求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法

1、1 .觀察法(求出al、a2、a3,然后找規(guī)律)即歸納推理，就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。例 1.設(shè)a1=1, anY =a； -2an%2 +b(ne N*) , =f b=1 ,求 a2, a3及數(shù)列 的通項(xiàng)公式.解：由題意可知：a=1=,口+1,a2 = 滿足a1+a2 =10 , a4-a3=2,求匕口的通項(xiàng)公式。解：設(shè)等差數(shù)列%的公差為d.因?yàn)閍4 -a3 =2,所以d =2.又因?yàn)?a+a2=10,所以 2a+d=10,故 a1=4.所以 an =4 2(n T) = 2n 2 (n = 1,2,1 ).3 .公式法若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和、

2、與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式品H = 1思一此2求解。(一定要討論n=1 , n2例3.設(shè)數(shù)歹U 的前n項(xiàng)和為Sn,已知2s =3n+3.(I )求數(shù)列a0的通項(xiàng)公式。解：(I )由 2Sn =3n +3可得：當(dāng) n=1 時(shí)，a1 = =1(3+3)=3,2當(dāng) n 2 時(shí)，an =Sn _Snl= l(3n +3)l(3n,+3) = 3n九n 至2)22而 ai =3031所以anJ-3,n =1,3n1.4 .累加法當(dāng)遞推公式為an4=an + f(n)時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an書-an=f(n)。N*),則數(shù)列斯的前10項(xiàng)和為例 4.數(shù)歹U an滿足 ai =1

3、,且 an書一an=n+1 (n解：由題意得:a= f(n),利用累乘 an5 .累乘法當(dāng)遞推公式為an+=anf(n)時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為法(逐商相乘法)求解。例5.已知數(shù)列儲(chǔ)滿足-Nan,求an的通項(xiàng)公式。n 1解：由條件知.an在上式中分別令n=1,2,3：(n-1),得n-1個(gè)等式累乘之,a2 a3 a4 . an 1 2 3 . n-1an1以 J - = R H =a1a2 a3 an 42 3 4 n a1nP 22乂 aan =3 3n6.構(gòu)造法(拼湊法)-共5種題型，第2、3種方法不必掌握1、當(dāng)遞推公式為an+=pan+q (其中p,q均為常數(shù)，且pq(p-1)#

4、0)時(shí)，通常解法是把 原遞推公式轉(zhuǎn)化為an.-t = p（an _t）,其中t =q ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1 - p例題：已知數(shù)列4滿足八=1呂*=3街+1,求an的通項(xiàng)公式。解：由 an 1 = 3an 11a1 .一二2所以an +1是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)歹u 22n所以 an J =3 3n、3- 2 22Qn因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an .2、當(dāng)遞推公式為an+= pan+kn+b（其中p,k,b均為常數(shù)，且pk=0）日寸，通常解法是把原遞推r公式轉(zhuǎn)化為an+x（n+D+y = p（an+xn+ y）,其中x, y的值由方程,P” X k 給出。（了解 py - x

5、 - y = b即可，不必掌握）例題：在數(shù)列an中，a1=2, an書=4an-3n+1求數(shù)列an的通項(xiàng)an。解：由 an 1 4an -3n 1得 an 1 -（n 1） =4（an -n）又 a1 -1 =1所以數(shù)列an-n是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列所以 an-n=4n 即 an=4n1+n.3、當(dāng)遞推公式為an=pan+cn （其中p,c均為常數(shù)，且pc#0）時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為第=艮空+1。若p =c，則策-丹=1 ,此時(shí)數(shù)列雜是以更為首項(xiàng)， ccccccccc以工為公差的等差數(shù)列，則 小=曳+（門-1）二，即an=（n+a1-1）cn。若p#c,則可化 cccc為a4

6、 -1 =R（*-1）（其中t =）形式求解。（了解即可，不必掌握） c c cc 一 p例題：已知數(shù)列an中，ai = 1, an4=2an+3n,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由 an 1 =2an 3n得 an i _3n 1 =20 -3n）所以數(shù)列 an _3n是首項(xiàng)為a1 -31=_2 , q = 2的等比數(shù)列所以 an-3n = 2M2n 即 an=3n.2n4、當(dāng)遞推公式為為中=j（p,q,s為常數(shù)，且pqs于0）時(shí)，通常兩邊同時(shí)取倒數(shù)，qan s把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 工=工+9。若p = s,則2是以工為首項(xiàng)，以9為公差的an 1 pan panalp等差數(shù)列，則I= L+（n.1）9

7、,即前二匕必口 。若p#s,則可轉(zhuǎn)化為 an aippal-t=-（-t）（其中t=q）形式求解。an 1p anp -s例10.已知數(shù)歹Uan滿足a1=g,且an=/O （n2nwN*）,求數(shù)列 an的通項(xiàng)22anj n -1公式。解：原式可變形為 2anan,（n-1）an =3nan兩邊同除以3*/導(dǎo).=1之+2an 3 an 43構(gòu)造新數(shù)列2+方，使其成為公比q=1的等比數(shù)列an3BP （口 ）an3 an 1an3an 13九滿足式使-!兒=!.一n 3n3n -1數(shù)列2-1是首項(xiàng)為1=，q=的等比數(shù)歹U ana133n1 /1 X n 41 x n .一1 =一(一)=-(-)an

8、 an3 335、當(dāng)遞推公式為an = pan.+qan （ p,q均為常數(shù)）（又稱二階遞歸）時(shí),式an = p an卡+q an轉(zhuǎn)化為an電- a 2口書=(an卅-u an).其中 a、P 由 4由此可得到數(shù)列 an書-a an是等比數(shù)列。例題：設(shè)數(shù)列 匕的前n項(xiàng)和為Sn, nWN*.已知a1 =1 , a2 =- , a3 =-244Sn書+5Sn=8Sn書+Sn.證明： Q中-n 為等比數(shù)列； 2證明：因?yàn)?4s 2 5Sn =8Sni Sn（n .2）將原遞推公Jn。解出，-q且當(dāng)n之2時(shí),所以 4Sn.2 一40.1 Sn -Sn=4Sni 4S(n .2)即 4an 2 - an =4an i (n _ 2)因?yàn)?4a3 - ai =4a2所以 4an 2 an =4an 1因?yàn)? an 2