高中數(shù)學31不等關系與不等式教案（一）新人教A版必修

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上3.1不等關系與不等式3.1.1不等關系與不等式（一）教學過程推進新課師 同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好.而且大家已經考慮到本節(jié)課的標題不等關系與不等式,所舉的實例都是反映不等量關系,這將暗示我們這節(jié)課的效果將非常好.(此時，老師用投影儀給出課本上的兩個實例)實例6:限時40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.過程引導師 能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學

2、科，但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人來說必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?生 可以用不等式或不等式組來表示.師 什么是不等式呢?生 用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子叫不等式.（老師給出一組不等式-7-5；3+41+4；2x6；a+20;34.目的是讓同學們回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號“，”的含義，是或的關系.回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了）師 能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程，通過對不等

3、式數(shù)學模型的研究，反過來作用于我們的現(xiàn)實生活，這才是我們學習數(shù)學的最終目的.（此時，同學們已經迫不及待地想說出自己的觀點.）合作探究生 我們應該先像實例2那樣用不等式或不等式組把上述實例中的不等量關系表示出來.師 說得非常好，下面我們就把上述實例中的不等量關系用不等式或不等式組一一表示出來.那應該怎么樣來表示呢?（學生輪流回答，老師將答案相應地寫在實例后面）生 上述實例中的不等量關系用不等式表示應該為32t26.生 可以表示為x0.（此時，學生有疑問，老師及時點撥，可以畫出圖形.讓學生板演）（老師順便畫出三角形草畫）生 |AC|+|BC|AB|(只需結合上述三角形草圖).生 |AB|+|BC|

4、AC|、|AC|+|BC|AB|、|AB|+|AC|BC|.生 |AB|-|BC|AC|、|AC|-|BC|AB|、|AB|-|AC|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.生 如果用v表示速度，則v40 km/h.生 f2.5%或p2.3%.(此時,一片安靜,同學們在積極思考)生 這樣表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，即可以表示為生 也可表示為f2.5%且p2.3%.師 同學們看這兩位同學的觀點是否正確?生 (齊答)大家齊聲說，都可以.師 同學們的思考很嚴密,很好!應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表

5、達.課堂練習教科書第83頁練習1、2.(老師讓學生輪流回答，學生回答很好.此時，同學們已真正進入了本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個問題.問題是數(shù)學研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識）【問題1】 設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點.活動與探究師 請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關系.(此時,教室一片安靜,同學們在積極思考,時間較長,老師應該及時點撥)方法引導師 前面我們借助圖形來表示不等量關系,這個問題是否可以?(可以讓學生板演，結合三角形草圖來表達)過點A作AC平面于點C，則d=|AC|AB|.師 這位同學做得很好,我們在解決

6、問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想,以形助數(shù),以數(shù)解形.師 請同學們繼續(xù)來處理問題2.合作探究【問題2】 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據市場調查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應減少2 000本.若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?生 可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本.師 那么銷售量變?yōu)槎嗌倌?？如何表示？?可以表示為萬本，則總收入為萬元.老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為x20師 是否有同學還有其他的解題思路？生 可設雜志的單價提高了0.1n元，(nN *)，（下面有討論的聲音，有的同學存在疑問，此

7、時老師應密切關注學生的思維狀況）師 為什么可以這樣設？生 我只考慮單價的增量.師 很好，請繼續(xù)講.生 那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為(2.5+0.1n)元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)20.師 這位同學回答得很好，表述得很準確.請同學們對兩種解法作比較.（留下讓學生思考的時間）師 請同學們繼續(xù)思考第三個問題.合作探究【問題3】 某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種,按照生產的要求,600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式?師 假設截得500

8、mm的鋼管x根，截得600 mm的鋼管y根.根據題意，應當有什么樣的不等量關系呢？生 截得兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm.生 截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.生 截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.師 上述的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？生 它們要同時滿足條件，應該是且的關系.生 由實際問題的意義，還應有x,yN.師 這位同學回答得很好，思維很嚴密.那么我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？生 要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：師 這位同學回答很準確.通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等組把實際問題中所隱含

9、的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好.請同學們再完成下面這個練習.課堂練習練習：若需在長為4 000 mm的圓鋼上，截出長為698 mm和518 mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式組?分析：設截出長為698 mm的毛坯x個和截出長為518 mm的毛坯y個，把截取條件數(shù)學化地表示出來就是：（練習可讓學生板演，老師結合學生具體完成情況作評析，特別應注意x0,y0,x,yN）課堂小結師 通過今天的學習，你學到了什么知識，有何體會？生 我感到學習數(shù)學可以幫助我們解決生活中的實際問題.生 數(shù)學就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學了.生 本節(jié)課我們還進一步鞏固了初中

10、所學的二元一次不等式及二元一次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題.師 我來補充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實際問題中的不等關系時，思維要嚴密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用.（慢慢培養(yǎng)學生學會自己來歸納總結，將所學的知識，結合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合.進而培養(yǎng)學生的概括能力和語言表達能力）布置作業(yè)第84頁習題3.1A組4、5.板書設計不等關系與不等式（一）實例 方法引導 方法歸納如何用不等式或不等式組表示 實例剖析（知識方法應用） 小結實際問題中不等量關系？ 示范解題3.1.2不等關系與不等式（二

11、）教學過程推進新課師 我們已學習過等式、不等式，同學們還記得等式的性質嗎？生 等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式.師 很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結果將會如何呢？（此時很快能讓學生進入對初中所學過的不等式三條基本性質的回憶與復習）師 一般地說，不等式的基本性質有三條：性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向_.（讓同學回答）性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不

12、等號的方向_.（讓同學回答）性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向_.（讓同學回答）過程引導師 不等式的這三條基本性質，都可以用數(shù)學的符號語言表達出來.（讓三位同學板演）性質1：aba+cb+c（或a-cb-c）；aba+cb+c（或a-cb-c）.性質2：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).性質3：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).（用數(shù)學符號表達不等式的性質，目的是為下面用符號進行不等式性質與證明打基礎，給學生也有一適應過程.老師對學生的板演作點評）師 性質2、性質3兩條性質中，對a、b、c有什么要求？生 對a、b沒什么要求，特別要

13、注意c是正數(shù)還是負數(shù).師 很好，c可以為零嗎？生 c不能為零.因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了.若是“”或“”則可以.師 這位同學回答的非常好，思維既嚴謹又周到.師 對于不等式的這三條基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用.在初中，我們對這三條性質只是作了感性的歸納，現(xiàn)在我們應對它給出嚴格的證明，只有這樣應用這些性質才能有理有據.（學生已迫不及待）生（齊聲）那我們來給出嚴格的證明吧.（此處，說明老師點撥很到位.真正體現(xiàn)了課堂上教師的主導地位與學生的主體地位）師 為了對不等式的基本性質給出嚴格證明，我們還有必要回憶實數(shù)的基本性質.（此時學生對這一名詞肯定感到生疏，老師

14、在黑板上應很快給出數(shù)軸）教師精講師 若點對應的實數(shù)為a，點對應的實數(shù)為b，因為點在點的左邊，所以可得ab.ab表示a減去b所得的差是一個大于的數(shù)即正數(shù)，即aba-b0.它的逆命題是否正確？生 顯然正確.師 類似地，如果ab，則a減去b是負數(shù)，如果a=b，則a減去b等于，它們的逆命題也正確.一般地,aba-b0;a=ba-b=0;aba-b0.師 這就是實數(shù)的基本性質的一部分，還有任意兩個正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價符號左邊不等式反映的是實數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實數(shù)的運算性質，合起來就成為實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系，它是不等式這一章的理論基礎，是證明不等式以及解不等式的主要依

15、據.師 由實數(shù)的基本性質可知，我們如何比較兩個實數(shù)的大小呢？生 只要考察它們的差就可以了.師 很好.請同學們思考下面這個問題.(此時，老師用投影儀給出問題)合作探究【問題1】 已知x0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.（問題是數(shù)學研究的核心，此處以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識)（讓學生板演，老師根據學生的完成情況作點評）解：(x2+1)2x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x0，得x20，從而(x2+1)2x4+x2+1.（學生對x0，得x20在說理過程中往往會忽略）師 下面我們來看一組比較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析.（讓

16、學生板演，老師根據學生的完成情況作點評）【例1】 比較下列各組數(shù)的大?。╝b）.(1)與 (a0,b0);（2）a4b4與4a3（ab）.師 比較兩個實數(shù)的大小，常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.解：（1），a0,b0且ab,a+b0,(a-b)20.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2,2a2+(a+b)20(當且僅當a

17、=b=0時取等號),又ab,(a-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20.a4-b44a3(a-b).師 同學們完成得很好，證明不等式時，應注意有理有據、嚴謹細致，還應條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差變形判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.(此時，老師用投影儀給出下列問題)合作探究【問題2】 求證：（1）ab且c0acbc；（2）aba+cb+c.師 請同學們思考第一小問該如何證明？生 可用實數(shù)的基本性質，ab,a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(

18、a-b)c0，即acbc.師 這位同學證明的思路很好，很嚴密.同學們還有其他的證明思路嗎？生 ac-bc=(a-b)c，ab，a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c0，所以得證.師 這位同學證明得是否正確？生 正確.師 這兩位同學的證明都正確，請同學們認真地審視一下，比較這兩位同學證題思路的區(qū)別與聯(lián)系.生 第一位同學的證明是由條件到結論，第二位同學的證明是由結論到條件，即尋找結論成立的條件.師 回答得非常好，這位同學看出了兩種證明方法的本質.由條件到結論，由結論到條件，這是我們證明問題經常采用的思路.（按照教材對不等式的證明要求，此處對不等式證明的分析法與綜合法沒有點明，只是讓學生通過具體的問題了解不等式證明的分析法與綜合法的證題思路）師 請同學繼續(xù)思考第二小問該如何證明？生 可由結論到條件，a+c-(b+c)=a-b，ab，a-b0，a+cb+c.師 這位位同學回答得很好，有理有據，嚴謹細致，也很有條理清晰.別的同學有問題嗎？生（齊聲）沒問題.師 這說明同