函數(shù)的連續(xù)性課件

1、四、函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.x,xxx),x(Ox,)x(O)x( f0000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy (一一)、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義.x)x(f),x(f)x(flim ,DxD,f(x)y 9 . 200 xx00連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義 .)x( fx0的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)稱為稱為:A)x(

2、flim0 xx定定義義的的區(qū)區(qū)別別在在于于與與 .x)x( f )1(:A)x( flim0 xx0可以無(wú)定義可以無(wú)定義在在 )x( fA)x( fA)2(00 或或,xxx0 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy , 0 xxx0 就就是是. 0y)x( f)x( f0 就就是是0ylim )x( f)x( flim9 . 20 x0 xx0 可寫(xiě)成可寫(xiě)成中中定義定義.x)x(f, 0ylim ,DxD,f(x)y :9 . 200 x0連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱若若的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)可可寫(xiě)寫(xiě)成成定定義義 201yxxx例 ： 證明在處連續(xù)22000020020limlimlim2() 0

3、 xxxyxxxxxxyxxx證明：在處連續(xù)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2.9知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 性質(zhì)性質(zhì)2.14)x( f)0 x( f)0 x( fx)x( f0000 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù).)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且

4、且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間:b, a)x( f上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.若若f(x)在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù),則稱則稱f(x)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

5、.定理定理2.3: 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.f(x)在在(a,b)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù):連續(xù)連續(xù)在在00 x)x( f),b, a(x 連連續(xù)續(xù)在在)b, a()x( f )1()a( f)x( flim )2(ax )b( f)x( flim )3(bx (二二)、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型、函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()().()(lim)3()(lim)2(.

6、,)() 1 (,)(:00000000或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為并稱點(diǎn)或間斷處不連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)則稱存在但不等于不存在無(wú)定義但在的去心鄰域內(nèi)有定義在處滿足下面三條件之一在設(shè)定義xfxxxfxfxfxfxxxfxxfyxxxx._,_)1x)(2x(4x2)x(xf(x) 32間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)為個(gè)個(gè)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為例例 1x=2例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxfoxy.)(,)(00的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在存存處處的的左左、右右極極限限都都在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf1.第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)1)跳躍間

7、斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn))0()0(00 xfxf2)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)x( fxx)x( f )2( ),x( fA)1(,A)x( flim000 xx0的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例例5 5的連續(xù)性的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)1x, 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( f oxy112xy 1xy2 2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x, 2)1( f令

8、令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy1122.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無(wú)無(wú)窮窮間間例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1si

9、nlim0不不存存在在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.點(diǎn)這種情況稱為振蕩間斷注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). , 0, 1)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類間斷點(diǎn)。內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，且都是第二類間斷點(diǎn)。 , 1, 1)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對(duì)值處處連續(xù)但其絕對(duì)值處處連續(xù).12/16例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)

10、續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xcoslim)00( f0 x , 1 )xa(lim)00( f0 x , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a(三三)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù) .x)x( f),x(f),0)x( f ( )x( f1:02連連續(xù)續(xù)在在可可得得 例如例如,), 0()0,(

11、1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy結(jié)論結(jié)論: : 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .)x()x( f)x( flim00 xx0定定義義區(qū)區(qū)間間故故有有 .x)x(g f,)x(gu)u( f,xg(x) 0000連連續(xù)續(xù)在在則則點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在若若 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性(四四)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1 (有界性定理有界性定理)設(shè)設(shè)f(x)在在a,

12、b上連續(xù)上連續(xù),則則f(x) 在在a,b上有界上有界.)b, a(),b, ab, a(b, a:結(jié)結(jié)論論未未必必成成立立或或改改成成若若注注意意1 , 0(x1y:在在如如 連續(xù)但無(wú)界連續(xù)但無(wú)界例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定義定義:定理定理2 (最大最大、最小值定理最小值定理)設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù)

13、,則則f(x) 在在a,b上可取到最大值上可取到最大值,最小值最小值.)( f)x( fminm, )( f)x( fmaxM,2b,ax21b,ax1 即即ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.Th3 (介值定理介值定理)c)x( f,b, ax,M,mc,m,M,b, a)x( f00 使使一定一定則則最小值最小值分別為其最大分別為其最大連續(xù)連續(xù)在在設(shè)設(shè)MCmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .

14、)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 幾何解釋幾何解釋:定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf 推論推論(零點(diǎn)存在定理零點(diǎn)存在定理)0)x( f),b, a(x, 0)b( f)a( f ,b, a)x( f00 使使則則連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy xyo)(x

15、fy 注意注意(1) 若若f(x)在在a,b上單調(diào)上單調(diào),則只有唯一零點(diǎn)則只有唯一零點(diǎn).ab1 xyo)(xfy (2)若若a,b改為改為(a,b)結(jié)論未必成立結(jié)論未必成立. 2x 12x1 x 1x 1)x( f:如如在在(1,2)連續(xù)連續(xù),但但Th2.6不成立不成立.xyo)(xfy 211-1例例1 1.)1 , 1(x22x內(nèi)內(nèi)必必有有實(shí)實(shí)根根在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 證證,x2)x( f2x 令令,1 , 1)x( f上連續(xù)上連續(xù)在在則則 , 021)1( f 又又, 01)1( f 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),1 , 1( , 0)( f.)1 , 1(x22x內(nèi)必有實(shí)根內(nèi)必

16、有實(shí)根在區(qū)間在區(qū)間方程方程 例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即000)(),1 , 0(:0,1,x1,f(x)0,0,1f(x) 3xxfx使證且滿足連續(xù)在設(shè)例x)x( f)x(F 令令證證:在在0,1連續(xù)連續(xù),01-f(1)F(1)0,f(0)F(0) 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理使使),1 , 0(x0 000 x

17、)f(x , 0)x(F 即即(五五)、 小結(jié)小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.求極

18、限的又一種方法求極限的又一種方法.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)零零點(diǎn)點(diǎn).一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)ba . . 二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)， bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21 . . 練練 習(xí)習(xí) 題題思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？但