計算方法試題集及答案

1、復(fù)習(xí)試題41A答案：2、已知f(1)、填空題:1、014,則A的LU分解為141014115410415156151.0，f(2)1.2，f3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得31f(x)dx，用三點式求得f答案：2.367,0.253、f1，f(2)2，f(3)1,則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為拉格朗日插值多項式為。11L2(x)-(x2)(x3)2(x1)(x3)-(x1)(x2)答案：-1,224、近似值x0.231關(guān)于真值x0.229有(2)位有效數(shù)字；5、設(shè)f(x)可微,求方程xf(x)的牛頓迭代格式是()；xnf(xn)xn1xn答案1f(xn)6、對他)x3x1,差商f

2、0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(。);7、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差;8、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為)；2n19、求解一階常微分方程初值問題y=f(x,y),y(xo)=yo的改進(jìn)的歐拉公式為h一一)；yn1ynf(xn,yn)f(*n1,yn1)210、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15);11、兩點式高斯型求積公式11 .1.3 10f(x)dxK0f(x)dx 3 f(岳). 3 1f ()2d 3),代數(shù)精度為(5);12、解線性方程組Ax=

3、b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)1013、為了使計算3472x 1 (x 1)26(x 1)的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表y 10達(dá)式改寫為_(3 (4 6t)t)t,t,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式2*2001J1999改寫為72001J199914、用二分法求方程f(x)x3x10在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為。5、1,1井行兩步后根的所在區(qū)間為0.5、0.75xdx15、計算積分0.5，取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為二，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。1 1k

4、 k(1 (2X X3x15x2116、求解方程組0.2x14x20的高斯一塞德爾迭代格式為1代格式的迭代矩陣的譜半徑(M)=_12_017、設(shè)f(0)0,f(1)16,f(2)46,則l1(x)l1(x)x(x2)_f(x)的二次牛頓18、19、20、21、次。22、a=(23、n插值多項式為N2(X)16X7X(X1)求積公式(x)dxnAkf(xk)k0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高,有(2n1)次代數(shù)精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求設(shè)f(1)=1,如果用二分法求方程S(x)已知3x12(xf=2,f(3)=0,用三點式求f1)3a(x51f

5、(x)dx(2.50在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù),=(12)。)。需對分(1021)b(x1)c13是三次樣條函數(shù)，則3),l0(x),l1(x),b=(，ln(x)是以整數(shù)點x0,x1,lk(x)k0(1),nxklj(xk)k01)。,xn為節(jié)點的nLagrange插值基函數(shù)，貝U24、解初值問題yf(x,y)y(x0)v。25、區(qū)間(xj)，當(dāng)n的改進(jìn)歐拉法一階方法。a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b26、改變函數(shù)f(x)127、次。若用二分法求方程28、a=_2x3,3x02ax29、若用復(fù)化梯形公式計算個求積節(jié)點。30/42(xkxk00yn13)lk(x)(ynhf(x

6、n,yn)h_yn-f(xn,yn)f(xn21,yn0')是上具有直到1)的形式ox0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第bxc，1x2是3次樣條函數(shù)，則o1exdx02階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。使計算結(jié)果較3位小數(shù)，則需要對分,要求誤差不超過106,利用余項公式估計，至少用寫出求解方程組x11.6x210.4x1x22的10477Gauss-Seidel迭代公Hxk1111.6X2k1,k0,1,0X220.4x1,迭代矩陣為_0A5431、設(shè)43,則留9。1.60.64,此迭代法是否收斂收斂32、設(shè)矩陣136的ALU,則U433、若f(x)3x2x1,則差商f4,8,16,3234、數(shù)值積分公式

7、12f(x)dxf(1)8f(0)f(1)19的代數(shù)精度為121015x112135、線性方程組103的最小二乘解為A36、設(shè)矩陣321204135分解為aLU,則U、單項選擇題:1、Jacobi迭代法解方程組Axb的必要條件是2、3、A.A的各階順序主子式不為零C.aii0,i1,2,nB.D.則為（C)A.B.C.三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為（A.2B.5C.31021(A)D.D.44、求解線Tt方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是（B）A.對稱陣B.正定矩陣C.任意陣D.各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是（A）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)

8、確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值6、3.141580是冗的有（B）位有效數(shù)字的近似值。A.6B.5C.4D.7人用i+x近似表示e所產(chǎn)生的誤差是（c）誤差。A,模型B.觀測C.截斷D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是（A）。A.控制舍入誤差B.減小方法誤差C.防止計算時溢出D.簡化計算x9、用1+3近似表示3C所產(chǎn)生的誤差是（D）誤差。A.舍入B.觀測C.模型D.截斷10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效數(shù)字。A.5B.6C.7D.811、設(shè)f（-1）=1,f（0）=3,f（2）=4，則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為（A）。A.-0.5B.0

9、.5C.2D.-212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為（C）。A.3B.4C.5D.213、（D）的3位有效數(shù)字是0.236X102。(A) 0.0023549X103 (B) 2354.82X10 214、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，(B )。(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)15、用列主元消去法解線性方程組(A )。(A) -4(B) 3(C) 416、拉格朗日插值多項式的余項是(B(C) 235.418(D)235.54X10-1把方程f(x)=0表示成x=(x),則f(x)=0的根是(B)y=x與y=(x)交點的橫坐標(biāo)(D) y=x與y

10、=(x)的交點3x1x24x31x12x29x34x13x2x3(D)-9)，牛頓插值多項式的余項是(C)0'第1次消元，選擇主元為(A) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f(x)(B)f (n 1)() 號(x) f( ) (n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,xn)x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(xxn),Rn(x) f (x)(D)f (n 1) ()Pn(x)-7-/ n1(x)(n 1)!17、等距二點求導(dǎo)公式f (x1) ( A )0&f(x1) f(x。)(A)x1 xgf(x1) f(x。)(B)xq x1f(x。) f(x1)(C

11、)xg x1(D) f(x1) f(xg)x1 xg18、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,定收斂到方程f(x)=0的根。(A)f(xg)f(x) 0(B)f(xg)f(x) 0(C)f(xg)f(x) 0(D)f(xg)f(x) 019、為求方程x3-2T=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A ),xnx®(xx2)(xxn1)(xxn),2 X(A)1，一，,，迭代公式：XkiX 11-xX Xk1X 1 4,迭代公式：Xk 1(B) X1Xk(C)X31 X2

12、,迭代公式:Xk 1X3 1 X2,迭代公式：Xk 1 (D)y f (x, y)(12、1/3Xk)2Xk2XkXk 120、求解初值問題y(X)y歐拉法的局部截斷誤差是();改進(jìn)歐拉法的局部截斷誤差是()；四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是(A)(A)O(h2)21、解方程組Ax(1)(A) 1,(B)O(h3),，-v(k 1)b的簡單迭代格式X(B)1，(C)O(h4)(k)Bx g收斂的充要條件是(A) 1,(4)(B) 1(D)O(h5)bf(x)dxa22、在牛頓-柯特斯求積公式：穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)(n(b a) C(n)f(Xi)(n)i 0中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時，

13、公式的)時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n 10,(4) n 6,X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.2523、有下列數(shù)表所確定的插值多項式的次數(shù)是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次yn 1yn24、若用二階中點公式hf (Xnhh二,yn 二 f (Xn, yn)丘、/上、目匚 w22求解初值問題y2y,y(0) 1試問為保證該公式名對穩(wěn)定，步長 h的 0 h 1,(2) 0 h 1,(3)025、 取由1.732計算X (6 1)4,(A) 28 16質(zhì)；(B) (4 2亞2；3XS(X)326、已知2

14、(X 1)a(x 2)(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8,h 1,0 h 1下列方法中哪種最好？()_16_16_(C) (4 2后.(D)曲 1)4。0x212 X 4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為(6;(D)8, 8。Xi11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.527、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是()(B)4；(C)3；(D)2。(A)5；bf (x)dx28、形如a( )Aif(xi) A2 f(X2)A3 f (X3)3 的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、計算J3的

15、Newton迭代格式為()Xk 1(A)xk23xk 1xk ； (B)xk23-xk 12xk ； (C)xk _2_2 xk ; (D)3,230、用二分法求方程 x 4x 100在區(qū)間1,2內(nèi)的實根，要求誤差限為3xk。1310 32xk則對分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。31、經(jīng)典的四階龍格一庫塔公式的局部截斷誤差為()(A)O(h4);(B)O(h2);(C)O(h5);(D)O(h(X1 x0)(x1 x2)表示在節(jié)點X1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù))o9kli(k)32、設(shè)1i(x)是以xkk(k0,1,L,9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則k

16、0(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知3XS(x)32(x 1)a(x 2) b0 X2 x(A)6, 6;(B)6, 8；(C)8,6;(A) X ；(B) k ；(C) i ；(D) 1。33、5個節(jié)點白牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度24是三次樣條函數(shù)，則(D)8 , 8。a,b的值為(.3c35、已知方程x2x5(A)xk13/2xk5;(B)36、由卜列數(shù)據(jù)0在Xxk12附近有根，下列迭代格式中在不3xk;(C)xk1xkxkx02不收斂的是(2x3uxk10、,25；(D)3xkX01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4;(B

17、)2;(C)1;(D)3o37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打，否則打)1、已知觀察值(為，yi)(i0，1，2，m)，用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時,Pn(x)的次數(shù)n可以任意取。()2x2、用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()(xXo)(xx2)4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。5、矩陣A=f(x)dx A f(5具有嚴(yán)格對角占優(yōu)四、計算題:4x12x2x311x14x22x3181、用高斯-塞德爾方法解方程組2x1x25x2、求A

18、、B使求積公式122，取x(0)(0,0,0)T,迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)xik 1)x(k 1) 2答案：迭代格式-(112x2k)x3k)4-(18x1(k1)2x3k)41(222x1(k1)x2k1)5k(k)xi(k)x2x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70191.11)f(1)Bf()f()22的代數(shù)精度盡量I高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求Ox1x(保留四位小數(shù))02答案：f(x)1,x,x是精確成立，即2A2B12AB21f(x)dx

19、求積公式為119f( 1)f(1)8f(2)當(dāng)f(x) x3時，公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)4x時，左=5 ,右=3。所以代數(shù)精度為3。1dxtx2x1dt11t3913,123970.69286140P3(x),并求 f(2)3、已知xi1345f(xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式的近似值(保留四位小數(shù))L2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)L3(x)26(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階

20、均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4f(2)P3(2)5.54、取步長h0.2,用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題y 2x 3y y(0) 1(0 x 1)y!)iyn0.2(2xn3yn)答案:解:yn0.1 ( 2xn3yn) (2xn 13yn0)1)n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.825.879610.713719.422435.0279即yn10.52xn1.78yn0.045、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次擬合曲線P2(X),并求f(0)的近似值答

21、案:解:ixiyi2xi3xi4xixiyi2xiyi0-244-816-8161-121-11-22201100r0P0013131113342548161020015100343415ao10a21510a13正規(guī)方程組為10ao 34 a2 41P2(X)103112一 一 x 一 x7101410a0, a13P2（x）1073, a 1011 一 x112 14f （0）P2（0）3106、已知sinx區(qū)間0.4,0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)

22、點才能使誤差最?。坎⑶笤摻拼鸢福航猓簯?yīng)選三個節(jié)點，使誤差M3|R2(x)|康|3(x)|盡量小，即應(yīng)使13(x)|盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點0.0.55032 1007、構(gòu)造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn1(xn),n Q12，討論其收斂4性，并將根求出來， 1 xn | 10 。答案：解：令 f(x) ex 10x 2, f(0)2 0, f (1) 10 e 0.且f (x) ex 10 0對x (，)，故f(x) 0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程07最好，實際計算結(jié)果Sin0.638910.596274且sin0.638910.5962741

23、(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)3!則當(dāng)x"，。時故迭代格式1Xx10(2e)(x)110(2eX),1(x)1Xe10101Xn1110(2eXn)n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008收斂。取X00.5,計算結(jié)果列表如下:0.0905250086*且滿足|X7X610.0000009510.所以X8、利用矩陣的LU分解法解方程組X12X23X3142X15X22X3183X1X25X320A

24、LU答案：解：3424令Lyb得y(14,10,72)TUxy得x(1,2,3)T9、對方程組3x12x210x31510Xi4x2X352x110x24x38(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由;(2)取初值x(0)(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k1)x(k)|103解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)10x12x13x14x210x22x2x34x310x35815故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為(kx11)(kx21)(kx31)1101101102x(k3x(k1)1)(k)4x22x2k1)4x3k)8)15)取x(0)(

25、0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得:x*x(0.999991459,0.999950326,1.000010)T解：當(dāng)0<x<1時,f (x) ex,則1f(x) e,且 0e、dx有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R(n)(f)10 4R(n)(f)(b a)312n2R1(n) (ex)e12n2e12n210 410、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。即可，解得e21067.308776所以n68,因此至少需將0,168等份。511、用列主元素消元法求解方程組211145

26、r. j1 x144 3 X21211 X3114 312解:54 3122111111142111112r151212一r213回代得12、取節(jié)點x00,x1379解:13135513x3B(x)，并估計誤差P2(x)e57951279131,x26, x130.5，X2 L求函數(shù)f(x) e x在區(qū)間0,1上的二次插值多項式(x 0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)0.5 e(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)1(x0)(x0.5)e(10)(10.5)2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)f(x) e x, f (x)e x,M 3maxjf (

27、x)| 1故截斷誤差|R2(x)|exP,(x)|：x(x0.5)(x1)|13、用歐拉方法求,、xt2.y(x)0edt在點x0.5,1.0,1.5,2.0處的近似值X解：y(X)0et2X2yey(0)0(x0)X2>h0.5X00,X10.5,X21.0,X31.5,X42.0則由歐拉公式y(tǒng)n1y。yn0hf(Xn,yn)n0,123可得y(0.5)yi0.5,y(i.0)y20.88940y(i.5)y31.07334,y(2.0)y41.12604X14、給定方程f(X)(x1)e2）將方程（2）改寫為1）分析該方程存在幾個根;2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字;3）說

28、明所用的迭代格式是收斂的解：1）將方程(X 1)eX(1)改寫為作函數(shù)f1（X）1f2(X)X的圖形(略)（2）有唯一根*X(1,2) 0構(gòu)造迭代格式Xk1X011.5Xkek(k0,1,2,)計算結(jié)果列表如下:k123456789Xk1.223131.294311.27409)1.279691.278121.2785)61.278441.278471.278463)(X)1eX,(X)eX當(dāng) x 1,2時，(x) (2),(1)1,2,且l(x)|e xne dx1所以迭代格式a1(xk)(k0,1,2, )對任意x。1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求、'3的近似值取x0=1.7

29、,計算三次，保留五位小數(shù)。2解：Y3是f(x) x 3 。的正根,f(x) 2x，牛頓迭代公式為x2 3xn 1 xn-Z2xnxnxn 12 2xn(n 0,1,2, )取xo=1.7,列表如下:n123xn1.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(1,5)的近似值,取五位小數(shù)。解:L2(x) 2(x 1)(x 2)(1 1)( 12)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1) 34(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)23(x 1)(x2)/ 1)(x 2) 3(x 1)(x 1)1f(1

30、.5)L2(1.5)0,041672417、n=3,用復(fù)合梯形公式求1xedx0的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計。2(e13e23) e1 1,734210r0T3e23f(x)xxe,f(x)e0x1時，|f(x)|e|R| lexe0.0250.05108至少有兩位有效數(shù)字。301xi131X211 4X318、用Gauss-Seide迭代法求解線性方程組取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：x，1)(x3k)5)3x2k1)!(X1(k1)x3k)1)x3k1)(x1(k1)x2k1)8)4系數(shù)矩陣114嚴(yán)格對角占優(yōu)，故Ga

31、uss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T,列表計算如下：k(k)x1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526yxy19、用預(yù)估一校正法求解y(0)1(0x1),h=0o2,取兩位小數(shù)。解：預(yù)估一校正公式為yn1yn2(k1k2)khf(xn,yn)k2hf(xnh,ynk”n01,2,其中f(x,y)xy,yoh=02no,1,2,3,4,代入上式得:n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗公式擬合以下

32、數(shù)據(jù):Xi19253038yi19.032.349.073.32解：span1,xT1111yT19.0 32.3 49.0 73.3A2_22219253138解方程組ATACATy其中ATA433913391 3529603ATy173.6179980.70.9255577C解得： 0.0501025 所以 a 0.9255577,b 0.050102521、（15分）用n 8的復(fù)化梯形公式差。用n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化1.e xdx（或旦化Simpson公式）計算0 時，試用余項估計其次|RTf解：T(8) hf(a)2鴛h2f (72f(xQk 1Simpson 公式) 工e0 1

33、2 82計算出該積分的近似值。10.001302768f(b)1161對應(yīng)迭彳t格式xn 1玄 4 1 ； (2)xn 1x對應(yīng)迭代格式11xn ; (3) xx3 1對應(yīng)3迭代格式4 1 xn 精確到小數(shù)點后第三位。判斷迭代格式在x01.5的收斂性，選一種收斂格式計算 x1.5附近的根,解：（1）(x) 3(x21) 3(1.5)0.18 1,故收斂;(2)(3)(x)(x)3x2(1.5)(1.5)23 1.520.17 1,故收斂;選擇(1)： x° 1.5, Xi 1.3572, x21.3309 X3 1.3259 x4 1.3249 ? ? ?2(0.88249690.7

34、7880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.632943422、（15分）方程x3x10在x1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）x"又1x5 1.32476 x6 1.32472 ， “23、(8分)已知方程組 AX f ,其中4324A 341 f 301424(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。x1(k1)-(24 3x2k)4x2k 1)1(30 3x1(k)x3k)4xT)1(24 x2k)4解：Jacobi 迭

35、代法：k 0,1,2,3,(k 1)1(k)、x1(24 3x2 )4x2k1)1(30 3x1(k1)x3k)4Gauss-Seidel 迭代法:_ 1BjD (L U)k0,1,2,3,0.79056924、1、(15分)取步長h 0.1 ,求解初值問題dy y dxy(0) 11用改進(jìn)的歐拉法求y(o.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格一庫塔法求y(0.1)的值。yn1yn解：改進(jìn)的歐拉法：所以y(0J)y11；yn0)1 yn hf(xn,yn)0.9yn 0.1h一(0)一f(xn,yn) f(xn1,yn)1)0.905yn 0.0952經(jīng)典的四階龍格一庫塔法：hyn1ynki2k22k3

36、k46klf(Xn,yn)hh,、k2f(xn.,yn-k1)hhk3f(Xn-,yn&k2)k4f(Xnh,ynhk3)klk2k3k40所以y(0.1)y1125、數(shù)值積分公式形如10xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)、#碓)用ABCD值八士弋用蚌宙尺0l式確7E參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡1量高；設(shè)f(x)C40,1,推導(dǎo)余項公式R(x)0xf(x)dxS(x),并估計誤差。A30701c123A,B,B,D解：將f(x)1，x，x，x分布代入公式得：20203020也(為)f(xi)構(gòu)造Hermite插值多項式H3(x)滿足H3(xi) f (

37、xi)i0,1其中x00,x11則有:1o xH3( x)dx S(x)f(x) H3(x)f(4)()4!22x (x 1)R(x)10xf(x) S(x)dxf(4)()f(4)()4!3 /x (x1)2dxf(4)(4! 604!f(4)32 ,x (x 1) dx144026、用二步法yn 10 yn1yn 1h f(xn,yn) (1y f (x, y) f(xn 1, yn1)求解常微分方程的初值問題y(x0)v。時,如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高,并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解:Rn,hy(xn 1) yn 1y(xn) hy (xn)2!y(xn) 不3!(4)h

38、.、h0y(xn)1(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)2!3!h2h3hy(xn)(1)(y(xn)hy(xn)-y(xn)不丫仇)2!3!(101)y(xn)h(111)y(xn)h2(1m1)y(xn)h3(1/1)y(xn)O(h4)22662所以2011032Ah主項：12(Xn)該方法是二階的。27、(10分)已知數(shù)值積分公式為:hf(x)dx2f(0)f(h)2-'_-'hf(0)f(h)，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x)1顯然精確成立；f(x)f(x)2x時,x時,h2xdx0hxdx020hh211f

39、(x)3x時,h3xdx0f(x)所以,4x時,hx4dx0h33h44h5其代數(shù)精確度為3。28、(8分)已知求va(a0)h20h2h3h4的迭代公式為:1,xk1-(xk2-)xk證明：又一切k12,xk從而迭代過程收斂。證明:1/xk12(xkxk1又xk程收斂。故對一切1(1)2x2k1,2,2(11)29、(9分)數(shù)值求積公式度是多少?2h3h202h2h2112h2012h012xo0k0,1,2,xk30f(x)dx3h24h3h56；且序列xk是單調(diào)遞減的,axk一xk所以xk1ak0,1,2xk,即序列xk是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過f(2)是否為插值型求積公式？為什么？其

40、代數(shù)精一、p(x)f(1)f(2)解：是。因為f(x)在基點1、2處的插值多項式為122130 P(x)dx3f f(2)2。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程4x8sx在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。xn1(6分)xn114cosxn，n=0,1,2,-1xsinx4對任意白初值x00,1,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算4115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表:100100.0476190121110.0434783-0.00009411361441210+0.0476190(115-100

41、)-0.0000941136(115-100)(115-121)、,115=10.7227555f'''xf'''R11510011512111514431351002156290.0016368sinxdxx的近似值，要求誤差限為0.510c11S1-f04f-f10.94614588621113S2f04f-2f-4f-f12424_1_-5IS2S2s0.393101c15IS2246.sinx,xxxfx110.946086930.94608693或利用余項:3!5!7!9!f(4)x72!94!baf(4)2880n4128805n40

42、.510,n2IS233、（10分）用Gauss列主元消去法解方程組:刈4x22x3243xx25x?342x16x2x3273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.000001.93759.6875x2.0000,3.0000,5.0000T34、（8分）求方程組x1x2的最小二乘解。36x1ATAxATb614x2若用Householder變換，則：81.3333一x202.00

43、00A,b1.73205003.464104.618800.366031.520731.366032.520731.732053.464104.6188001.414212.82843000.81650最小二乘解：(-1.33333,2.00000)T.35、（8分）已知常微分方程的初值問題:dy.dxxy,1x1.2y（1）2用改進(jìn)的Euler方法計算y（12）的近似值，取步長h02k1fx0,y00.5k2fx1,y0hk11.1/20.20.50.5238095hyiy0-kik220.10.50.52380952.1071429236、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求

44、出其代數(shù)精度：11xfxdxA0fA1f109取f(x)=1,x,令公式準(zhǔn)確成立，得:AA11AA1A1A1A0AA0A1A0A12,233,6f(x)=x2時，公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=2A111b237、(15分)已知方程組Axb,其中(1)寫出該方程組的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)判斷(1)中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快;解：(1)Jacobi迭代法的分量形式x12x2k)2x3k)x2k1)2x(k)x3k);k0,1,2,L(k1)0。(k)(k)x332x12

45、x2Gauss-Seidel迭代法的分量形式(k1)(k)(k)x1112x22x30,1,2,L(k1)c(k1)(k)x22x1x3;k2x1(k1)2x2k1)(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣為022BD1(LU)101220迭代法收斂1230,(B)01,JacobiGauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為G(DL)1U10,232,(B)21,Gauss-Seidel迭代法發(fā)散dy2xydx38、(10分)對于一階微分方程初值問題y(0)1,取步長h0.2,分別用Euler預(yù)報校正法和經(jīng)典的四階龍格一庫塔法求y(0.2)的近似值。解：Euler預(yù)報校正法yn0)iyn0.2(2Xnyn)0.4x00.8yn1yn0.1(2XnVn2xi0.16%0.2x