信號教案第四章

1、信信 號號 與與 系系 統(tǒng)統(tǒng) 第四章連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析信息科學技術學院 光電工程系二零零六年第上學期第四章連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析連續(xù)時間信號的譜分析和時頻分析4.1 引言引言LTI系統(tǒng)分析法：系統(tǒng)分析法：（1）時域分析法）時域分析法 （2）. 變換域分析變換域分析 ）狀態(tài)變量分析（第九章卷積積分法微分（差分）方程法輸出分析輸入),ernzejseejnjksttjk復頻域分析（基函數(shù)）頻域分析（基函數(shù)（離散信號）復頻域分析（基函數(shù)）頻域分析（基函數(shù)（連續(xù)信號）頻分析（時變系

2、統(tǒng)）時譜分析（連續(xù)、離散信號） 注：用復指數(shù)函數(shù)或復指數(shù)序列為基，是因為 它們是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)； 它們是正交函數(shù)集； 信號頻譜同信號一樣都是現(xiàn)實可觀察的量。 譜分析： 頻域分析： 在頻域中，用頻譜分析的觀點分析系統(tǒng)。 時頻分析： 對時變信號，分析信號局部時刻所含的頻率分量。)(,)(21()(,(是頻譜密度或頻譜函數(shù)非周期信號）數(shù)是頻譜系數(shù)或傅里葉系周期信號）分解分解XdteXnxcecnxtjkktjkk 4.2 復指數(shù)的正交性復指數(shù)的正交性1. 正交函數(shù) （1）正交函數(shù)正交函數(shù)定義定義: t (t1, t2)， 滿足 （4-3） 則，稱 為正交函數(shù)集正交函數(shù)集. 若k=1,則稱 n=

3、0,1,2N為歸一化正交函數(shù)集歸一化正交函數(shù)集。 若再也找不到其他函數(shù) 滿足： （4-4） 則，稱正交函數(shù)集 是完備的完備的（其含義就是再也沒有跟 無關的其他函數(shù)存在，即，可用 構(gòu)造空間的所有 函數(shù)）。)()(),()(10ttttNn.,0)(*)(mnkmndtttmn)(tn)(tn., 2 , 1 , 0, 0)(*)(Nmdtttm)(t)(tn)(tn)(tnttdtttkttdtttxkcttttctxnnnnNnnn2121)(*)()(*)(1, )()(021 ttdtttxkcttkcdtttcdtttttcdtttttcttdtttxnnnnnnNnmnnNnmnnm2

4、121212121)(*)(1)(*)()(*)()(*)()(*)(00 （2）任意函數(shù)可精確地用N+1個正交函數(shù)的加權(quán)和表示 任意函數(shù) x(t)，正交函數(shù)集 ，則有 （4-5） （4-6） （4-7） 式中c n 是x(t)所含的的第n個分量的系數(shù). 證明（4-6）式：)(tn 附注：（4-5）式表示 x(t) 在以 為基的空間空間可分解，即， x(t) 中含有 的分量，其大小為 2 . 常用的正交函數(shù)集常用的正交函數(shù)集 復指數(shù)函數(shù)集復指數(shù)函數(shù)集 t ( t1, t2)， e jnot， n=0,1,2,是正交函數(shù)集。 因為 式中T 0 =2/0基波周期基波周期。 正弦函數(shù)或余弦函數(shù)集正弦

5、函數(shù)或余弦函數(shù)集 t ( t1, t2)，sinnot或cosnot ， n=0,1,2,是正交函數(shù)集。 因為)(tcnnmnTmnTttdtettdteetmnjtjmtjn,0*0)(01102100mnTmntdtmtTttn, 0sinsin000011)(tn)(tn 式中T 0 =2/0基波周期基波周期。 4.3 周期信號的表示周期信號的表示 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 1. 用復指數(shù)函數(shù)表示周期信號：復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)用復指數(shù)函數(shù)表示周期信號：復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 周期信號 x(t)= x(t+T)， T 0 = min T =2/0基波周期基波周期。 復數(shù)形式的

6、傅里葉級數(shù) （4-33） 傅里葉系數(shù)或頻譜 （4-34） 說明：上式 k =n的項稱n次諧波，k=0的項是直流分量，k=1的項是基頻分量，其周期為T 0 。 諧波分量的頻率是基頻的整數(shù)倍(k =k0)。 若x(t)是實信號，則有 顯然 ck= c*-k或c*k= c-k ， 通常 ck是復數(shù)。TdtetxTcectxtjkkktjkk000)(1)(0. 0cossin, 0coscos00000011011tdtmtTttnmnTmntdtmtTttnktjkkktjkkectxectxtx00*)()()(* 例 . 已知一周期信號的傅里葉級數(shù)的表示式為 (4-18) 式中c0=1， c1

7、=c-1=1/4， c2=c-2=1/2， c3=c-3=1/3， 0=2。求(a)其三角函數(shù)表示式；(b)用圖解方法表示各諧波分量的波形及合成波形。 解: (a) x(t) 由（4-18）式 x 0(t) x 1(t) (b)各諧波分量波形集合成波形如右圖 x 2(t) x 3(t)330)(ktjkkectx)()()()(6cos3/24cos2cos2/113/2/4/1)(3210664422txtxtxtxttteeeeeetxtjtjtjtjtjtj 2. 周期信號的三角函數(shù)形式周期信號的三角函數(shù)形式周期信號 x(t)令ck=Ake jk, |ck|=Ak模模； k=arg ck

8、幅角幅角。 則， 即，有：即，有： 周期信號周期信號 的極坐標形式的極坐標形式 （4-40）Re2)(00001010eccececcectxtjkkkktjkktjkkktjkkRe2)()2(100eActxktkjkkccAtkActxkkkkkkkarg)cos(2)(100 利用 cos(+)= coscos- sinsin,可得到： 周期信號周期信號 的正的正余弦形式余弦形式 注意：若x(t) 為實函數(shù)，則Bk和-Dk都是實數(shù)，且Bk =Reck， -k =Imck，k0. 若若ck是實數(shù)，則是實數(shù)，則 -Dk =0， x(t)展開為余弦級數(shù)，展開為余弦級數(shù)，若若ck是純虛數(shù)，則是

9、純虛數(shù)，則 Bk =0， x(t)展開為正弦級數(shù)，展開為正弦級數(shù)，TtdtktxTDTtdtktxTBBDtgDBAccDjDBcckccBjDBctkDtkBctxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk000000221000sin)(22cos)(222*0,2,sincos2)(例 1. 求周期性矩形脈沖的傅里葉級數(shù) 解：該信號的函數(shù)形式為占空比： T/T0 ，基波周期T0，基波頻率0=2/T0?？傻?T/T0 =0.5時，c 1=c-1=A/ , c 3=c-3=-A/ 3, c 5=c-5=A/ 5,-D k=0，2B1=2A/3， 2B5=2A/5，2B2= 2B4 =0

10、， 頻譜圖( c kk) tTtAtx周期內(nèi)其它, 02|,)(1x(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA)/sin()/()2/sin()/2()(/(1/10110002/2/002/2/0012/2/00101011011TTkkATkTkAeeTjkAdteATcTTAAdtTcTjkTjkTTtjkkTT=2T1=4T1=8T1傅里葉級數(shù)為振幅頻譜：振幅頻譜：c k k 圖；相位頻譜：相位頻譜： k k 圖。注意：注意：占空比越小，其頻譜越豐富。 例 2. 已知x(t)是一周期性鋸齒波如下圖所示，試求傅里葉級數(shù) 解：鋸齒波一周期內(nèi)形式為 x(t)= t/T 0，-T

11、0/2t非周期信號具有連續(xù)譜， 周期信號具有離散譜離散譜，諧波性諧波性和收斂性收斂性。2sin22sin2sin)(100110100110010TkcTTATkTkTTAceTkAcTTAtxkjkktc 0c 1c -1c 2c -2c kk 0c -k2.周期信號的功率譜 （1）信號能量在各諧波中的分布 考察平均功率 帕色伐爾定理： （4-91） 功率譜（|c k|2k圖）的物理意義：反映周期信號的功率在各諧波中的分布。*)()(1)(1kk2/2/02/2/k02/2/2000000000ccccdttxTecdttxecTdttxTPkkkkTTtjkkTTtjkkTT2/2/220

12、00|)(1TTkkcdttxTP1k2021k2022)2(21|2|PAcccckkk即， 帕色伐爾定理揭示了信號變換時能量是守恒的，即，可在時域或頻域求信號功率。例. 周期矩形脈沖信號的頻譜與功率譜. 可見能量主要集中在低頻部分（主峰內(nèi)）。（2）信號的有效帶寬 有效帶寬（B w）的概念：占信號能量90%以上的頻譜寬度。 矩形脈沖信號的有效帶寬第一個零點210210sin01|222TkTkTTAck210Tkc 0c 1c -1c 2c -2c kk 0c -k有效帶寬 為 周期矩形脈沖信號有效帶寬內(nèi)譜線數(shù)： N=B w/0 1=2/T10 -1 = T0 /T1 -1。例.周期矩形脈沖

13、信號，A=1v， T0 =0.25s， T1 =0.05s，求 信號的平均功率，有效帶寬, 有效帶寬內(nèi)的譜線條數(shù)， 有效帶寬內(nèi)的功率，有效帶寬內(nèi)的功率占總功率的比率。 解： TkBw10/2)(2 . 0125. 01)(1025. 0025. 02222000WdtdttxTPTTx(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tAHzTBBsradTkBwfw20/12/40/2110 N=B w/0 1 = T0 /T1 -1=0.25/0.05 -1=4 。 c0 =A T1/T0 =0.05/0.25=0.2 P/P=0.1809/0.2=90.4%.0,5/sin2 . 02

14、2sin101001kkcTkTkAcTTk)(1809. 0)0457. 02546. 05764. 0875. 0(08. 004. 0545352522 . 0|2|sinsinsinsin222221k202WccPcccck46 傅里葉級數(shù)的收斂性傅里葉級數(shù)的收斂性 吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象 周期信號的傅里葉級數(shù)是否一定收斂？ 傅里葉級數(shù)的收斂性 滿足如下條件的級數(shù)是收斂的 荻里赫利（荻里赫利（Dirichlet)條件條件: (1)函數(shù)在周期內(nèi)絕對可積 （含意：ck有限） (2) x(t)的任何周期內(nèi)極大、極小值的數(shù)目是有限的（不是無限震蕩）。（3）x(t)在一個周期內(nèi)部連續(xù)點個數(shù)有限，

15、其值也有限。連續(xù)點處： 不連續(xù)點處：2)()()(txtxtx;| )(|2200TTdxktjkkectx0)(注意：如果周期函數(shù)本身及其前n次導數(shù)是連續(xù)的，而(n+1)階導數(shù)開始出現(xiàn)間斷點，則有 ck1/kn+2例 1：周期脈沖（函數(shù)有不連續(xù)點） ,例 2：三角波（一階導數(shù)不連續(xù)）例 3：方波（函數(shù)有不連續(xù)點）吉伯斯現(xiàn)象 周期信號x(t)22sin101001TkTkAcTTk為奇數(shù)kkAck,/222x(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA -T0 0 T0 tx(t)為奇數(shù)kkAck,/|Odx(t) -T0 0 T0/2 T0 t1-1ktjkkectx0)( 有限

16、項和 此時，信號的高頻部分被去掉了，信號就會出現(xiàn)失真現(xiàn)象。例如方波，當取有限項時 有限項xN(t)表示x(t)時，在不連續(xù)點兩側(cè)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率增高，且靠近不連續(xù)點處出現(xiàn)過沖，其峰值并不減小，大約等于不連續(xù)點出高度的9%吉伯斯現(xiàn)象。吉伯斯現(xiàn)象。 意義：意義：不連續(xù)的時間函數(shù)或信號通過一實際系統(tǒng)時，信號的高頻部分被衰減，就會出現(xiàn)吉伯斯現(xiàn)象)()(0txectxNNktjkkNN=1N=3N=7N=13N=1947非周期信號的表示非周期信號的表示 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 如何展開非周期信號？ 1.非周期信號的表示 非周期信號 x(t) 周期信號 周期性開拓 =

17、顯然： 而)(txx(t)-T1 0 T2 t)(im)(l0txtxT To T1+T2 )(tx -2To -To -T1 0 T2 To 2To t dtetxTcdtetxTcectxtjkTTktjkTTkktjkk0000000220220)()(1)( 當則頻譜密度（函數(shù)）頻譜密度（函數(shù)） （4-107）又又dtetxXtjkTTT000022)(lim)(.lim)(0, 0,2,0000000TcXTcckkdTTkTkk令，但dtetxXtjk0)()(deXeTceTcTectxtxtjktjkkTktjkkTktjkkTT)(21lim211limlim)(lim)(0

18、0000000000非周期信號的傅里葉表示非周期信號的傅里葉表示 (4-110)說明：說明： X(X() )是單位頻率上的復振幅（是單位頻率上的復振幅（ X(X()=2)=2C Ck k/ /0 0）; ;又稱頻譜密又稱頻譜密度函數(shù)（相當對應的周期函數(shù)的度函數(shù)（相當對應的周期函數(shù)的C Ck k）。）。 X(X() ) 一般為復數(shù)，一般為復數(shù)， X(X() =| X() =| X() |e) |ejargX(jargX() ) 。 X(X() ) 表示非周期信號中各頻率分量的相對大小，表示非周期信號中各頻率分量的相對大小，arg X(arg X() ) 是相是相應于各頻率分量的相位。應于各頻率分

19、量的相位。 非周期函數(shù)（信號）非周期函數(shù)（信號）x(tx(t）的頻譜密度是連續(xù)譜。）的頻譜密度是連續(xù)譜。 x(t)x(t)的譜的譜X(X() )與與 的譜的譜 C Ck k的包絡一樣，只是幅度不同而已。的包絡一樣，只是幅度不同而已。 非周期函數(shù)（信號）非周期函數(shù)（信號）x(tx(t）表示為復指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。）表示為復指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。 例deXtxtj)(21)()(tx -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA)(txAx(t)-T1 /2 0 T1 /2 tc 0c 1c -1c 2c -2c kk 0c -kX()2.傅里葉變換傅里葉變換1) 傅里葉變換對 (4-110) (4

20、-111)或 F x(t) = X() 或 x(t) X() F -1X() = x(t) 時域 頻域 傅里葉變換是一種頻域變換的工具。傅里葉變換是一種頻域變換的工具。 2) 傅里葉變換的收斂性 荻里赫利條件： x(t)絕對可積 ； 在任何區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個極大值和極小值； 在任何區(qū)間內(nèi)，x(t)的不連續(xù)點個數(shù)有限，而且在不連續(xù)點處x(t)的值有限。 滿足上述條件的x(t)，其傅里葉積分將在所有連續(xù)點收斂于x(t),dttx| )(|分析式綜合式dtetxXdeXtxtjtj)(21)()(21)(而在x(t)的各不連續(xù)點將收斂于x(t)的左極限和右極限的平均值。 連續(xù)點處： 不連續(xù)點

21、處： 注意：所有的能量信號都存在傅里葉變換， 許多功率信號或周期信號雖不滿足條件（絕對可積條件），但變換中可以使用沖激函數(shù)()，則也可以認為該周期信號具有傅里葉變換。 3）一些常用信號的傅里葉變換 單邊指數(shù)信號)()(21)(21)()(21111txtxdeXtxdeXtjtj0,1)()(0, )()()(jdtedtetueXtuetxtjtjttarctgXX)(arg1| )(|220 tx(t)X()- 0 2/1argX()-0 雙邊指數(shù)信號門函數(shù) F 對比. 0)(arg)(0,2)(0,)(220)(0)(| | |XdtedtedteeXetxtjjtjtjtt.2/sin

22、)(,2/2/sin)(2/|, 02/|, 1)(111111111TcTAXTTTAdteAtGATtTttGtjTT1 x(t)0 t2/ X() 1/ - 0 1 -T 1/2 0 T1/2 t)(1tGT2/2/sin101001TkTkTTAckAT1 X() 0 單位沖激函數(shù) 即， 若 含義：時域中的直流分量在頻域只有零頻分量 對于F (t)=1 或(t) 1，單位沖激函數(shù)的頻譜包含振幅相等的所有頻率分量。)()(2121)(21)()()()(1)(1)()()()()(1即，eXXFtxXtdtettFXttxtjtj (t) 0 t () 0 1 X() 0 1 x(t)

23、0 t 復激函數(shù) 即即 推論推論：)(2)()(0)(0000dtedteeeFXetxtjtjtjtjtj)()(2sin)()()(2)(221cos2cos0000000000000jeettFeettjtjtjtj)(20eFtj48 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系1. 傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關系（傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關系（c k與與X()的關系）的關系） 周期信號 ， 非周期信號 。（4-136） c k = X (k0) /T0 . (4-137)證明：證明：2/, 2/, 02/2/),()(0000TtTtTtTtxtx)()(Xtxkctx)(

24、)(1)(1)(1)(10002202200000000kXTdtetxTdtetxTdtetxTctjktjkTTtjkTTk例 22. 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換1）周期信號 x(t) 有 則， 周期信號的傅里葉變換為周期信號的傅里葉變換為 （4-14）,)(0ktjkkectxktjkkeTkcTATtxTkcTATTkXcTcATX02sin)(2sin)(2sin)(100110010011kkktjkkcecFXtxF)(2)()(00 1 -T 1/2 0 T1/2 t)(1tGT -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA)(txkkktjkkkcectx)

25、(2)(00)(20tje 結(jié)論：系數(shù)為ck的周期信號的傅里葉變換可以看成是出現(xiàn)在等間隔頻率0，而頻率為k0上的一串沖激函數(shù)。其中頻k= k0處的()的強度為第k項傅立葉系數(shù)ck的2倍。2) 周期沖激串的傅氏變換 周期沖激串 先求ck ， 周期沖激串的傅氏變換為kkkkTkcX)(2)(2)(000kkTttx)()(002/2/02/2/01)(1)(1000000TdtetTdtetxTcTTtjkTTtjkkkkkTkTttx)(2)()(000 x(t) -3T0 -2T0 -T0 0 T0 2T0 3T0 t X() -6/T0 -4 /T0 - 2 /T0 0 2 /T0 4 /T

26、0 6 /T0 t49連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應用連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)與應用1.線性 若 有 a,b為任意常數(shù)。2.共軛對稱性1）若x(t)是一實時間函數(shù) 則 類似地 ： 又 由 結(jié)論：實時間函數(shù)有 由 實函數(shù) x(t)有: |X(-)|= |X()|，(-)=-().)(Im)(Re)(*)(Im)(Re)()(Im)(Re)(XjXXXjXXXjXXkkccXX*)(*)()()()()()()(, )()(21212211bXaXtbxtaxXtxXtx)(Im)()(Re)(XjXOdXXEv)()()(| )(|)(*| )(|)(| )(|)(jjjeXXeXXeXX 2).

27、 若x(t)是實偶函數(shù) x(-t)=x(t), 則有結(jié)論：此時X()是實偶函數(shù)。2). 若x(t)是奇函數(shù) x(-t)=-x(t),結(jié)論：此時X()是虛奇函數(shù)。推論:)(Im)(Re)()()()(XjXxFxFtxFxxtxOdtxEvtxoeoe)(*)()()()()(XXdtetxdtetxdtetxXtjtjtj補充性質(zhì)：3. 時移性 x(t) X(), F x(tt0) =e jto X().說明：時域延時，不改變其頻譜函數(shù)的幅頻特性，而只改變相位特性。要使信號波形并不因延時而變化，要求其頻率成份在時域延時同樣時間，而在頻域相移t0與頻率成正比。4.尺度變換性質(zhì) x(t) X(),

28、 x(at) (1/|a|) X(/a) x(at-0) (1/|a|) X(/a) e -j to /a)(*)(*)(*)(*)()(XtxFXtxFXtxF5.反轉(zhuǎn)性質(zhì)6.頻移性質(zhì) 頻移性質(zhì)的主要應用：頻移性質(zhì)的主要應用： 調(diào)制：把較低頻率的信號移到高頻的過程。 振幅調(diào)制 使高頻載波的振幅按信號規(guī)律變化。 方法： x(t) x(t) cos0t信號x(t)高頻載波 cos0t)()()()(XtxXtx)()()()(00XetxXtxtj x(t)0 t X()0 X() - 0 0 0 調(diào)制x(t) F x(t) cos0t = F x(t) (e jot+ e-jot)/2 = F

29、 x(t) e jot/2+ F x(t) e-jot/2 = X(-0) /2+ X(+0) /2 = X(). 頻分復用通信中往往需要把不同用戶的低頻信號調(diào)制到不同的頻段，而互不干擾。7. 對偶 x(t) X() 則 X(t) x()例. 求抽樣函數(shù)的頻譜函數(shù)。解：門函數(shù)tctxcsin)(2/sin)(111TcTtGT X()- 0 0 0 1 GTo(t)-T 1/2 0 T 1/2 t 令 F X(t) = 2 x() = 2 GT1()/T 1 = G2c()/c 對偶的應用：對偶的應用： 1. 函數(shù)下的面積 時域中面積： 頻域中面積：)0(| )(|)()(00XXdtetxd

30、ttxtj / c F X(t) - c 0 c t cccTTTtctXXTcTtGtx22/,sin)()(2/sin/ )()(11111 x(t) 0 t )0(2| )(2|)()(00 xtxdeXdXtttj X() 0 例 1.求sinc(ct)下的面積 解： 例 2. 求 解：cccXdttxXGtctxc)0()()()()(sin)(2dj1)0(2)0(2)()()(1)(uxdXtxtuejXt2. 等效脈沖寬度、等效頻帶寬度等效脈沖寬度：定義：等效頻帶寬度B w：定義：9.時域微分性質(zhì) （注意：x(t)中無直流分量時，兩個方向都成立） 推廣：)0()0()0()()

31、0(xXXdttxxx(0) x(t)0 t )0()0(2)0(2)()0(XxBxdXBXww0 X(0) X()B w)()(Xjdttdx)()()(Xjdttxdnnn例 1. 求(t)的傅里葉變換.解： 已知 F (t) =1， 則 F (t) = j， 且 F (n)(t) =( j) n，例 2. 求符號函數(shù)的傅里葉變換 解： 先考慮從而0, 10, 1sgnttjXXjt2)(2)()sgn()()sgn()()()sgn(Xttutut)(2)()()()()sgn(ttttutut sgn1 0 t -1例 1. 求u(t) 的傅里葉變換.解：為什么不能如下這樣做？ 原因

32、是u(t)中含有直流分量。 因為 而jXtuFXjtuttu1)()()(1)()()(從而)()()()()(2)()()()()(,)()(000tuFtuFtxFtuFctxFcFtxFtuFtxtuctxtu可見錯誤結(jié)論，得出從而零，直流分量因微分而為)()()()()()()()()()()()()()(, )()(tuFtuFjtxFtuFtuFjtxFtuFjtxFtuFtuFjtxFtuFtxtutxtujXtuttu1)()()()sgn(2121)(10. 頻域微分性質(zhì)例. nnndXdtxjt)()(推廣：222)(22)sgn(2)sgn(1)()()(1)()(, )

33、(1)()()(2)(2)(2, 1)(2jjttjtjjXttujXXjtujtjtjtnnn得由由推廣：從而ddXtjtxXtx)()()()(11.時域積分性質(zhì)附注：12.頻域積分性質(zhì)上式表明，頻域中的積分等于在時域中除以-jt.傅里葉變換、性質(zhì)表見P145jXXdttxXtxt)()()0()()()(jXXdttxjXtuFXtutxdttxtutxtt)()()0()(1)()()()()()()()()(從而而dXtxjttxxdXtxtxjtXtx)()(1)(,0)0()()()0()(1)()(則為奇函數(shù)或若410卷積定理及其應用卷積定理及其應用1.時域卷積定理證明：注意：

34、該定理是頻域分析法分析注意：該定理是頻域分析法分析LTI系統(tǒng)和濾波器的基礎系統(tǒng)和濾波器的基礎很重要。很重要。)()()()()()()()(21212211XXtxtxXtxXtx則)()()()()()()()()()()()(211221212121XXdexXdeXxddtetxxdtedtxxtxtxFjjtjtj例1. 求三角脈沖的頻譜函數(shù)解：已知三角脈沖是兩個門函數(shù)的卷積即則 例2. 求三角波的傅里葉級數(shù)解：據(jù)上例：)()()(11txtGtGTT2/sin2/sin2/sin)()()()()(121211111111TcTTcTTcTtGFtGFtGtGFtxFTTTT2/si

35、n22/sin222,2/sin2)()(,2)()(22212110010210010kkTkcTcTTTkcTTkXcectxTtxtxkkktjkk G T1(t) 1 -T 1/2 0 T1/2 t G T1(t) 1 -T 1/2 0 T1/2 t*= x(t) T1-T1 0 T1 t0,20,21221kTkkkTck為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)ktkkTeekTTekTtxktjkktjkktjk),cos(4)(222)(0122112211221000 -T0 0 T0 tx(t)T1/2 0 t -T1 0 T1 tT1/2 )(tx= 例3. 用變換域的方法研究LTI系統(tǒng)2.頻域

36、卷積定理（調(diào)制定理）注意：該定理是頻域分析法研究調(diào)制、解調(diào)和抽樣系統(tǒng)的基礎注意：該定理是頻域分析法研究調(diào)制、解調(diào)和抽樣系統(tǒng)的基礎很重要。很重要。頻域卷積定理應用：頻域卷積定理應用： 調(diào)制與解調(diào)振幅調(diào)制：信號x(t) :載波:調(diào)制：)()()()()()()()(, )()(, )()(PXGtptxtgGtgPtpXtx則)()()()()()()()()()()(1YFtyHXthtxFtyFYthtxtycos)()(txtgttp0cos)(x(t) y(t) 系統(tǒng) h(t)x(t)tp(t)tg(t)t X() -1 0 1 P() - 0 0 0 G()- 0 0 0 F g(t)

37、= F x(t)cos 0 t = F x(t)* F cos 0 t = X()* (-0) + (+0) = X(-0) /2+ X(+0) /2 = G()解調(diào) 將調(diào)制信號再乘高頻載波：濾波 門函數(shù) )()2(41)2(412)(22cos)(2)()(000RXXXttxFtxFtrF22cos)(2)(22cos1)(cos)()()()(0002ttxtxttxttxtptgtr 其他, 0|, 2)(1cH R()-20 -0 0 0 20 2 H() -c 0 c )()(, )()(2)()()2(41)2(412)()()(100XFtxXHXHXXXHR示意圖：調(diào)制： 解

38、調(diào)：411相關相關 1.相關的定義意義：相關函數(shù)反映兩信號的相似程度（或關聯(lián)程度）。應用：目標識別（通信，信號處理和生物醫(yī)學等方面）。x(t)p(t)g(t)x(t)g(t)p(t)r(t)濾波H() y(t)=x(t)是復函數(shù)是實函數(shù))(),(,)(*)()()()(),(,)()()()(212121212121txtxdtxxtxtxtxtxdtxxtxtx 例 ：已知 求它們的相關函數(shù)。解：圖解法 其他為零 tttxtttx其他其他, 010, 2/1)(, 010, 2)(211)()(21txtx1)()(21txtx1, 010,10, 101,11, 0)()(| 1| |10

39、21tttdtttdttxtxtt2 x 1()0 x 2()0 1 x 1(-t)t 0 t0 x 1()t 0 1+t -1 t 0 x 2(-t)x 1()x 2(-t)0 t 1 0 t 1 1+t 2. 自相關函數(shù)與互相關函數(shù)（1）自相關函數(shù) （4-203）含義：R x隨時間t變化快慢程度反映x(t)隨時間變化款慢程度。 (2) 互相關函數(shù) （4-205） （4-206）若x1(t)、x 2(t)為實數(shù)，則dtxxtxtxtRx)(*)()()()()()()()(2112tRtRtRtRxx)(*)()(*)()()()()(*)()()()()()(211212122121211

40、221tRtRdtxxtxtxtRdtxxtxtxtRtxtx（3）功率信號的相關函數(shù) 對于功率信號相關函數(shù)不能按上述定義，必須作如下定義。3. 相關定理注意：若x(t)是實偶函數(shù)，這時相關定理與卷積定理有相同結(jié)果。2/2/2/2/12212/2/2112)(*)(1lim)()(*)(1lim)()(*)(1lim)(TTTxTTTTTTdtxxTtRdtxxTtRdtxxTtR2121221212211| )(|)()()(*)()()()(*)()()()()(, )()(XtxtxXXtxtxXXtxtxXtxXtx或則4.12能量密度于功率譜密度 類似功率譜（周期信號）|ck| 2，

41、頻率處 單位頻率間隔所包含在頻率分量中的功率和相應帶寬，非周期能量信號在頻域中的同樣有分布和有效帶寬。 （1）非周期信號的能量譜密度 非周期信號帕色伐爾定理：帕色伐爾定理： （4-220）含義：時域和頻域求得的能量是相等的（域變換時，能量守恒）dXdXdXXdXXddtetxXdtdeXtxdttxEdeXtxtjtjtj222| )(| )(|21)(*)(21)()(21)()(21)(21)()()(21)(能量dXdttx22| )(|21)(考察頻域中的能量：令比較（4-220）式 ，得 的物理意義的物理意義：頻域中頻率處單位頻率間隔內(nèi)的能量，單位為“J/Hz”.注意：E()只與|X()|2 （或R()自相關的頻譜)有關，與相位頻譜arg X()無關。 不能從|X()|2或R()來恢復x(t)，但對充分利用信號能量，確定有效帶寬有重要的作用。例.求矩形脈沖信號AGT1(t)的能量譜密度，總能量、有效帶寬占有的能量。則能量為能譜密度,)(EdEdEE)(21)(2| )(|X能譜密度2| )(|)(XE解附注：有效脈沖寬度（）定義：歸一化的能量信號x(t)有效脈沖寬度（BW）定義：歸一化的能量信號x(t)為有效脈沖寬度對應的通常取%90,)(2/2/2dttx%4 .9