大一上數(shù)學(xué)分析sxfx

1、西南財經(jīng)大學(xué)西南財經(jīng)大學(xué)省級精品課程省級精品課程經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析課題組版權(quán)所有課題組版權(quán)所有 請勿外傳請勿外傳 5 定積分的計算定積分的計算 (教材中的教材中的5部分部分 )經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟管理數(shù)學(xué)分析 第九章定積分第九章定積分 我們知道求定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)，而求原函數(shù)的方我們知道求定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)，而求原函數(shù)的方法是求不定積分，然而不定積分中有換元法，那么定積分是法是求不定積分，然而不定積分中有換元法，那么定積分是否也有換元法，有哪些不同？否也有換元法，有哪些不同？ 在一定條件下，可以用換元積分法與分部積分法來計算在一定條件下，可以用換元積分法與分部積分法來計算

2、定積分定積分. .(5,二二,P227) 定積分的計算定積分的計算第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算 定理定理9.12(P227) 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在在a,b上連續(xù)，上連續(xù)，(t)在在,上連上連續(xù)可微，且滿足續(xù)可微，且滿足 則有定積分換元公式則有定積分換元公式1.定積分的換元法定積分的換元法( )( ) ( )( ) .xtbaf x dxftt dt 證證( )( )( ),baf x dxF bF a ( )dFtdt ( )f x ( )( ),ftt ( )( )ftt dt ( )( ),F xf x設(shè)設(shè)是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) ( ) ( )( )

3、,Ftftt 可可見見是是的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)( ), (),( ), ,ab atb t dxdt dFdx ( ) t () ( )FF ( )( )F bF a ( ).baf x dx 第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算(1)( )xtxt 用用把把積積分分變變量量 換換成成新新積積分分變變量量 時時，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)注注 的的改改變變. . ( )( ) ( ) ( ) ( ).(2)fttFtFtxtFt 求求出出的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)后后，不不必必像像計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再把把變變換換成成原原積積分分變變量量 的的函函數(shù)數(shù)，而而只

4、只要要把把新新積積分分變變量量 的的上上、下下限限分分別別代代入入然然后后相相減減就就行行了了解解220(0).2 ( 228) aax dxPa 例例計計算算令令sin ,xat ,xa 當(dāng)當(dāng)時時2t 0,x 當(dāng)當(dāng)時時0t cos,dxatdt 原式原式20 2201cos22at dt 2201sin222att 2.4a cosatcosatdt 2220cosatdt ; . 第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算例例 計算計算40221xdxx 解解令令21,xt31 3311223.233tt40221xdxx 4,x 當(dāng)當(dāng)時時3211(3)2tdt 21,2tx

5、 則則,dxtdt 3;t 0,x 當(dāng)當(dāng)時時1.t ttdt 212t 2 例例3(P228)第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算例例4(P229) 計算計算120ln(1)1xJdxx 解解 令令2tan ,sec,xtdxtdt40ln(1tan )Jt dt 402cos4lncostdtt 40ln2dt 40lncos4t dt 40lncos.tdt 4ut 令令，則有，則有40lncos4t dt 04lncos ()udu 40lncos.udu 故故120ln(1)1xJdxx 40ln2dt ln2.8 40cossinlncosttdtt 1,x 當(dāng)當(dāng)

6、時時;4t 0,x 當(dāng)當(dāng)時時0.t 第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算證證0( )af x dx ( )(235) 3,f xa aP 當(dāng)當(dāng)在在上上連連例例習(xí)習(xí)題題續(xù)續(xù)，且且有有0( )( )( )2( );aaaif xf x dxf x dx 當(dāng)當(dāng)為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則( )( )( )0.aaiif xf x dx 當(dāng)當(dāng)為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則0( ),af x dx 在在中中0( )af x dx 0()aft dt 0().aft dt ()( ),ftf t 00( )( )( )aaaaf x dxf t dtf x dx 02( );af t dt ( )(

7、 )if x當(dāng)當(dāng)為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時，則則()( ),ftf t 00( )( )( )0.aaaaf x dxf t dtf x dx ( )( )iif x當(dāng)當(dāng)為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時，則則( )aaf x dx 0( ),af x dx ,xt 令令第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算例例 計算計算解解21212cos.11xxxdxx 原式原式121cos11xxdxx 2120411xdxx 22120(11)41(1)xxdxx 1204(11)xdx 120441x dx 4. 2121211xdxx 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)P228例例1第九章定積分第九章定積分

8、 5 5定積分的計算定積分的計算(),uvu vuv 因因為為()bauv dx 則則 bauv .bbbaaaudvuvvdu所所以以2.定積分的分部積分法定積分的分部積分法9.13( ( ), (22), 9) u x v xbPa 若若為為 上上的的連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，則則有有定定積積分分分分部部定定理理積積分分公公式式: : .bbbaaaudvuvvdu bau vuvdx ()bauv dx ,bauv ,bbaau vdxuv dx,bbaavduudv 而而第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算例例 計算計算10arctan.xxdx 解解2101arc

9、tan2xx 120arctanx dx 12 4 2120112xdxx 8 101arctan2x 142. 例例5(P230)10arctanxxdx 1201arctan2xdx 112001121dxdxx 182 8 12011121dxx 第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算20 sin.xexdx 例例解解20sinxex 220cosxexde 2e 2201sin,xeexdx 2201 sin(1).2xexdxe 故故20sinxexdx 20sinxxde 20sinxe dx 2e 20cosxexdx 20cosxex 20cosxe dx 第

10、九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算例例6(P230) 計算計算2200sincos0,1,2,.nnxdxxdxn 和和，證證20sinnnJxdx 當(dāng)當(dāng)n2時，用分部積分法求得時，用分部積分法求得210( sincos )nxx 220(1)sinnnxdx 2(1)nnJ 21,2.nnnJJnn 移項整理后得到遞推公式移項整理后得到遞推公式210cossinnxdx 210sinsinnxdx 2220(1)sincosnnxxdx 210sincosnxdx 2220(1)sin(1sin)nnxx dx 20(1)sinnnxdx (1),nnJ第九章定積分第九章

11、定積分 5 5定積分的計算定積分的計算221 235 3 1(21)!,2226 4 2 2(2)!2mmmmJmmm 212226 4 2(2)!1.21 217 5 3(21)!mmmmJmmm 重復(fù)利用上面的遞推公式，便得重復(fù)利用上面的遞推公式，便得220100,sin1,2JdxJxdx 由由于于2xt 令令，可可得得20cosnxdx 因而這兩個定積分是等值的因而這兩個定積分是等值的.(12) 20cos ()2nt dt 20sin,ntdt 第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算*沃利斯公式沃利斯公式(Wallis)：2(2)!1lim.(231)2(21)!2

12、1mmPmm 證證 由由2210sinmxdx 220sinmxdx 2210sinmxdx 由公式由公式(12)(P227)得：得：(2)!(21)!mm (21)!(2)!2mm (22)!(21)!mm 由此又得由此又得2(2)!1(21)!21mmAmm2(2)!1(21)!2mmBmm 因為因為0mmBA2(2)!1(21)!2(21)mmmm 12 2m 所以所以lim()0,mmmBAlim.2mmA 2 21sin mx 2sin mx 21sinmx 2mB 而 而 0 ()m 0 ,2mmmABA 而 故得而 故得第九章定積分第九章定積分 5 5定積分的計算定積分的計算*3

13、. 泰勒公式的積分型余項泰勒公式的積分型余項(P231三三) , ( )( )1a bu xv xn 若若在在上上，有有階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有(1)( )(1)( )( ) ( )( )( )( )bnnnau x vx dxu x vxu x vx ( )1(1)( 1)( ) ( )( 1)( ) ( )bbnnnnaaux v xux v x dx (1,2,)n 00()1,fxU xn 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 在在點點 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 令令0(),xU x 于是于是00( )1(1)()( )()( )!( )0( )xxnnnnxxxtftn xtftn

14、 f tf t dt !( )n f x 0(1)()( )xnnxxtft dt !( ).nn Rx 0( )() , ( )( ), .nu txtv tf ttxx ( )00000()!( )! ()()()() !nnfxn f xnf xfxxxxxn (P139)推廣的分部積分公式推廣的分部積分公式(P231)( )1(1)00000()()()()!()nnnnxxfxn xxfxn f x 由此求得由此求得0(1)1( )( )(),!xnnnxRxftxtdtn 稱為稱為積分型余項積分型余項(P232).利用推廣的積分第一中值定理利用推廣的積分第一中值定理(P218定理定理9.8)，可得：，可得：0(1)1( )( )()!xnnnxRxfxtdtn (1)101( )(),(1)!nnfxxn 00(),01)xxx其其中中即即拉格朗日型余項拉格朗日型余項(P142).(1)01( )( )() ()!nnnRxfxxx