形的存在性【思路分析】正方形存在性問題往往轉(zhuǎn)化成等腰直角三角形存在性來研究，當(dāng)?shù)妊苯侨切未_定后，將等腰直角三角形沿底邊翻折即可得到正方形以及第四個頂點的位置要使以 A， P，M ，N 為頂點的四邊形為正方形，求 M 點坐標(biāo)先分析定點、動點，研究不變特征：定點： A動點： P（拋物線對稱軸上一動點） ，M （x 軸上方拋物線上一動點）， N 為平面內(nèi)一動點注意到 A，P，M 三點相關(guān)的信息較多，所以先考慮 APM 是等腰直角三角形調(diào)用等腰直角三角形處理套路來確定 A， P， M 的位置，即可求出點 M 的坐標(biāo)yBDFC

5、OAxE4【過程示范】（3）存在若以 AP，AM 為正方形的兩邊， 則 PAM=90且 PA=AM ：yyBBMMGADFOxDGAOFxPP過點 M 作 MF x 軸于點 F ，則 MFA AGPMF =AG=2- x2+2x+3=2解得， x=12M1(1 2，2 )， M2(12，2 )若以 MP ，MA 為正方形的兩邊，則 PMA=90且 MP=MA ：過點 M 作 MF x 軸于點 F ， MH 垂直對稱軸于點H ，則 MFA MHPMF =MH ，AF =HP當(dāng) M 在對稱軸右側(cè)時， yBHMPDAOGFx設(shè) MH =t，則 AF=2- t；M(1+t， t)5 - (1+t)2+

6、2(1+t)+3=t解得， t1=1 17， t2 = 117 （舍去）22M3(117， 117 )22當(dāng) M 在對稱軸左側(cè)時，yPBMHDAxFO G同理可得， M4( 317 ，1 17)22若以 PM ，PA 為正方形的兩邊，則 MPA=90且 PM=PA：yBNMPDAOGx過點 M 作 MN 垂直對稱軸于點N，則 AGP PNM ，設(shè) PG=MN =n，則 M (n+1，n+2) - (n+1)2+2(n+1)+3= n+2解得， n=1 或 n=- 2（舍去）可得 M 5(2， 3)綜上， M 點坐標(biāo)可以為 M (1 2，2)，M(12 ，2)，126M3(117， 1217 )

7、，M 4( 317，117 )，M5(2，3)222? 鞏固練習(xí)1. 如圖，拋物線 y=ax2+bx- 4 與 x 軸交于 A(- 4，0)，B(3，0)兩點，與 y 軸交于點 C（1）拋物線的解析式為 _（2）點 P 是拋物線上第三象限內(nèi)的一動點， 當(dāng)四邊形 ABCP 的面積最大時，點 P 的坐標(biāo)為 _（3）點 M 在拋物線對稱軸上，點N 是平面內(nèi)一點，當(dāng)四邊形 MNBC 是菱形時，點 M 的坐標(biāo)是7yAOBxCyAOBxCyAOBxC2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過 A，B，C 三點，已知點 A(- 3，0)， B(0，3)，C(1，0)（1）求此

8、拋物線的解析式（2）點 P 是直線 AB 上方的拋物線上一動點（不與點 A， B 重合），過點 P 作 x 軸的垂線，垂足為 F ，交直線 AB 于點 E，作 PDAB 于點 D8動點 P 在什么位置時， PDE 的周長最大？求出此時點 P 的坐標(biāo)連接 PA，以 AP 為邊作圖示一側(cè)的正方形 APMN ，隨著點 P 的運(yùn)動，正方形的大小、位置也隨之改變當(dāng)頂點 M 或 N 恰好落在拋物線對稱軸上時， 求出對應(yīng)的點 P 的坐標(biāo)（結(jié)果保留根號）yBPMDEAFCOxNyBACOx3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2- 2x+c的圖象與 x 軸交于 A， B 兩點，點 A 在原點的左側(cè)，

9、點 B 的坐標(biāo)為 (3，0)，與 y 軸交于點 C(0，- 3)，P 是拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式9（2）當(dāng)點 P 在直線 BC 下方的拋物線上運(yùn)動時，求四邊形 ABPC 的最大面積（3）若點 D 是 y 軸上 C 點上方的一動點，點 E 是直線 BC 上一動點，則是否存在點 P，使以 P， C，D，E 為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出此時點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由yAOBxCyAOBxCyAOBxC? 思考小結(jié)1. 結(jié)合平行四邊形、菱形、正方形的存在性問題，考慮10存在性問題的處理框架：分析特征：既要分析題目本身的定點、動點、定線及其他不變特征；又要考慮圖形形成

10、因素，兩者結(jié)合后考慮分類注：圖形形成因素，往往是指與該圖形相關(guān)的判定；將菱形轉(zhuǎn)化為等腰三角形通過翻折得到，實質(zhì)是利用了判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；將正方形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的存在性問題，實質(zhì)是利用了判定：有一個角是直角的菱形是正方形畫圖求解：分析各種狀態(tài)的可能性，畫出符合題意的圖形通常先嘗試畫出其中一種情形，分析解決后，再類比解決其他情形結(jié)果驗證：回歸點的運(yùn)動范圍，畫圖或推理，驗證結(jié)果2. 將菱形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問題的操作流程：將菱形轉(zhuǎn)化為等腰三角形：從菱形 4 個點中選擇 3 個點，往往選擇條件最多的 3 個點，然后考慮這 3 個點組成等腰三角形的可能性等腰三角形還原為菱形：沿當(dāng)前確定的等腰三角形的底邊翻折，先確定大致位置， 然后根據(jù)菱形是特殊的平行四邊形，利用平行四邊形一組對邊平行且相等，來求解第 4 點坐標(biāo)11【參考答案】1.（ 1）