數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。n(a1 an) n(n -1)1、差數(shù)列求和公式： Sn = - = na1+-d ； 22J- nai2、等比數(shù)列求和公式：Sn =(1 -qn)a1 anq1 -q 1 -q(q =1)(q 二 1)八.1,3、Sn =£ k =n

2、(n +1)；ki 2c n 214、 Sn =£ k =_n(n+1)(2n +1);k461o5、Sn =£ k3 =n(n +1)2.k42一 一，-1O .c 一、， 一例1 ：已知log 3 x =,求x + x + x + x +的刖n項和.log 2 3El-1斛：由 log3x =-10g 2 3log 3 x - - log 3 2 二1x =一 ,2由等比數(shù)列求和公式得Sn = x x2x3，xnx(1 -xn) _ 2(1 2n) _1111-x 112n1 -2解析：如果計算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項式的求和形式，可以直接利用公式。練習(xí)：(1)等比

3、數(shù)列an的前 n項和 Sn =2n -1 ,則 a； +a2 +a2 +|+a：=(2)計算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢 2進(jìn)1”，如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是儼23 +1父22 +0父2 +儼夕=13那么將二進(jìn)制(11叩11)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是2005 個 1、錯位相減這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前n項和，其中 an 、 bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例2：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,，nan,(a為常數(shù) *前n項和。 解：若 a =0,則 Sn = 0 .若 a =1,則 Sn

4、=1 2 3 一 一 n - n n2 1 .若a 吏 1,且 a 毛1,貝11 Sn = a - 2a2 - 3a3 - - nan .n 1一 na二 aSn =a2 +2a3 +3a4 +nan'(1 -a Sn =a +a2 +a3 +an -nan中na(1 -a)21 -aa:1 .當(dāng)a =0時，此式也成立. Sna：1解析：數(shù)列%an運由數(shù)列品與9對應(yīng)項的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯位相減，(課本中的的等比數(shù)列前n項和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的)，但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。練習(xí):(1)設(shè)an為等比數(shù)列，Tn =n&+(n 1)a2 +

5、川+ 2an+an ,已知T1=1, T2=4,求數(shù)列a0的首項和公比；求數(shù)列Tn的通項公式.；(2)設(shè)函數(shù) f(x)=(x1)2, g(x)=4(x1),數(shù)列an滿足：a1=2, f (an) = (an an 由)g(an), 其中 nw N +。求證：數(shù)列an 1是等比數(shù)列；令 h(x)=(a1 1)x + (a21)x2+|+(an1)xn ,求 函數(shù)h(x)的解析式。三、倒序相加這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(a1 +an)。例 3：求證：C： +3C： +5C： + +(2n +1)C： =(n

6、+1)2n證明：設(shè) Sn =C： +3C； +5C： + +(2n +1)C； .把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 Sn =(2n +1)C： +(2n -1)C； +3C： +C：(反序)又由 cm =C：5可得 Sn =(2n +1)C； +(2n 1)C： + +3C：,+C：+得 2Sn =(2n+2)(C：+C：十十Cn十C；)=2(n+1)，2n(反序相加)Sn =(n 1)2n解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進(jìn)行倒序相加的。x2111練習(xí)：已知 f(x)=2,則 f(1)+f(2)+f(3)+f(4) + f() + f()+f()=.1 x234四、分組求

7、和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或 常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例 4： Sn=1+35+7+ +(-1)n(2n -1 ).解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項為一組.n -1當(dāng) n 為奇數(shù)時：Sn =(1 +3)十(一5 +7) + 十(一2n + 1 )=2乂+ (-2n +1 = -n ；2當(dāng)n為偶數(shù)時：Sn =(1+3)十(一5+7) +十1一2n +3)+(2n +1 9= 2父口 = n .2：-n (n為奇數(shù))S Sn =：n (為偶數(shù)).五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項法的實質(zhì)是

8、將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的通項分解(裂項)如： an =an1n(n - 1) =1(1一n(n k) k 'n n k)；(4)(2n)2(2n -1)(2n 1)111=1 +一 ();2 2n-1 2n 1an111二-n(n 1)(n 2)2 n(n 1)an =(n 1)! n! (n 1)! an = 2(n 1 .-n)=.n 、. n 1. n , n " ,- n -1=2(而>/n二1);解：二111:二-二(k2 -12 k -1，一.1 求數(shù)列1(-n(n 2) 2 n1111- (1 -)()

9、32 42 IL一)， k - 1L）1：；（- nk 1 (k 1)k:二:二k2(k -1)k1-,的前n項和Sn(n 2)n 2) =2(k -1)=;2n 2 2n 4解析：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項，后面 還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。11練習(xí)：（1）求和：+ +(3n -2) (3n 1)14 4 7（2）在數(shù)列an中，an六、合并求和因此，在求數(shù)列的和時，可將這針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 6:數(shù)列an： a1 1, a2 = 3,a3 2, an -2

10、= an 書an ,求S2002.解：設(shè) S2002= a1a2 ' a3 ''a2002由 a1 =1, a2 -3, a3 = 2,前七二an由 一 an 可得 a4T, a5 = 一3, a6 = 一2,a7 =1, a8 =3, ag=2, a1o=一1, a11 = 一3, a12=一2,-a6k 1 =1, a6k 2 =3, a6k 3 = 2, a6k 4 - -1, a6k 5 = -3, a6k -6 二 -2a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4a6k 5 a6k 6 = 0（找特殊性質(zhì)項）S2002= a +a2 +a3 + ''' + 22002（合并求和）=(a1a2 a3 a6) (a7a8"12)(a6k 1 , a6k 2 .一 a6k 6)(a1993a1994,a1998 )a1999a2000 a2001 a2002=a1999 ' a2。. a2001 ' 22002=a6k 1a6k 2 a6k 3a6k 4七、拆項求和先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例7:求數(shù)5, 55, 555,55-5 ,的前n項和Sn n5 c解：因為555 =510n9n1),所以