課堂導(dǎo)學(xué)(2.1.1合情推理)

1、課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一,運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論【例1】在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線由此猜想凸n邊形有幾條對角線？解：凸四邊形有2條對角線；凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條；于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對角線.由此凸n邊形對角線條數(shù)為2+3+4+5+(n-2)=-n(n-3)(n>4GN*).2溫馨提示歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理，是人們在日?；顒?dòng)和科學(xué)學(xué)習(xí)研究中經(jīng)常使用的一種推理方法，必須認(rèn)真學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì).在歸納推理的過程中，應(yīng)注意所探求的事物或現(xiàn)象的

2、本質(zhì)屬性和因果關(guān)系，如本例中隨多邊形邊數(shù)及對角線條數(shù)的共變現(xiàn)象作定量觀察分析，才能發(fā)現(xiàn)其對角線條數(shù)的增加規(guī)律.二,運(yùn)用類比推理揭示事物相似(相同)的性質(zhì)【例2】類比實(shí)數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).解：(1)兩實(shí)數(shù)相加后，結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩向量相加后，結(jié)果仍是一個(gè)向量.(2)從運(yùn)算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+a;a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，即減法運(yùn)算.a+x=0與a+x=0都有唯一解，x=-a與x=-a.(4)在實(shí)數(shù)加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，即a+0=a.

3、在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，亦不改變該向量的方向，即a+0=a.溫馨提示類比是對知識進(jìn)行理線串點(diǎn)的好方法，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)中，常常以一兩個(gè)對象為中心，把與它有類比關(guān)系的對象歸納整理成一張圖表，便于記憶與運(yùn)用.三,利用合情推理探索新結(jié)論拓展知識【例3】在4ABC中，余弦定理可敘述為a2=b2+c2-2bccosA,其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.解:Si、S2、S3、S分別表示PAB、APBC>APCA>AABC的面積，13、丫依次表示平面PAB與平面PBC,平面PBC與平面PCA,平面PCA與平面P

4、AB所成二面角的大小，猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為S2=Si2+S22+S32-2SiS2cos-2S2s3cos32S3S1COS丫.上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方，等于其他各面面積平方的和，減去每兩個(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍.關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理來證明三角形余弦定理的方法，給出較簡捷的證法.各個(gè)擊破類題演練1意大利數(shù)學(xué)家斐波那契.Fibonacci)在他的1228年版的算經(jīng)一書中記述了有趣的兔子問題：假定每對大兔子每月能生一對小兔子，而每對小兔子過了一個(gè)月就可長成大兔子，如果不發(fā)生死亡，那么由一對大兔子開始，一年后能

5、有多少對大兔子呢？我們依次給出各個(gè)月的大兔子對數(shù)，并一直推算下去到無盡的月數(shù)，可得數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,這就是斐波那契數(shù)列，此數(shù)列中a=a2=1，你能歸納出，當(dāng)n>3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎？解：從第3項(xiàng)開始，逐項(xiàng)觀察分析每項(xiàng)與其前面幾項(xiàng)的關(guān)系易得：從第3項(xiàng)起，它的每一項(xiàng)等于它的前面兩項(xiàng)之和，即an=an-1+an-2(n>3,nN*).變式提升1a數(shù)列an中,a1=2,an+1=,nCN，依次1t算a,a3,a4,并歸納猜想出an的表達(dá)式.-2解：a2=6 13an12_2_2_27-61-321-611272222a3=32,1

6、131213416217_2石2222a4一6,19181361631I13故an =26 (n -1) 126n -5類題演練2類比圓的下列特征，找出球的相關(guān)特征.(1)平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓；(2)平面內(nèi)不共線的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；(3)圓的周長與面積可求；(4)在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(x0,y°)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：(1)在空間內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合是球；(2)空間中不共面的4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球；(3)球有表面積與體積；(4)在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(x0,y0,Z0)為球心，r為半徑的球的方程為(x-x0)

7、2+(y-y0)2+(z-Z0)2=r2變式提升2從大小正方形的數(shù)量關(guān)系上，觀察如右圖所示的幾何圖形，試歸納得出的結(jié)論.解：從大，小正方形的數(shù)量關(guān)系上容易發(fā)現(xiàn)1=12,1+3=2X2=22,1+3+5=3X3=32,1+3+5+7=4M=42,1+3+5+7+9=5>5=52,1+3+5+7+9+11=6>6=62.觀察上述算式的結(jié)構(gòu)特征，我們可以猜想1+3+5+7+-+(2n-1)=n2.類題演練31111Sn=+，求出S1,S2,S3,S4,并歸納猜想Sn的表達(dá)式.1 22334n(n1)解：取n=1,2,3,4，計(jì)算可得S1=,S2=,S3=,S4=3,觀察4個(gè)結(jié)果，都是分?jǐn)?shù)，分子正好等于2 345和式的項(xiàng)數(shù)，分母比分子大1,故歸納猜想Sn=.n1計(jì)算可得Sn=(1-1)+(I-1)+-'一=1-一=一.223nn-1n1